广东省珠海市斗门区2023年中考（一模）数学试题

这是一份广东省珠海市斗门区2023年中考（一模）数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省珠海市斗门区2023年中考（一模）数学试题

一、单选题
1．的值是（　　）
A． B．5 C． D．
2．已知的半径为，点P到圆心O的距离，则点P（　　）
A．在外 B．在上 C．在内 D．无法确定
3．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（    ）

A．45° B．65° C．75° D．85°
7．为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：
废旧电池数/节
4
5
6
7
8
人数/人
9
11
11
5
4

请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（    ）A．样本为40名学生 B．众数是11节
C．中位数是6节 D．平均数是5.6节
8．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是(   )

A． B． C． D．
9．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，对图形给出如下定义：若图形上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形的坐标角度是90°．现将二次函数的图象在直线下方的部分沿直线向上：翻折，则所得图形的坐标角度的取值范围是（    ）

A． B．
C． D．

二、填空题
11．因式分解：______．
12．已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____．
13．一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个，从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为_____．
14．如图，在中，，，平分的外角，则_____．

15．已知实数，满足，则_______．
16．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB=______________．

17．如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为______．


三、解答题
18．先化简、再求值：，其中
19．某中学开展了四项体育锻炼活动：A：篮球；B：足球；C：跳绳；D：跑步．陈老师对学生最喜欢的一项体育锻炼活动进行了抽样调查（每人只限一项），并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图．

请根据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次调查的学生总数是________人；将图1、图2的统计图补充完整；
（2）已知在被调查的最喜欢篮球的3名学生中只有1名男生，现从这3名学生中任意抽取2名学生参加校篮球队，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到两名女生的概率．
20．已知抛物线
(1)求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
(2)若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且，求m的值．
21．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高，点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．若在此处建桥，求河宽的长．（结果精确到）[参考数据：，，

22．如图，已知点P是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于E，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，且，求的值．
23．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50％．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
(1)求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
(2)当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，BC为半圆的切线，连接OC，过半圆上的点D作AD∥OC，连接BD．、的延长线相交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，
①求的半径．
②将以点为中心逆时针旋转，求扫过的图形的面积（结果用表示）．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ybx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
(3)把抛物线ybx+c沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标．

参考答案：
1．B
【分析】根据绝对值的性质，即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．C
【分析】设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外； ②点P在圆上；③点P在圆内．据此即可判断．
【详解】解：∵的半径为，点P到圆心的距离，
∴，
∴点P在圆内，
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系的判定方法是解答此题的关键．
3．B
【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2，并且第一行有三个正方形．
【详解】俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，并且第一行有三个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4．B
【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. 原选项计算正确 ，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
5．A
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：
其中，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
6．C
【分析】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【详解】解：∵∠2＋60°＋45°＝180°，
∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1＝∠2＝75°．
故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
7．D
【分析】根据样本定义可判定A，利用众数定义可判定B，利用中位数定义可判定C，利用加权平均数计算可判定D即可．
【详解】解：A. 随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A样本为40名学生不正确；
B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B众数是11节不正确，
C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为5节与6节的平均数节，故选项C中位数是6节不正确；
D. 根据样本平均数节
故选项D平均数是5.6节正确．
故选择：D．
【点睛】本题考查样本，众数，中位数，平均数，熟练掌握样本，众数，中位数，平均数是解题关键．
8．B
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，

∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键．
9．B
【详解】【分析】先利用勾股定理求出AC长，然后分三种情况分别求出y与x间的关系式即可进行判断. 三种情况是：①0≤x≤6 ，②6≤x≤8 ，③8≤x≤14.
【详解】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8，
当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，结合图形正确地分三种情况进行讨论是解题的关键.
10．D
【分析】分a=1和a=3两种情况画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题．
【详解】解：当a=1时，如图1所示，

∵角两边分别过点A（-1,1），B（1,1），
作BE⊥x轴于点E，
∴BE＝OE，
∴∠BOE＝45°，
根据对称性可知：∠AOB＝90°，
∴此时坐标角度＝90°；
当a=3时，如图2所示，

角两边分别过点A（,1），B（,1），
作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴∠BOE＝60°，
根据对称性可知：∠AOB＝60°，
∴此时坐标角度＝90°,
∴60°≤≤90°，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数综合题，图形的坐标角度定义等知识，解题的关键是理解题意，学会画图，利用特殊点或者特殊位置解决问题．
11．y（x+2）（x-2）
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可
【详解】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）．
故答案为：y（x﹣2）（x+2）．
【点睛】题目主要考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
12．﹣4
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，再根据有理数的减法法则可得答案．
【详解】∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，
∴a=﹣5，b=﹣1，
∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两点的横、纵坐标间的关系是解题的关键．
13．##0.75
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个，
从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
14．
【分析】根据等腰三角形的性质推出，根据三角形外角性质得到，根据角平分线定义求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵平分的外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
15．
【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性得出，进而根据负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性、负整数次幂等知识点，根据非负性正确求得、的值是解答本题的关键．
16．2
【详解】试题解析：如图，

tan∠AOB==2，
故答案为2．
17．（2n﹣1，0）
【分析】依据直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．
【详解】∵直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，
∴当x＝1时，y＝，
即B1（1，），
∴tan∠A1OB1＝，
∴∠A1OB1＝60°，∠A1B1O＝30°，
∴OB1＝2OA1＝2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：（2n﹣1，0）．
【点睛】本题考查了规律题求一次函数图象上点的坐标特征，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．
18．，
【分析】先根据分式的加减运算法则、乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可求出答案．
【详解】解：原式=
=
=
∵x-，
∴x+1=，
原式=
=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
19．（1）30；图见解析；（2）
【分析】（1）根据条形统计图知最喜欢跳绳的有12人，对应扇形统计图中知其占，即可求解总人数，总人数减去喜欢篮球、足球、跳绳的人数，得出数据，即可补全统计图；
（2）画出树状图，共有6种等可能的结果，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）根据条形统计图知最喜欢跳绳的有12人，对应扇形统计图中知其占，所以总人数为：（人），
喜欢跑步的人数：（人），
喜欢跑步的人数占比：，
所以补全统计图如图：

（2）解：画树状图如下：  

共有6种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有2种，所以抽到两名女生的概率是 ．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率，根据统计图获取信息是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)2

【分析】（1）判断即可得证；
（2）先求出A、B的坐标，然后根据得出关于m的方程，最后解方程即可．
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
即，
∴知抛物线与x轴必有两个交点；
（2）解：令，则，
∴，
∴或，
∴，，
∵点A在点B的左侧，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系，因式分解解一元二次方程是解题的关键．
21．河宽的长约为
【分析】根据等腰三角形的判定可得，在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∴.
在中，，，，
∴，
∴，
∴.
答：河宽的长约为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用---仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
23．(1)
(2)当销售单价为45元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元

【分析】（1）根据总利润每件利润销售量列出函数解析式；
（2）根据（1）中解析式，由函数的性质和x的取值范围求出最大值．
【详解】（1），
这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为；
（2），
，对称轴为，
又每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50％，
，
当时，，
答：当销售单价为45元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．
24．(1)见解析
(2)①6；②

【分析】（1）连接DO，如图，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠COD=∠COB．则根据“SAS”可判断△COD≌△COB，所以∠CDO=∠CBO．再根据切线的性质得∠CBO=90°，则∠CDO=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）①设圆O的半径为R，则OD=R，OE=R+4，由勾股定理可求解；
②通过扇形面积的可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，

，
，，
又，
，
．
在和中

，
．
是的切线，
，
，
，
又点在上，
是的切线；
（2）①设圆的半径为，
则，，
是圆的切线，
，
，  
，
，
圆的半径为6；
②∵AB=12，
扫过的图形的面积．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，灵活运用这些性质是本题的关键．
25．(1)
(2)取得最大值，此时，．
(3)，，．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，如图1，过点作轴交于点，设，则，证明，得出：，运用求二次函数最值方法即可得出答案；
（3）设，，分三种情况：①当为的边时，②当为的边时，③当为的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．
【详解】（1）抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）抛物线与轴交于点，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
如图1，过点作轴交于点，

设，则，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，．
（3）如图2，沿射线方向平移个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，

新抛物线解析式为，对称轴为直线，
设，，
①当为的边时，
则，，
，
解得：，
；
②当为的边时，
则，，
，
解得：，
；
③当为的对角线时，
则，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为：，，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．