陕西省商洛市2023届高三（二模）文科数学试题

陕西省商洛市2023届高三（二模）文科数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．复数（    ）

A． B． C． D．

3．执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

4．已知实数满足约束条件，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

6．十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（    ）

A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低

B．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡

C．在跳高和铁饼项目中，甲、乙水平相当

D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大

7．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ）

A． B． C． D．

8．先把函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当时，函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

9．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知抛物线的焦点为，点，在上，且的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知某圆锥的高为，体积为，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

12．古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美．”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有（    ）

①函数可以是某个正方形的“优美函数”；

②函数只能是边长不超过的正方形的“优美函数”；

③函数可以是无数个正方形的“优美函数”；

④若函数是“优美函数”，则的图象一定是中心对称图形．

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

二、填空题

13．已知向量，满足，，，则与的夹角为______．

14．设E，F分别在正方体的棱，上，且，，则直线与所成角的余弦值为__________.

15．甲、乙，丙3人每人制作了一张写有励志铭的卡片，将这些卡片装人3个外观完全一样的信封内（一个信封装一张卡片），放在一起后，甲、乙，丙3人每人随机抽取一个信封，则每个人都没有抽到装有自己制作的卡片的信封的概率为________．

16．已知椭圆，，，斜率为的直线与C交于P，Q两点，若直线与的斜率之积为，且为钝角，则k的取值范围为_______．

三、解答题

17．已知等差数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)设的前n项和为，求数列的前n项和．

18．某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：

以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率．

(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；

(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率．

19．如图，在直三棱柱中，D是AC的中点．

(1)证明：∥平面．

(2)若，求点A到平面的距离．

20．已知双曲线的离心率为2，且双曲线C经过点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)设M是直线上任意一点，过点M作双曲线C的两条切线，，切点分别为A，B，试判断直线AB是否过定点．若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

21．已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)设函数，若恒成立，求实数的取值范围．

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)已知点P的极坐标为，设曲线和直线交于M，N两点，求的值．

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．

参考答案：

1．A

【分析】解不等式可得集合，由交集定义可得结果.

【详解】由得：，即，.

故选：A.

2．C

【分析】根据复数除法运算法则化简求解即可.

【详解】．

故选：C.

3．B

【分析】逐次执行程序计算，，直到满足，输出即可．

【详解】第一次循环：，；

第二次循环：，；

第三次循环：，；

第四次循环：，；

第五次循环：，．

退出循环，输出．

故选：B．

4．D

【分析】由约束条件可作出可行域，将问题转化为直线在轴截距最小值的求解问题，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，

当取得最小值时，直线在轴截距最小，

平移直线可知，当过图中点时，其在轴的截距最小，

由得：，即，.

故选：D.

5．C

【分析】奇偶性定义判断函数奇偶性，结合上函数符号，应用排除法即可得答案.

【详解】因为，所以且定义域为R，

所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A、B.

当时，，排除D.

故选：C

6．D

【分析】根据雷达图对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由雷达图可知，400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，A错误；

甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在内，波动较小，B错误；

在铁饼项目中，乙比甲水平高，C错误；

甲的各项得分的极差约为，乙的各项得分的极差小于200，D正确．

故选：D

7．C

【分析】根据正弦定理转角为边，进而即可求解．

【详解】由，所以根据正弦定理得，即，解得．

故选：C．

8．B

【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则可得解析式，根据正弦型函数值域的求法可求得结果.

【详解】由题意得：，

当时，，，

即的值域为.

故选：B.

9．D

【分析】利用导数可求得单调性和最值，由此可得图象，根据函数零点个数可直接构造不等式求得结果.

【详解】定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；，

可得图象如下图所示，

有个零点，，解得：，即实数的取值范围为.

故选：D.

10．A

【分析】根据抛物线方程可求得的坐标，利用三角形面积构造方程求得的值，利用抛物线焦半径公式可求得结果.

【详解】由抛物线方程知：，

又，，，，

，解得：，

.

故选：A.

11．B

【分析】先设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l，再根据题意求得的值，结合勾股定理求得的值，进而即可求得圆锥的侧面积．

【详解】设该圆锥的底面半径与母线长分别为r，l，

由，得，

所以，

所以该圆锥的侧面积．

故选：B．

12．B

【分析】根据“优美函数”的定义，可判断①③中的函数为奇函数，其图象为中心对称图形，可判断其正误，结合余弦函数的性质可判断②，作图分析，举出反例，判断④.

【详解】对于①，满足，故为奇函数，

则图象原点对称，且连续，

所以可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故①正确．

对于②，令，得，

所以图象的对称中心为，

故以为中心的正方形都能被函数的图象平分，

即可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故②错误．

对于③，令，,

则，故为奇函数．

又因为的图象是由的图象向下平移一个单位长度得到的，

所以图象的对称中心为，故以为中心的正方形都能被的图象平分，故③正确．

对于④，如图所示，图中两三角形面积相等，函数是“优美函数”，

但其图象不是中心对称图形，

可知④错误，

故选：B

13．##

【分析】先设与的夹角为，再根据由向量夹角公式即可求解．

【详解】设与的夹角为，

则，

又，所以与的夹角为．

故答案为：．

14．##0.8

【分析】利用构造平行线，再解三角形即可处理异面直线夹角问题.

【详解】如图所示，在棱，上分别取点N，M，使得，，连接，，

可知，则为直线与所成的角.

设，在中，易得，，，

设，则，从而.

故答案为：

15．

【分析】先求得甲、乙，丙3人每人从中随机抽取一张共有6种抽法，再求得每个人都没有抽到装有自己制作的卡片的信封有2种抽法，进而即可求得概率．

【详解】由甲、乙，丙3人每人从中随机抽取一张共有种抽法，

又每个人都没有抽到装有自己制作的卡片的信封有种抽法，

所以所求的概率为．

故答案为：．

16．

【分析】先设，，，再联立直线的方程和椭圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，从而得到，，，，结合直线与的斜率之积为可得，再结合为钝角即可求得k的取值范围．

【详解】设，，，

联立方程组，消去y得，

由，即，

所以，，，，

所以，解得（舍去）或．

由为钝角，得，即，

所以，解得，

因为，所以．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

①设直线方程，设交点坐标为，；

②联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y)的一元二次方程，必要时计算；

③列出韦达定理；

④将所求问题或题中的关系转化为， (或，)的形式；

⑤代入韦达定理求解．

17．(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的性质即可求得的值，进而即可求得的通项公式；

（2）先根据等差数列前n项和的公式求得，从而可得的通项公式，再根据裂项相消即可求得．

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由，，得，解得．

所以．

（2）由（1）得，

所以，

所以．

18．(1)

(2)Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000；

【分析】（1）根据表格求出商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数，从而求出相应的概率；

（2）根据到会人数位于的区间，求出Y的所有可能取值，并求出Y不超过15000元的概率.

【详解】（1）由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为，

所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为．

（2）当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，

若到会人数位于区间内，

则元，

若到会人数位于区间内，

则元，

若到会人数位于区间内，

则元，

若到会人数超过11000，则元，

即Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000

Y不超过15000元，意味着到会人数不超过10000，

到会人数不超过10000的频率为，

所以Y不超过15000元的概率的估计值为．

19．(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）连接交于点E，得到E是的中点，连接DE，得到，进而结论得证；

（2）先根据题意求得，再利用等体积法计算即可得到点A到平面的距离．

【详解】（1）连接交于点E，则E是的中点，

连接DE，又D是AC的中点，所以．

又平面，且平面，所以平面．

（2）因为D为等腰直角斜边AC的中点，

所以，，

所以，

又，，，

所以，所以，

易证平面，所以，

因为，所以，

设点A到平面的距离为d，所以三棱锥的体积，

又，得，解得．

20．(1)

(2)直线AB过定点；理由见详解

【分析】（1）根据双曲线的离心率为2，可得，再将点的坐标代入即可解得，从而得到，进而即可双曲线C的方程；

（2）设，，，的方程为，再联立双曲线C的方程和的方程即可得到关于的一元二次方程，再令，结合题意可得，从而得到的方程，同理可得到的方程，再将点代入整理即可得解．

【详解】（1）因为双曲线的离心率为2，所以，即，所以双曲线C的方程为．

把点的坐标代入双曲线C的方程，得，解得，

所以，双曲线C的方程为．

（2）设，，，的方程为，

联立，消整理得．

，

令，得，即．

又，所以，进一步可化为，所以，

所以的方程可化为，化简得．

同理可得的方程为．

又点在直线和上，所以，

所以过点，的直线为上，

令，得，故直线AB过定点．

21．(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）求导后，根据正负可得的单调区间；

（2）将不等式转化为，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得图象，将问题转化为图象恒在直线上方，采用数形结合的方式可构造不等式求得结果.

【详解】（1）当时，，则，

当时，；当时，；

的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由得：，即，

令，则定义域为，；

令，恒成立，

在上单调递增，又，，

，使得，即，；

则当时，，即；当时，，即；

在上单调递减，在上单调递增，

，

由此可得图象如下图所示，

恒过定点，斜率为，

若恒成立，结合图象可知：必有，解得：，

实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为图象恒在直线上方的问题，进而通过数形结合的方式来进行求解.

22．(1)，

(2)

【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式，化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）将点P的极坐标化为直角坐标，并判断点P在直线上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线代入曲线的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解．

【详解】（1）将消去参数，得，

所以曲线的普通方程为．

由，得，

将，代入上式，得

所以直线的直角坐标方程为．

（2）因为点P的极坐标为，所以P的直角坐标为，则点P在直线上，

易得直线的参数方程为（t为参数），

将其代入圆的方程，并整理得．

因为，所以方程有两个不相等的实数根，

设这两个根分别为和，则，．

所以．

23．(1)

(2)

【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式即可；

（2）关于x的不等式有解，只需即可，再利用绝对值的意义求得的最小值，进而即可求得实数m的取值范围．

【详解】（1）当时，，

则求不等式的解集即为求不等式的解集．

当时，得，得；

当时，得，不等式恒成立；

当时，得，得，

综上，不等式的解集为．

（2）依题意，关于x的不等式有解，即．

因为，所以．

由，得，解得．

所以实数m的取值范围为．