江苏省华罗庚中学2022-2023学年高二下学期四月阶段测试数学试题

江苏省华罗庚中学2023年春学期高二阶段测试数学试题

命题：数学组             2023年4月

一､单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为                                      （    ）

A.  B.  C.  D.

3．在空间直角坐标系中，平面的法向量为， 已知，则P到平面的距离等于                                            （　　）

A.  B.  C.  D.

4．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为                                 （    ）

A．              B．         C．             D．

5.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有     （    ）         

A. 8种                 B. 12种              C. 20种                       D. 24种

6. 已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．的展开式的各项系数和为243，则该展开式中的系数是（    ）

A．5 B． C． D．100

8．如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为                               （      ）

A．1 B． C． D．

二､多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)

9. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是                   （      ）

附：若随机变量服从正态分布，则.

A. 若红玫瑰日销售量范围在内的概率是0.6827，则红玫瑰日销售量的平均数约为250

B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D. 白玫瑰日销售量范围在内的概率约为0.34135

10. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，每次游戏互不影响，记小明4次游戏得分之和为，则下列结论正确的是（      ）

A. 每次游戏中小明得1分的概率是 B. 的均值是2

C. 的均值是3 D. 的方差是

11. 已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是                                     （       ）

A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256             B. 展开式中第6项系数最大

C. 展开式中存在常数项                             D. 展开式中含项系数为45

12．如图，在正四棱锥中，，，是的中点．设棱锥与棱锥的体积分别为，，与平面所成的角分别为，，则 （    ）

A. 平面  B. 平面 

C.   D.

三、填空题（每题5分共20分）

13. 若随机变量分布列如下表，且，则的值为________.

14. 已知，则___________.

15．如图，在直三棱柱中，，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 若，则异面直线与所成角的余弦值为          

16．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________

四､解答题(本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.)

17．“渐升数”是指除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位“渐升数”）.

（1）求五位“渐升数”的个数；

（2）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，求第120个五位“渐升数”.

18．若．

(1)求的值；

(2)求的值．

19.小明下班回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二、第三个道口遇到红灯的概率依次减小，在三个道口都没遇到红灯的概率为，在三个道口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.

（1）求小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率；

（2）求小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率；

（3）记为小明下班回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望.

20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E为的中点，且．

（1）求证：平面；

（2）记的中点为N，若M在线段上，且直线与

平面所成角的正弦值为，求线段的长．

21．某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，己知共有20000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下的统计数据.

（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；

（2）由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中间值代替），且.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于72分的人数；

（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：

①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；

②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第题时“花”掉的分数为；

③每答对一题得2分，答错得0分；

④答完题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.

已知学生甲答对每道题的概率均为0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？

参考数据：若，则，，

22．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．

（1）证明：∠PAD＝∠PBC；

（2）当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．

高二数学参考答案

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．

【答案】（1）个；（2）36789.

【解析】（1）根据题意，“渐升数”中不能有0，

则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应1个“渐升数”，则五位“渐升数”共有（个）.

（2）对于所有的五位“渐升数”，1在最高数位的有（个），

2在最高数位的有（个），3在最高数位的有（个）.

因为，所以第120个五位“渐升数”是最高数位为3的最大的五位“渐升数”，为36789.

18．

【答案】(1)  (2)

(2)先观察式子特征，注意到可进行平方变形，然后根据时的值来计算最终结果.

【详解】（1）∵，

令，可得，令，可得，

∴．

（2）∵，

令，可得①，

令，可得②，

结合①②可得，

．

19.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】（1）因为小明在三个道口都没遇到红灯的概率为，

所以小明下班回家途中至少有一个道口遇到红灯的概率为；

（2）设第二、三个道口遇到红灯的概率分别为，

依题意解得或（舍去），

所以小明下班回家途中在第三个道口首次遇到红灯的概率；

（3）的可能值为，

，，

，，

分布列为

【点睛】本题考查互斥事件、对立事件概率关系，考查相互独立同时发生的概率，以及离散型随机变量分布列和期望，属于中档题.

20．

【答案】（1）证明见解析；    （2）2或

【解析】（1）连接，∵，，∴且  

∴四边形为平行四边形；   

∵且E为的中点，∴，所以，     

∴，∴，即，      

又∵，∴平面

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以，

设平面的法向量为，

则，即，取  

设，则，而，所以，

∵平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，

则   

化简得，解得：或，满足

故线段的长度为2或．

21．

【答案】（1）；（2）3173；（3）当他的答题数量时，他的复赛成绩的期望值最大.

【解析】（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40分，其中成绩优良的人数为15人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件，则

答：“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”的概率为

（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：

，则，

由得，

所以，

所以，估计全市参加参赛的全体学生中，成绩不低于72分的人数为20000×0.15865=3173，

即全市参赛学生中预赛成绩不低于72分的人数为3173.

（3）以随机变量表示甲答对的题数，则，且，

记甲答完题所加的分数为随机变量，则，∴，

依题意为了获取答道题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，

设甲答完题后的复赛成绩的期望值为，

则，

由于，所以当时，取最大值104.9.

即当他的答题数量时，他的复赛成绩的期望值最大.

22．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．

（1）证明：∠PAD＝∠PBC；

（2）当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．

解：（1）分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，

    因为PA＝PB，所以PE⊥AB，又因为AB∥CD，所以CD⊥PE，

  又因为CD⊥EF，PE∩EF＝E，所以CD⊥平面PEF，

  因为PF平面PEF，所以CD⊥PF，在△PCD中，因为PF垂直平分CD，所以PC＝PD，

 又因为PA＝PB，AD＝BC，所以△PAD≌△PBC， 从而可得∠PAD＝∠PBC；

   （2）由（1）可知，∠PEF是二面角P—AB—C的平面角， 设，则，

在△PEF中，，过点E作PF的垂线，垂足为G，

则，

  因为CD⊥平面PEF，CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PEF，

  又因为平面PCD∩平面PEF＝PF，EG⊥PF，EG平面PEF，所以EG⊥平面PCD，

 因为AB∥平面PCD，所以点A到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，即为EG，

 设直线PA与平面PCD所成角为，所以，

   令，则，

  所以当且仅当，即时，EG有最大值2，

此时直线PA与平面PCD所成角为θ的正弦值最大

所以当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，二面角P—AB—C的大小为．