湖南省娄底市涟源市2023年中考（一模）数学试题

湖南省娄底市涟源市2023年中考（一模）数学试题

一、单选题

1．“学习强国”平台上线的某天，全国约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为（   ）

A． B． C． D．

2．下列图形不是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．代数式有意义，那么x应满足的条件是（    ）

A． B． C． D．

4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

5．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

6．某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么估计该厂10万件产品中合格品为（    ）

A．9.5万件 B．95万件 C．9500件 D．5000件

7．如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方位角是（　　）

A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．西偏北

8．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的值可能是（    ）

A．7 B．5 C．3 D．1

9．若，则一次函数的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

10．今年，郑凯12岁，他爸39岁．x年后郑凯年龄是他爸的一半，则x是（　　）

A．10 B．12 C．14 D．15

11．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC一定是（ 　　）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

12．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（　　）

A．4 B．6 C．9 D．12

二、填空题

13．若一组数据6，x，2，3，4的平均数是4，则这组数据的中位数为________．

14．已知，是方程的两个根，则______.

15．已知为实数，则点一定在第 __象限．

16．两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是___．

17．将一副三角尺按如图的方式拼摆，则的度数为______．

18．如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是_____个．（用含有n的式子表示）

​

三、解答题

19．计算：．

20．先化简，再求值：，其中x的值从，，，中选取．

21．购物支付方式日益增多，主要有：A微信，B支付宝，C现金，D其他．数学兴趣小组对消费者的支付方式进行了抽样调查，得到如两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次一共调查了多少名消费者？

(2)补全条形统计图；

(3)求扇形统计图中D对应的圆心角度数．

22．如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域长为米，当身高为米的学生进入识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，在点处测得摄像头的仰角为，求学校大门的高是多少米．

23．直播带货已经成为年轻人的购物时尚．为回馈粉丝，直播带货达人甜甜姐推出促销措施，在她的直播间按市场价购买火狐狸服装，均可到线上客服处领取的补贴．粉丝丽丽因此购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多元．

(1)丽丽所买皮衣与毛衣的单价各是多少元？

(2)丽丽可以到线上客服处领取多少元补贴？

24．如图，菱形的对角线AC，BD相交于点O，分别延长，到点E，F，使，依次连接B，F，D，E各点．

(1)求证：；

(2)若，则当　　°时，四边形是正方形．

25．如图，是的直径，C是上一点， C于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求的长．

26．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，，其对称轴为直线，且．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接．求证：．

(3)点P是x轴上的动点，点Q是直线上的动点，是否存在点P、O，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说理由．

参考答案：

1．D

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】解：．

故选D．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．B

【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．

【详解】解：A.是轴对称图形，故A不符合题意；

B.不是轴对称图形，故B符合题意；

C.是轴对称图形，故C不符合题意；

D.是轴对称图形，故D不符合题意，

故选：B．

【点睛】本题考查轴对称图形的识别，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

3．C

【分析】根据二次根式有意义的条件得出，继而即可求解．

【详解】解：依题意，，

解得：，

故选：C．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

4．C

【分析】根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可.

【详解】解：将不等式组的解集表示如图：

故答案选：

【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，是否熟练掌握在数轴上表示小于向左，大于向右是解题的关键.在数轴上表示等于号的点是实心点，只有大于号或者小于号表示的点是空心点是解题的易错点.

5．C

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．

【详解】从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．

故选：C．

【点睛】本题考查了立体图形的左视图问题，掌握立体图形三视图的性质是解题的关键．

6．A

【分析】根据抽样调查中的合格率，计算出10万件产品中的合格品数量即可．

【详解】解：根据抽样调查的结果可知，该纺织厂的合格率为：，

故该厂10万件产品中的合格品为：（件），

故合格品为9.5万件，

故选：A．

【点睛】本题考查由样本估算整体，能够熟练的整理数据，并从数据中获取有用的信息是解决本题的关键．

7．C

【分析】根据已知计算即可．

【详解】解：如图：

由题意得：，

∵，

∴，

∴的方位角是北偏西，

故选：C．

【点睛】本题考查了方位角，直角的意义，熟练掌握方位角的意义是解题的关键．

8．D

【分析】根据反比例函数的图象经过第二、四象限，可得，从而可得答案．

【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，

∴，

解得：．

∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意；

故选D．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质：当反比例函数图象在一、三象限时，则；当反比例函数图象在第二、四象限时，则．

9．C

【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，

故选：C．

【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟悉的意义是解题关键．

10．D

【分析】根据x年后郑凯的年龄是他爸的一半，列方程即可求解．

【详解】解：由题意得： ，

解得：．

故选：D．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系式，列出方程是解题的关键．

11．A

【分析】将等式移项整理后，将左边分解因式，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．

【详解】解：已知等式变形得：

故选A．

【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12．B

【分析】根据等腰三角形的性质可知，根据相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质定理即可求出的长度．

【详解】解：，

，

由题意可知：，

，

，

设，

，

，

．

故选：B．

【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．

13．4

【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．

【详解】∵数据6，x，2，3，4的平均数是4，

∴，

解得：=5，

这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，5，6，

则中位数为4．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

14．2023

【分析】直接利用根与系数的关系直接求解即可．

【详解】，是方程的两个根，

那么，

则

故答案为：2023

【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是明确两根的和与差的区别，避免混淆．

15．四

【分析】根据各个象限内点的坐标特征即可进行解答．

【详解】解：，，

点一定在第四象限．

故答案为：四．

【点睛】本题主要考查了各个平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是掌握各个象限内点的坐标特征．

16．

【分析】用列表法即可解决．

【详解】列表如下：

事件总的可能结果数为9，手势相同的有3种，则两人手势相同的概率是．

故答案为：

【点睛】本题考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，根据概率计算公式，关键是由图或表中得到事件所有可能的结果数及事件发生的结果数．

17．

【分析】根据三角形外角的性质可得，进而得出答案．

【详解】解：∵一副三角尺按如图的方式拼摆，

∴，，，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角板中的角度计算以及三角形外角的性质，熟记三角板的角度以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．

18．

【分析】通过分析图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系即可得出结论．

【详解】解：由图形可知：

第1个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5，

第2个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，

第3个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，

…，

∴第n个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了图形与数字的变化规律，列代数式，通过分析找到图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系是解题的关键．

19．

【分析】先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，实数的混合计算，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．

20．，

【分析】根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简后的式子即可求解．

【详解】解：原式

∵x不能取，0，1，

∴．

∴原式．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算是解题的关键．

21．(1)200名

(2)见解析

(3)

【分析】（1）用B支付方式的人数除以它的百分比即可求解；

（2）求出A支付方式，D支付方式的人数，然后补图即可；

（3）用乘以D支付方式的百分比即可．

【详解】（1）解：（名），

答：本次调查的总人数为200名；

（2）解：A支付方式的人数为（名）

D支付方式的人数为（名），

补图如下：

（3）解：在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为．

【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．学校大门ME的高是米

【分析】利用三角形的外角性质可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可．

【详解】解：根据题意可知，米，米，

，

，

，

米，

在中，，

，

（米）

答：学校大门ME的高是米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

23．(1)丽丽所买皮衣的单价是元，毛衣的单价是元

(2)元

【分析】（1）设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，根据购买了一件皮衣和一件毛衣，共花去元，已知皮衣单价比毛衣单价的2倍还多元列出方程组求解即可；

（2）用乘以即可得到答案．

【详解】（1）解：设丽丽所买皮衣的单价是x元，毛衣的单价是y元，

根据题意得：，

解得：．

答：丽丽所买皮衣的单价是元，毛衣的单价是元；

（2）解：元，

答：丽丽可以到线上客服处领取元补贴．

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程组和式子是解题的关键．

24．(1)见解析

(2)25

【分析】（1）根据菱形的性质可得，则，即可得到；

（2）先根据，，证明四边形是平行四边形，再根据得到四边形是菱形，只要，即得四边形BFDE为正方形；

【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，

∴，，

∴，

即，

在和中，

 ，

∴；

（2）解：若，则当时，四边形是正方形．理由如下：

∵四边形是菱形，

∴，，， ，

∵，

∴，

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴四边形是菱形，

要使四边形是正方形，则，

∴，

∴，

故答案为：25．

【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、正方形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

25．(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）如图，连接，先由垂径定理得到垂直平分，得到，再证明，得到，由是的切线，推出，即，即可证明是的切线．

（2）如图所示，连接，由是的直径，得到，进而证明，进一步证明，推出，在中，，由此求出，，则，即可得到．

【详解】（1）解：如图，连接，

∵经过圆心，

∴垂直平分，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵是的切线，

∴，

∴，即，

∴是的切线．

（2）解：如图所示，连接，

∵是的直径，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键．

26．(1)

(2)答案见解析

(3)存在，理由见解析

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）证明即可求解；

（3）注意是这一问的关键突破口．

【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，且，

，

由题意得：

 解得：，

抛物线的表达式为：；

（2）如下图，连接，

抛物线与轴交于点C，顶点为D，

，

当时，，

即点，

，

 由点B、C、D的坐标得：，

同理可得：，

，

 为直角三角形，即；

（3）存在，理由：

设直线的解析式为：，

，

，

解得： ，

直线的解析式为：，

，

，

是矩形的邻边，

，

的解析式为：，

点P、Q的坐标分别为 ．

【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、勾股定理逆定理、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．