2023年河南省平顶山市中考数学一模试卷
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一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
2．（3分）经国家统计局核准，2022年河南省粮食总产量为1357.87亿斤，仅次于黑龙江，位居全国第二．把数据“1357.87亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.35787×103 B．1357.87×108
C．1.35787×1010 D．1.35787×1011
3．（3分）如图所示几何体，其俯视图大致为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知直线a∥b，点A在直线b上，且AC⊥AB，若∠1＝28°，则∠2的度数为 （ ）
A．62° B．61° C．60° D．52°
5．（3分）一批某品牌方便面的标准质量是每袋105g，现抽取6袋样品进行检测，结果如下：
标号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
与标准质量差/g | +4 | ﹣5 | 0 | +8 | +1 | ﹣2 |
则这6袋方便面的平均质量为（ ）
A．104g B．105g C．106g D．107g
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．6a2b÷2a＝3ab
C．（ab3）2＝a2b5 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．2x2+x+1＝0 B．x（x﹣3）＝0 C．3x2﹣x＝2 D．（x+2）2＝4
8．（3分）如图，点M是菱形ABCD边BC的中点，点E在边CD上，连接AE，过点M作MN∥AB交对角线AC于点Q，交AE于点N．已知菱形的周长为32，MN＝5，则线段DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（3分）某农科所利用大棚栽培技术培育一种优质瓜苗，这种瓜苗早期在农科所的温室中培养，生长到20cm后移至大棚内，沿插杆继续向上生长到155cm．研究表明：这种瓜苗生长的高度h（cm）与生长的时间t（天）之间的关系大致如图所示，已知瓜苗生长到65cm时开始开花结果．下列结论不正确的是（ ）
A．这种瓜苗在温室中生长15天
B．这种瓜苗在大棚内生长的平均速度为每天长高3cm
C．这种瓜苗在大棚内生长时间比在温室中生长时间多30天
D．这种瓜苗开花结果时，在大棚内生长的时间为30天
10．（3分）如图，已知△OBC的顶点B，C在坐标轴上，点B的坐标为（3，0），且∠OBC＝30°．矩形AOPD的顶点A，P分别在x轴、y轴上，且点A的坐标为（﹣1，0）．将矩形AOPD向右平移2个单位，点P恰好落在线段BC上，此时点D的对应点D′的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）请写出一个图象关于原点对称的函数的解析式 ．
13．（3分）一个密封的箱子里放有四个形状、大小完全相同的小球，小球上分别写有“努”“力”“学”“习”四个字，从中随机摸出两个小球，小球上的字恰好能组成“学习”的概率为 ．
14．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，CE⊥AB于点E，连接DE，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，且AE＝2DE＝2，点P是线段AB上一动点（点P不与点A重合），连接EP，将△AEP沿EP所在直线折叠，点A的对应点为A′，过A′作A′F⊥AB于点F，当点A′落在正方形ABCD的对角线上时，线段BF的长为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）某中学为了了解本校学生“上周内课外活动和家务劳动所用的时间“（简称“活动与劳动时间”）情况，在本校随机调查了m名学生的“活动与劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计图表：
“活动与劳动时间”频数分布表
组别 | “活动与劳动时间”t/分钟 | 频数 |
A | t＜60 | 12 |
B | 60≤1＜120 | n |
C | 120≤t＜180 | 60 |
D | t≥180 | 54 |
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生人数m＝ 名，图表中频数n＝ ，圆心角α＝ °；
（2）这m名学生的“活动与劳动时间”的中位数落在 组；
（3）教育部印发的《大中小学生劳动教育指导纲要（试行）》，明确指出中学生“每周课外活动和家务劳动的时间”不少于3小时，请对该校学生“活动与劳动时间”的情况作出评价，并提出一条合理化建议．
18．（9分）如图，已知反比例函数的图象经过点，点P为该图象上一动点，连接OP．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）在图中请你利用无刻度的直尺和圆规作线段OP的垂直平分线MN，交x轴于点A．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）．
（3）当∠AOP＝30°时，求点A的坐标．
19．（9分）安阳文峰塔始建于五代后周广顺二年，距今已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．某数学活动小组到达该景区，利用无人机测量这座塔高．如图，他们先控制无人机到点D处悬停，此时，从遥控器飞行数据中得到无人机距离地面AC的高度DE为12m，观测到塔底点A处的俯角为45°，塔顶点B处的仰角为65.8°，且点A，B，C，D，E在同一个平面内，求塔AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin65.8°≈0.91，cos65°≈0.41，tan65.8°≈2.23）
20．（9分）甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
（1）求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
（2）现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
旅行社 | 团体优惠条件 |
A | A成人全价购票，儿童可免费 |
B | B成人8折购票，小孩半价购票 |
21．（9分）问题情境：如图1是一种地球仪的横截面示意图．点O为地球仪横截面的圆心，AB为底座下部的圆的直径，底座上部与⊙O分别交于M，N两点．已知AM与BN的延长线恰好交于圆心O，且AM＝BN．
问题探究：（1）如图2，设点C是线段AB的中点，连接OC交⊙O于点D．过点D作EF∥AB，分别交OA，OB于点E，F，求证：EF是⊙O的切线．
问题解决：（2）如图2，连接MN，经测量可得，MN＝21cm，AB＝28cm，AM＝10cm，求地球仪的半径OM的长．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线l：x＝﹣1，且与y轴的交点坐标为（0，﹣1），直线l与x轴相交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．
①当四边形APBC为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出PB＜PA时，m的取值范围．
23．（10分）阅读与思考：
尺规作图：已知点P是直线MN外一点，求作一条直线PQ，使PQ⊥MN．
小明的作法：如图1，①在直线MN上任找一点A，连接PA（PA与MN的夹角小于90°）；
②以点P为圆心，PA的长为半径画弧交直线MN于另一交点为B，连接PB；
③作∠APB的平分线PQ，反向延长射线PQ，则直线PQ⊥MN．
小华的作法：如图2，①在直线MN上任找一点A，连接PA（PA与MN的夹角小于90°）；
②以点P为圆心，PA的长为半径画弧交直线MN于另一交点为B；
③分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在直线MN的下方相交于点Q；作直线PQ，则PQ⊥MN．
任务：
（1）由小明的作图过程可知，在△PAB中有PA＝PB，因为PQ平分∠APB，所以有PQ⊥MN，这一步的依据是 ．（填序号）
①角平分线上的点到角两边的距离相等；
②等腰三角形顶角平分线也是底边上的高．
（2）你认为小华得到的结论是否正确？若正确，请利用三角形全等的方法证明；若不正确，说明理由．
（3）如图3，点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点，点P是边AB上一动点（不与点O重合），连接CP．分别以A，B为圆心，以CP的长为半径画弧，两弧在△ABC外相交于点Q，连接AQ，OQ，当∠OPC＝60°时有OQ＝1，请直接写出线段AP的长度．
2023年河南省平顶山市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
【解答】解：﹣的绝对值是，
故选：C．
2．（3分）经国家统计局核准，2022年河南省粮食总产量为1357.87亿斤，仅次于黑龙江，位居全国第二．把数据“1357.87亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.35787×103 B．1357.87×108
C．1.35787×1010 D．1.35787×1011
【解答】解：1357.87亿＝1357.87×108＝1.35787×1011．
故选：D．
3．（3分）如图所示几何体，其俯视图大致为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：B．
4．（3分）如图，已知直线a∥b，点A在直线b上，且AC⊥AB，若∠1＝28°，则∠2的度数为 （ ）
A．62° B．61° C．60° D．52°
【解答】解；∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵∠1＝28°，
∴∠3＝180°﹣∠CAB﹣∠1＝180°﹣90°﹣28°＝62°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝62°，
故选：A．
5．（3分）一批某品牌方便面的标准质量是每袋105g，现抽取6袋样品进行检测，结果如下：
标号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
与标准质量差/g | +4 | ﹣5 | 0 | +8 | +1 | ﹣2 |
则这6袋方便面的平均质量为（ ）
A．104g B．105g C．106g D．107g
【解答】解：这6袋方便面的平均质量为：105+（+4﹣5+0+8+1﹣2）＝106（g）．
故选：C．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．6a2b÷2a＝3ab
C．（ab3）2＝a2b5 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【解答】解：a3+a3＝2a3，故选项A错误，不符合题意；
6a2b÷2a＝3ab，故选项B正确，符合题意；
（ab3）2＝a2b6，故选项C错误，不符合题意；
（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．2x2+x+1＝0 B．x（x﹣3）＝0 C．3x2﹣x＝2 D．（x+2）2＝4
【解答】解：A．Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以A选项符合题意；
B．x＝0或x＝3，解得x1＝0，x2＝3，所以B选项不符合题意；
C．方程化为一般式为3x2﹣x﹣2＝0，则Δ＝（﹣1）2﹣4×3××（﹣2）＝25＞0，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意；
D．x+2＝±2，解得x1＝0，x2＝﹣4，所以D选项不符合题意．
故选：A．
8．（3分）如图，点M是菱形ABCD边BC的中点，点E在边CD上，连接AE，过点M作MN∥AB交对角线AC于点Q，交AE于点N．已知菱形的周长为32，MN＝5，则线段DE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，周长为32，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝8，
∵M是菱形ABCD边BC的中点，MN∥AB，
∴Q是AC的中点，
∴QM是△ABC中位线，
∴QM＝AB＝4，
∵MN＝5，
∴QN＝MN﹣QM＝5﹣4＝1，
∵MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴N是AE的中点，
∴QN是△ACE的中位线，
∴CE＝2QN＝2，
∴DE＝CD﹣CE＝8﹣2＝6，
故选：C．
9．（3分）某农科所利用大棚栽培技术培育一种优质瓜苗，这种瓜苗早期在农科所的温室中培养，生长到20cm后移至大棚内，沿插杆继续向上生长到155cm．研究表明：这种瓜苗生长的高度h（cm）与生长的时间t（天）之间的关系大致如图所示，已知瓜苗生长到65cm时开始开花结果．下列结论不正确的是（ ）
A．这种瓜苗在温室中生长15天
B．这种瓜苗在大棚内生长的平均速度为每天长高3cm
C．这种瓜苗在大棚内生长时间比在温室中生长时间多30天
D．这种瓜苗开花结果时，在大棚内生长的时间为30天
【解答】解：由题意，结合函数图象可知，这种瓜苗在温室中生长15天，故选项A不符合题意；
这种瓜苗在大棚内生长的平均速度为每天长高＝3（cm），故选项B不符合题意；
这种瓜苗在大棚内生长时间比在温室中生长时间多：（60﹣15）﹣15＝30（天），故选项C不符合题意；
当15＜x≤60时，设y＝kx+b（k≠0），
则：，
解得，
∴y＝3x﹣25；
当y＝65时，3x﹣25＝65，
解得x＝30，
30﹣15＝15（天），
∴这种瓜苗开花结果时，在大棚内生长的时间为是15天，故选项D符合题意．
故选：D．
10．（3分）如图，已知△OBC的顶点B，C在坐标轴上，点B的坐标为（3，0），且∠OBC＝30°．矩形AOPD的顶点A，P分别在x轴、y轴上，且点A的坐标为（﹣1，0）．将矩形AOPD向右平移2个单位，点P恰好落在线段BC上，此时点D的对应点D′的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（﹣1，0），
∴OB＝3，OA＝1，
如图，由平移可知：AA′＝OO′＝2，
∴O′B＝3﹣2＝1，
∵∠OBC＝30°，
∴O′P′＝O′B•tan30°＝1×＝，
∵四边形A′O′P′D′是矩形，
∴A′D′＝O′P′＝，
∴D′的坐标为（1，）．
故选：B．
二、填空题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≤3 ．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴3﹣x≥0，
∴x≤3．
故答案为：x≤3．
12．（3分）请写出一个图象关于原点对称的函数的解析式 y＝（答案不唯一） ．
【解答】解：根据反比例函数的性质，函数的图象关于原点对称，
故答案为：y＝（答案不唯一）．
13．（3分）一个密封的箱子里放有四个形状、大小完全相同的小球，小球上分别写有“努”“力”“学”“习”四个字，从中随机摸出两个小球，小球上的字恰好能组成“学习”的概率为 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，小球上的字恰好能组成“学习”的结果有2种，
∴随机摸出两个小球，小球上的字恰好能组成“学习”的概率为＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆弧的三等分点，CE⊥AB于点E，连接DE，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 +π ．
【解答】解：连接OC，OD，CD，
∵C，D是半圆弧的三等分点，
∴，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCD＝∠COA，
∴CD∥AB，
∴图中阴影部分的面积＝△ODE的面积+扇形BOD的面积，
∵AB＝4，
∴OB＝OC＝2，
∵CE⊥AB于点E，
∴OE＝OC＝1，CE＝OC＝，
∴图中阴影部分的面积＝△ODE的面积+扇形BOD的面积＝+＝+π，
故答案为：+π．
15．（3分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，且AE＝2DE＝2，点P是线段AB上一动点（点P不与点A重合），连接EP，将△AEP沿EP所在直线折叠，点A的对应点为A′，过A′作A′F⊥AB于点F，当点A′落在正方形ABCD的对角线上时，线段BF的长为 或1 ．
【解答】解：∵AE＝2DE＝2，
∴AE＝2，DE＝1，
∴AD＝AE+DE＝2+1＝3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝3，∠A＝90°，
由折叠的性质可得，AE＝A′E＝2，∠A＝∠PA′E＝90°，AP＝A′P，∠AEP＝∠A′EP，
①当点A′在对角线BD上时，
如图，以点A为原点建立直角坐标系，连接BD，
则点D（0，3），B（3，0），E（0，2），
设BD所在直线解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴BD所在直线解析式为y＝﹣x+3，
设点A′的坐标为（a，﹣a+3），
∵E（0，2），A′E＝2，
∴（a﹣0）2+（﹣a+3﹣2）2＝22，
解得：a＝或（舍去），
∴A，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝3﹣＝；
②当点A′在对角线AC上时，此时点P与点F重合，
如图，连接AC，
∴∠AEA′＝∠EA′F＝∠AFA′＝′EAF＝90°，
∵∠AEP＝∠A′EP，
∴∠AEP＝∠A′EP＝45°，
∴四边形AEA′F为正方形，
∴AF＝AE＝2，
∴BF＝AB﹣AF＝3﹣2＝1．
综上，线段BF的长为或1．
故答案为：或1．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）原式＝27÷9﹣4×
＝3﹣2
＝1；
（2）原式＝÷
＝•
＝．
17．（9分）某中学为了了解本校学生“上周内课外活动和家务劳动所用的时间“（简称“活动与劳动时间”）情况，在本校随机调查了m名学生的“活动与劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计图表：
“活动与劳动时间”频数分布表
组别 | “活动与劳动时间”t/分钟 | 频数 |
A | t＜60 | 12 |
B | 60≤1＜120 | n |
C | 120≤t＜180 | 60 |
D | t≥180 | 54 |
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生人数m＝ 150 名，图表中频数n＝ 24 ，圆心角α＝ 144 °；
（2）这m名学生的“活动与劳动时间”的中位数落在 C 组；
（3）教育部印发的《大中小学生劳动教育指导纲要（试行）》，明确指出中学生“每周课外活动和家务劳动的时间”不少于3小时，请对该校学生“活动与劳动时间”的情况作出评价，并提出一条合理化建议．
【解答】解：（1）由题意可得，这次调查的学生人数m＝54÷36%＝150；
图表中频数n＝150﹣12﹣60﹣54＝24；
圆心角α＝360°×＝144°．
故答案为：150；24；144；
（2）把150名学生的“活动与劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，所以中位数落在C组；
故答案为：C；
（3）建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳动课的课时等（答案不唯一，合理即可）．
18．（9分）如图，已知反比例函数的图象经过点，点P为该图象上一动点，连接OP．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）在图中请你利用无刻度的直尺和圆规作线段OP的垂直平分线MN，交x轴于点A．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）．
（3）当∠AOP＝30°时，求点A的坐标．
【解答】解：（1）将（1，）代入反比例函数解析式得：k＝1×＝，
则反比例函数的解析式为：y＝；
（2）分别以O、P为圆心，以大于OP为半径作弧，两个弧交于点M、N，连接MN，
则MN为OP的中垂线，如下图；
（3）过点P作PH⊥x轴于点H，
设点P（m，），则PH＝，OH＝m，
则tan∠POH＝＝＝tan30°＝，
解得：m＝（负值已舍去），
则点P（，1），
设点A（x，0），连接AP，
则AO＝AP，
即x2＝（x﹣）2+1，
解得：x＝，
即点A（，0）．
19．（9分）安阳文峰塔始建于五代后周广顺二年，距今已有一千余年历史，为全国重点文物保护单位．某数学活动小组到达该景区，利用无人机测量这座塔高．如图，他们先控制无人机到点D处悬停，此时，从遥控器飞行数据中得到无人机距离地面AC的高度DE为12m，观测到塔底点A处的俯角为45°，塔顶点B处的仰角为65.8°，且点A，B，C，D，E在同一个平面内，求塔AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin65.8°≈0.91，cos65°≈0.41，tan65.8°≈2.23）
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AF＝ED＝12（m），
∵∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝12（m），
在Rt△BDF中，
tan∠BDF＝，
∴BF＝DF•tan65.8°≈12×2.23≈26.76（m），
∴AB＝BF+AF＝26.76+12≈38.8（m），
答：塔AB的高度是38.8m．
20．（9分）甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
（1）求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
（2）现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
旅行社 | 团体优惠条件 |
A | A成人全价购票，儿童可免费 |
B | B成人8折购票，小孩半价购票 |
【解答】解：（1）设甲家庭的人数有x人，乙家庭的人数有y人，
由题意得：，
解得：，
答：甲家庭的人数有12人，乙家庭的人数有8人；
（2）由（1）可知，x+y＝20，设两个家庭共有m名儿童，则两个家庭共有（20﹣m）m名成人，
由题意可知，A旅行社的费用为：200（20﹣m）元，B旅行社的费用为：0.8×200（20﹣m）+0.5×120m＝（3200﹣100m）元，
当200（20﹣m）＞3200﹣100m时，m＜8；
当200（20﹣m）＝3200﹣100m时，m＝8；
当200（20﹣m）＜3200﹣100m时，m＞8；
综上所述，儿童少于8人时，选择A旅行社支付旅游费用较少；儿童为8人时，选择A旅行社和B旅行社支付旅游费用相同；儿童多于8人时，选择B旅行社支付旅游费用较少．
21．（9分）问题情境：如图1是一种地球仪的横截面示意图．点O为地球仪横截面的圆心，AB为底座下部的圆的直径，底座上部与⊙O分别交于M，N两点．已知AM与BN的延长线恰好交于圆心O，且AM＝BN．
问题探究：（1）如图2，设点C是线段AB的中点，连接OC交⊙O于点D．过点D作EF∥AB，分别交OA，OB于点E，F，求证：EF是⊙O的切线．
问题解决：（2）如图2，连接MN，经测量可得，MN＝21cm，AB＝28cm，AM＝10cm，求地球仪的半径OM的长．
【解答】（1）证明：∵AM＝BN，OM＝ON，
∴OA＝OB，
∵点C是线段AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，
∵点D在圆上，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知△OAB是等腰三角形，
∵AM＝BN，OM＝ON，MN＝21cm，AB＝28cm，AM＝10cm，
∴MN∥AB，
∴△PMN∽△OAB，
∴＝，即＝，
解得OM＝30，
∴地球仪的半径OM的长为30cm．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线l：x＝﹣1，且与y轴的交点坐标为（0，﹣1），直线l与x轴相交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥l，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．
①当四边形APBC为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出PB＜PA时，m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线l：x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2，
∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣1；
（2）①∵点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，PA⊥x轴，PB⊥l，点P的横坐标为m，
∴m＞﹣1，
∴AC＝|m﹣（﹣1）|＝m+1，PA＝|m2+2m﹣1|，
当四边形APBC为正方形时，PA＝AC，
∴|m2+2m﹣1|＝m+1，
∴m2+m﹣2＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣2（不符合题意，舍去），
或者m2+3m＝0，
解得m3＝0，m4＝﹣3（不符合题意，舍去），
∴m的值为1或0；
②根据①可知：当m＝1或m＝0时，PB＝PA，
∴当0＜m＜1时，PB＞PA，
∵m＞﹣1，
∴当﹣1＜m＜0或m＞1时，PB＜PA，
∴当PB＜PA时，m的取值范围为﹣1＜m＜0或m＞1．
23．（10分）阅读与思考：
尺规作图：已知点P是直线MN外一点，求作一条直线PQ，使PQ⊥MN．
小明的作法：如图1，①在直线MN上任找一点A，连接PA（PA与MN的夹角小于90°）；
②以点P为圆心，PA的长为半径画弧交直线MN于另一交点为B，连接PB；
③作∠APB的平分线PQ，反向延长射线PQ，则直线PQ⊥MN．
小华的作法：如图2，①在直线MN上任找一点A，连接PA（PA与MN的夹角小于90°）；
②以点P为圆心，PA的长为半径画弧交直线MN于另一交点为B；
③分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在直线MN的下方相交于点Q；作直线PQ，则PQ⊥MN．
任务：
（1）由小明的作图过程可知，在△PAB中有PA＝PB，因为PQ平分∠APB，所以有PQ⊥MN，这一步的依据是 ② ．（填序号）
①角平分线上的点到角两边的距离相等；
②等腰三角形顶角平分线也是底边上的高．
（2）你认为小华得到的结论是否正确？若正确，请利用三角形全等的方法证明；若不正确，说明理由．
（3）如图3，点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点，点P是边AB上一动点（不与点O重合），连接CP．分别以A，B为圆心，以CP的长为半径画弧，两弧在△ABC外相交于点Q，连接AQ，OQ，当∠OPC＝60°时有OQ＝1，请直接写出线段AP的长度．
【解答】解：（1）由小明的作图过程可知，在△PAB中有PA＝PB，因为PQ平分∠APB，所以有PQ⊥MN，这一步的依据是②，
故答案为：②；
（2）小华得到的结论正确，
证明：在△PAQ与△PBQ中，
，
∴△PAQ≌△PBQ（SSS），
∴∠APQ＝∠BPQ，
∵AP＝BP，
∴PQ⊥MN；
（3）连接CO，BQ，
∵点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点，
∴AO＝CO＝BO＝AB，
∵AQ＝BQ，
∴QO⊥AB，
∴∠AOQ＝90°，
∵PC＝AQ，∠POC＝∠AOQ＝90°，
∴Rt△PCO≌Rt△QAO（HL），
∴PO＝OQ＝1，
∵∠CPO＝60°，
∴OC＝AO＝OP＝，
∴AP＝AO﹣OP＝．
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