河南省驻马店市2023年八校联考中考（二模）数学试题

这是一份河南省驻马店市2023年八校联考中考（二模）数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省驻马店市2023年八校联考中考（二模）数学试题

一、单选题
1．的相反数是（    ）
A． B． C． D．
2．下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，现将一块三角板的含有角的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为(     )

A． B． C． D．
4．2015年岳阳元宵节灯展参观人数约为470000人，将这个数用科学记数法表示为，那么的值为　　
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
6．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（  ）
A．k≥ B．k≤ C．k＞ D．k＜
7．将4张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中随机取出2张卡片，则取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．若关于的分式方程的解是，则的值为（    ）
A． B． C． D．
9．已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   )
A． B． C． D．
10．如图，在中，直线经过点且垂直于分别与相交于点直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，若运动过程中的面积是直线的运动时间是，则与之间函数关系的图象大致是（  ）

A． B．
C． D．

二、填空题
11．计算：-1＝_____．
12．请写一个函数表达式，使其图像经过点（-1，4），且函数值随自变量的增大而减小：_________．
13．若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____．
14．如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为__．（结果保留

15．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为_____．


三、解答题
16．计算或化简：
（1）
（2）（2a+3b）（3b﹣2a）﹣（3b﹣a）2
17．2020年2月12日，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求．某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个平行班（前进班和奋斗班）的学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习．经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个平行班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：
前进班：94，85，73，85，52，97，94，66，95，85
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84
整理数据：
x（分）人数班级





前进班
1
1
a
3
b
奋斗班
1
0
0
7
2

分析数据：

平均数
众数
中位数
方差
前进班
82.6
85
c
194.24
奋斗班
82.6
d
84
132.04

根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）已知小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？
（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由．
18．如图，矩形的两边、的长分别为3、8，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点.

（1）若点坐标为，求的值及图象经过、两点的一次函数的表达式；
（2）若，求反比例函数的表达式.
19．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．

(1)当PA＝45cm时，求PC的长；
(2)若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）
20．某中学为了加强学生体育锻炼，准备购进一批篮球和足球．据调查，某体育器材专卖店销售个足球和个篮球一共元；销售个足球和个篮球一共元．
(1)求足球和篮球的单价；
(2)该校计划使用元资金用于购买足球和篮球个，且篮球数量不少于足球数量的倍．购买时恰逢该专卖店在做优惠活动，信息如表：
球类
购买数量低于个
购买数量不低于个
足球
原价销售
八折销售
篮球
原价销售
九折销售

问在使用资金不超额的情况下，可有几种购买方案？如何购买费用最少？
21．阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：
阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：
命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF=EF．

证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．
∵DT，BT与⊙O相切
∴… …，①
∴BT=DT
∵AB是半⊙O的直径，∠ADB=90°，②
在△BDH中，BT=DT，得到∠TDB=∠TBD，
可得∠H=∠TDH，
∴BT=DT=HT．
又∵DE∥BH，∴=，=
∴=
又∵BT=HT，∴DF=EF．
任务：
(1)请将①部分证明补充完整；
(2)证明过程中②的证明依据是 ；
(3)如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．
22．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．

(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．
(2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值．
(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
23．综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“矩形”为主题开展数学活动．
已知矩形ABCD的一条对称轴分别交边AB、CD于点E、F，如图①，奋进小组进行了如下的操作：以点B为圆心，BA的长为半径作弧，交边BC于点Q，已知点在弧AQ上运动（含A，Q两点），连接，再分别以点A、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线BG交AD于点H．
提出问题：

(1)如图②，当点运动到EF上时，求的度数；
拓展应用：
(2)如图③，勤奋小组在图②的基础上进行如下操作：连接并延长交BC于点P，请判断△HBP的形状，并说明理由；
解决问题：
(3)创新小组在图③的基础上进行如下操作：延长交边AD于点M，当△MPC是直角三角形时，请直接写出矩形的边BC和AB之间的数量关系．

参考答案：
1．A
【分析】先计算算术平方根，再根据相反数的定义解答即可．
【详解】∵，
又∵3的相反数为，
∴的相反数是．
故选A．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，相反数的定义．掌握算术平方根的定义和只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键．
2．B
【详解】解：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得
A的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图．
3．D
【分析】根据题意得到，根据平行线的性质得到，据此求出即可求出的度数．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
4．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：将470000用科学记数法表示为：．所以．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
5．D
【分析】根据二次根式的运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，单项式乘以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，掌握以上知识是解题的关键．
6．B
【分析】利用判别式的意义得到Δ=(-3)2-4k≥0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ=(-3)2-4k≥0，
解得k≤．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．C
【分析】根据题意列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解，即可．
【详解】画树状图如下：

共用12种等可能的结果，其中是“强“和”“国”两个字的结果有2种，
则取出的2张卡片上的文字恰好是“强”、“国”的概率为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了可能事件的概率，列出所有等可能的结果，是解题的关键．
8．A
【分析】把代入方程得出m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：∵分式方程的解是，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次方程等知识，把代入原方程中进行计算是解题的关键．
9．D
【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．
【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1 B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；
C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2 D． 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质．
10．B
【分析】利用面积公式，分段求出△AMN的面积即可求解．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于D，
∵AC2+BC2=64+36=100=AB2，
故△ABC为直角三角形，
则
故 同理
（1）当0≤x≤6.4，如图1，

即

∴该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；
（2）当6.4＜x≤10时，如图2，

同理：
，
∴该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x=5
故选：B．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数的图象，解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
11．2
【分析】利用二次根式的性质化简，进而通过计算即可得出答案．
【详解】-1＝3-1＝2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式、实数的运算；正确化简二次根式是解题的关键．
12．y=-x+3
【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，把已知点坐标代入并根据函数的增减性确定出k的值即可．
【详解】解：设一次函数解析式为y=kx+b，
把（-1，4）代入得：4=-k+b，即b=k+4，
由函数值y随x的最大而减小，得到k＜0，
取k=-1，则b=-1+4=3，
则满足上述函数解析式为y=-x+3，
故答案为：y=-x+3．(答案不唯一)
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
13．
【分析】首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围．
【详解】解：，
①+②得，
则，
根据题意得，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式．
14．π．
【分析】如图所示，连接OE交BD于点F，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，再证△EFB≌△OFD，即可将阴影部分面积转化为扇形OED的面积，最后利用扇形面积公式求解即可得出答案．
【详解】如图所示，连接OE交BD于点F，

∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD=2，OE⊥BC，
∴OE=OD=2，
在矩形中，
∵
∴四边形OECD为正方形，
∴CE=OD=2，
∴BE=BC-CE=2，
∴BE=DO，
∵AD//BC，
∴
∴△EFB≌△OFD，
∴阴影部分的面积= .
故答案为π．
【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式等知识.正确添加辅助线、仔细识图从中得到阴影部分面积的求法是解题的关键.
15．或10
【详解】如图①，当点E在DC上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，


∵AF=AD=5，AP=4，
∴FP==3，
∴FQ=2，
设FE=x，则DE=x，QE=4-x，
在Rt△EQF中，（4-x）2+22=x2，所以x=．
如图②，当，所以FQ=点E在DG的延长线上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，


所以FQ=8，设DE=x，则FE=x，QE=x-4，在Rt△EQF中，（x-4）2+82=x2，所以x=10，
综上所述，DE=或10.
16．（1）5；（2）﹣5a2+6ab．
【分析】（1）先逐项化简，再根据有理数的加减法计算即可；
（2）先根据平方差和完全平方公式计算，再合并同类项即可.
【详解】（1）原式＝4+﹣+1
＝5；
（2）原式＝9b2﹣4a2﹣9b2+6ab﹣a2
＝﹣5a2+6ab．
【点睛】本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，正确化简各数是解（1）的关键，正确掌握平方差和完全平方公式是解（2）的关键.
17．（1）；（2）小林同学是奋斗班的学生，见解析；（3）见解析
【分析】(1)根据两组数据和众数、中位数的意义求解即可；
(2)根据中位数的意义可判断小林同学的班级；
(3) 从平均数、众数和中位数、方差各方面进行比较，综合评价两个班级的成绩即可．
【详解】
解：(1)由前进班的成绩可判断在段的有1人，在段的有4人，故；
把前进班的数据从小到大排列： 52，66，73，85，85，85， 94，94，95， 97，中间两个数是85和85，则；
奋斗班的数据中出现次数最多的是84，则；
(2)小林同学是奋斗班的学生．
理由：∵前进班和奋斗班成绩的中位数分别为85分和84分，小林同学的成绩在班级处于中上水平，必大于中位数，
∴他是奋斗班的学生；
(3)从平均数看，两班学习效果相同；从众数和中位数看，前进班都比奋斗班高，可见前进班高分段人数多；但从方差看，前进班方差远超奋斗班，说明前进班虽然高分段学生多，但成绩差异大，两极分化明显，而奋斗班学生成绩分布较为集中．（答案不唯一，合理即可）
【点睛】本题考查了数据的整理和分析，解题关键是熟练的运用统计知识，有条理的解决问题．
18．（1），；（2）.
【详解】分析：（1）由已知求出A、E的坐标，即可得出m的值和一次函数函数的解析式；
（2）由，得到，由，得到．设点坐标为，则点坐标为，代入反比例函数解析式即可得到结论．
详解：（1）∵为的中点，
∴．
∵反比例函数图象过点，
∴．
设图象经过、两点的一次函数表达式为：，
∴，
解得，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点坐标为，则点坐标为．
∵两点在图象上，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．

点睛：本题考查了矩形的性质以及反比例函数一次函数的解析式．解题的关键是求出点A、E、F的坐标．
19．(1)27cm
(2)34.6cm

【分析】（1）连接PO，利用垂直平分线的性质得出PA=PO，然后利用勾股定理即可求出PC；
（2）过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，根据矩形的性质可知DE=FC，DF=EC，分别在Rt△DOE和Rt△PDF中利用勾股定理以及锐角三角函数即可求出DE、EO，进而求出PF，即可得解．
【详解】（1）连接PO，如图，

∵点D为AO中点，且PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分线，
∴PA=PO=45cm，
∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，
∴OC=OB+BC=36(cm)，
∴在Rt△POC中，(cm)，
即PC长为27cm；
（2）过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，如图，

∵PC⊥OC，
∴四边形DECF是矩形，即FC=DE，DF=EC，
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∵DO=AD=AO=12(cm)，
∴DE===(cm)，EO=DO=6(cm)，
∴FC=DE=cm，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42(cm)，
∵∠FDO=∠DOE=60°，∠PDO=90°，
∴∠PDF=90°-60°=30°，
在Rt△PDF中，PF=(cm)，
∴PC=PF+FC=(cm)，
∴PC，
即PC的长度为34.6cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．(1)足球每个80元，篮球每个100元
(2)有3种购买方案：①购买足球38个，篮球82个；②购买足球39个，篮球81个；③购买足球40个，篮球80个，方案③购买费用最少．

【分析】(1)设足球每个x元，篮球每个y元，根据题意列二元一次方程组即可求出足球、篮球的单价；
(2)设购买足球x个，则购买篮球(120-x)个，根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据(1)的结论列不等式即可得出购买方案．
【详解】（1）设足球每个x元，篮球每个y元，由题意得：

解得
答：足球每个80元，篮球每个100元．
（2）设购买足球x个，则购买篮球(120-x)个，根据题意得：
    
解得，
由题意得
解得，
     
∵x为正整数，
∴有3种购买方案：①购买足球38个，篮球82个；购买足球39个，篮球81个；③购买足球40个，篮球80个．
设总费用为w，则w=
∵w随着x的增大而减小
∴当x=40时，w最小
∴方案③购买费用最少．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的解法等知识，正确分析题目中数量关系列出方程组和函数关系式是解决问题的关键．
21．(1)见解析；
(2)直径所对的圆周角是直角；
(3)

【分析】（1）通过DT、BT为切线，易得Rt△ODT≌Rt△OBT，从而可以继续证明；
（2）直径所对的圆周角是直角；
（3）先根据∠EBD=60°，得到∠DBA=30°，由外角得到∠DOC=60°，△ODA为等边三角形，并求出OC、CD，再求出BD、ED，最后再Rt△EBC求出结果即可．
【详解】（1）如图，连接OD，OT，

∴∠ODT=∠OBT=90°，
在Rt△ODT和Rt△OBT中，，
∴Rt△ODT≌Rt△OBT（HL）；
（2）直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
（3）如图，连接OD，CE，

∵△BED是等边三角形，∴∠EBD=60°，
∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，
∴∠DBA=30°，∴∠DOC=60°，
∵OD=OA，∴△ODA为等边三角形，
∵OD=2，CD⊥AB，∴OC=OA=1，DC=，
∴BD=2=BE，
∵OB=2，∴BC=3，
在Rt△EBC中，由勾股定理得：
CE=．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的性质、利用相切转化直角并通过勾股定理求出线段是解题的关键．
22．(1)能浇灌到小树后面的草坪；
(2)最大值为；
(3)喷射架应向后移动1米．

【分析】（1）根据当喷射出的水流距离喷水头10米时，达到最大高度6米，设设水流形成的抛物线为，代入点（0，1）求出二次函数的解析式，再求出当x＝15时的函数值，即可得到结论；
（2）先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解；
（3）设喷射架向后平移了m米，设出平移后的函数解析式，代入点B的坐标即可求解．
【详解】（1）解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头10米时，达到最大高度6米，
则可设水流形成的抛物线为 ，
将点（0，1）代入可得a= ，
∴抛物线为
当x=15时，y=4.75>4.2，
∴能浇灌到小树后面的草坪．
（2）解：由题可知A点坐标为（15，3），
设直线OA的解析式为y=kx，
把点A的坐标（15，3）代入得
15k＝3
解得 k＝
则直线OA为
∴
∴的最大值为．
（3）解：设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为
将点B（15，4.2）代入得：

解得m=1或m= -11(舍去)
∴喷射架应向后移动1米．
【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．
23．(1)30°
(2)等边三角形
(3)或

【分析】（1）连接，设EF交BG于点K，根据作法可得BG平分，，可证得，从而得到，再证得K为BH的中点，然后根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求解；
（2）由（1）得：，，可得到，从而得到BP=BH，即可求解；
（3）先证得四边形BPMH是菱形，可得PM=PB，∠MPC=∠HBP=60°，然后分两种情况：当∠PCM=90°时，当∠PMC=90°时，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，设EF交BG于点K，

根据作法得：BG平分，，
∴，
∵BH=BH，
∴，
∴，
根据题意：AE=BE，EF∥AD∥BC，∠ABC=90°，
∴，，
∴BK=KH，
∴AK=BK=HK，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：△HBP是等边三角形，理由如下：
由（1）得：，，
∴，∠PBH=60°，
∵，
∴，
∴BP=BH，
∴△HBP是等边三角形；
（3）解： 由（2）得：BP=BH，，
∵HM∥BP，
∴∠HMB=∠PBM，∠MHP=∠BPH，
∴，
∴BP=HM，
∴四边形BPMH是平行四边形，
∵BP=BH，
∴四边形BPMH是菱形，
∴PM∥BH，∠HMP=60°，PM=PB，
∴∠MPC=∠HBP=60°，
当∠PCM=90°时，点M与D重合，如图，

∴∠CMP=30°，
∴PB=PM=2PC，，
∴CB=3PC，
∴；  
如图，当∠PMC=90°时，          

∵∠CPM=60°，
∴∠PCM=30°，
∴PC=2PM=2PB，，
∴BC=3PB，
∵AD∥BC，
∴∠PCM=∠DMC=30°，
∴CM=2CD，
∴，
∴，
∴，
综上所述，当△MPC是直角三角形时，或 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．