浙江省衢温5+1联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前

衢温“5+1”联盟2022学年第二学期期中联考

高二年级数学学科  试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数，且，则（    ）

A. B. C. D.

3.函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

4.随着杭州亚运会的临近，吉祥物“琮琮、莲莲、宸宸”开始走俏国内外.现有3个完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙3位体育爱好者要与这3个“宸宸”站成一排拍照留念，则有且只有2个“宸宸”相邻的排队方法数为（    ）

A.36 B.48 C.72 D.144

5.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，是线段的中点，是线段的中点，则点到平面的距离是（    ）

A. B. C. D.

6.如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（    ）

A. B. C.15 D.20

7.已知圆和点，为坐标原点，若圆上存在点满足，则的最大值为（    ）

A.4 B.5 C.6 D.7

8.设，，，则（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.空间直角坐标系中，已知，，，，则（    ）

A.

B.是等腰直角三角形

C.与平行的单位向量的坐标为或

D.在方向上的投影向量的坐标为

10.已知函数，则（    ）

A.函数在处的切线方程是

B.函数的单调递减区间为

C.函数有唯一的零点

D.函数的最大值为3

11.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图正方体的棱长为2，点是该正方体的侧面上的一个动点（含边界），且平面，，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是（    ）

A.直线与直线不可能垂直

B.三棱锥的体积为定值

C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为

D.阳马的外接球与内切球的半径之比为

12.已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于，两点，过，作的切线交于点，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.若点为，且直线与倾斜角互补，则

C.点在定直线上 D.设点为，则的最小值为3

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13.在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是______.

14.已知数列为等差数列，其前项和为，若，则______.

15.若，则______.

16.已知椭圆的左右顶点为，，点为直线上一点，若的外接圆的面积的最小值为，则该椭圆的离心率为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知等比数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，求证：.

18.（12分）在2023年3月10日，十四届全国人大一次会议在北京召开.中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在十四届全国人大一次会议闭幕会上发表重要讲话.出席全国两会的代表委员和全国各地干部群众纷纷表示，这一重要讲话坚定历史自信、饱含人民情怀、彰显使命担当、指引前进方向，必将激励我们在新征程上团结奋斗，开拓创新，坚定信心，勇毅前行，作出无负时代、无负历史、无负人民的业绩，为推进强国建设、民族复兴作出应有贡献.某社区为调查社区居民对这次会议的关注度，随机抽取了60名年龄在的社区居民，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求选取的社区居民平均年龄及选取的社区居民年龄的中位数；

（2）现若和年龄段的所有居民都观看了会议讲话，社区计划从中抽取3人分享此次观看会议的感受，设表示年龄段在的人数，求的分布列及期望.

19.（12分）在中，角，，的对边分别为，，.若为锐角三角形，且满足.

（1）证明：；

（2）若，的面积为，求的周长.

20.（12分）如图，在三棱锥中，已知侧面是边长为2的等边三角形，，点为侧棱的中点.

（1）求证：；

（2）若，，若直线与平面所成角的正切值为，求的值.

21.（12分）设函数，.

（1）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围；

（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

22.（12分）已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程；

（3）若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

命题学校：开化中学    校审学校：常山一中

衢温“5+1”联盟2022学年第二学期期中联考

高二年级数学学科参考答案

命题：开化中学    联系电话：13×××××

审稿：常山一中    联系电话：13×××××

一、选样题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选䜺的得0分）

三、填空题（本大题共4小题，多空题每题5分，共20分）

13. 14. 15. 16.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（1）因为

所以

两式相减，得

令，有

∴，∴，∴

∴

∴

18.（1）选取的社区居民平均年龄，因为，，

所以中位数落于区间之间，中位数为.

（2）因为社区居民年龄在）内的人数为人，在内的人数为6人，所以的可能取值为0.1.2.3.

则，，

，

故的分布列为

其期望为.

19.（1）证明：由题意可得：

所以……2分

展开整理得……4分

∵为锐角三角形，∴，

∴，∴.……6分

（2）∵，∴

∵  ∴

∴，

∴，

∵，

∴，，，的周长为.

20.（1）取的中点，连接，.

∵，∴，

∵，∴，

又，∴平面，

∵平面，∴

（2）解法1：取的中点，连接，则，

由已知，在三角形，中，∵，，

∴，

又，，平面，∴平面，

∵平面，∴

又，，平面，∴平面

∴为平面的法向量，

以的中点为原点，分别以，为空间直角坐标系的，轴，以垂直于平面的直线为轴，则，，，

在直角三角形中，，，，

所以，，

∴，，，

设，则，

∵直线与平面所成角的正切值为，

∴直线与平面所成角的正弦值为，

∴，

解得，而，即，得，所以.

解法2：如图，作，

∵平面，∴平面直线与平面所成的角就是角，

由已知得直线与平面所成角，

设，则在三角形和中，由得，

同理得，所以

在直角三角形中，，

所以在直角三角形中有，即

解得，，而，所以.

21.（1）的定义域为，

，

因为存在两个极值点，所以在有两个不等实根，

所以且且，即实数的取值范围为.

（2）方法一：（分类讨论）

当时，，符合题意；

当时，，

①若，对恒成立，在单调递增，，符合题意；

②若，则

（ⅰ）当，，恒成立，在单调递减，

只需，所以；

（ⅱ）当时，，恒成立，在单调递增，

只需，所以均符合题意；

（ⅲ）当时，，当，，当，，所以在单调递增，在单调递减，

则，而当时，，均成立，

所以符合题意.

综上所述，.

方法二：（分离参数）恒成立，

设，，则，由在单调递增，

得，即，所以在单调递增，所以，

所以恒成立，只需.

设，，则

设，，则，所以在单调递减，

所以，（或者由）

从而得，故在单调递增，

所以，

所以.

22.（1）设双曲线的焦距为，取一条渐近线为，又，

则由题意可得，故双曲线的标准方程为.

（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线，，.

联立，消去整理得，

当时，，

则，.

当与双曲线交于两支时，，，，不合题意；

当与双曲线交于一支时，，，

则，得，故.

（3）直线的方程为，令，得，则.

直线的方程为，令，得，则.

因为，所以，，

，

故，即.故为定值.