初中人教版15.3 分式方程第2课时课时练习

第十五章 分式

15.3 分式方程

第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,列出分式方程解决简单的实际问题,并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.

【过程与方法】

1. 以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力.

2.培养学生分析问题、解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

鼓励学生进行探索和交流,培养他们的创新意识和合作精神.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.

【教学难点】

将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果.

五、课前准备 

教师：课件、直尺、分式方程的解法等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程

（一）导入新课

利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？这节课我们来学习怎么用分式方程来解决现实生活中的问题。（出示课件2）

教师问：同学们能不能说一下解分式方程的一般步骤是什么？

学生回答：解分式方程的一般步骤.

(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
   (2)解这个整式方程.
    (3) 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
   (4)写出原方程的根.

（二）探索新知

1.创设情境，探究列分式方程解答实际问题

教师：请同学们完成下面的题目：（出示课件4）

甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？

学生小组讨论后回答：（出示课件5）

解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个零件，依题意得：   

解得：x=18.

经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意.
由x＝18,得x–6=12
答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.
教师问：请同学们说一说列分式方程解应用题的步骤：

学生讨论后回答：读题，设未知数，列方程，解答.

总结点拨：（出示课件6）

列分式方程解应用题的一般步骤：

1. 审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.
6. 答:注意单位和语言完整.

教师小结：客观世界中存在着大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题，这也恰恰体现了我们经常谈到的一个关键词：“学以致用”.

例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快?
（出示课件7）

师生共同解答如下：

分析：本题没有具体的工作量，常常把工作量虚拟为1，工作时间的单位为“月”.甲队一个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队半个月完成总工程的＋.等量关系为：甲队单独做的工作量＋两队共同做的工作量＝总工程量1，则有＋＋＝1.

解:设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，依题意得（出示课件8）

方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，   解得 x=1.
检验:x=1时，6x≠0,x=1是原分式方程的解.

答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,  而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
    例2：某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？（出示课件11）
    解：设提速前列车的平均速度为x km/h，则提速前列车行驶s km所用的时间为 h；提速后列车的平均速度为（x+v）km/h，提速后列车运行 （s+50）km，所用时间为h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程:
    

去分母得：s(x+v)=x (s+50) (出示课件12)
去括号，得sx+sv=sx+50x.
移项、合并同类项，得 50x=xv.
解得x=.

检验：由于v，s都是正数，x=时，x（x+v）≠0，x=是原分式方程的解.
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
例3：关于x的方程 无解,求k的值.（出示课件14）

解：方程的两边同时乘(x+3)(x–3)得x+3+kx–3k=k+3
        整理得:(k+1)x=4k  ,因为方程无解,则x=3或x = –3
        当x=3时,(k+1) ·3=4k,k=3,
        当x= –3时,(k+1)(–3)=4k, k=-
    所以当k=3或k=-时,原分式方程无解.
    （三）课堂练习（出示课件17-23）

1. 下列方程中属于分式方程的有（        ）;
属于一元分式方程的有（        ）.
  ①           ②               
③              ④  x2 +2x–1=0
2.解方程：

3. 某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
    4. 某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.
    (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?
    (2)若甲工程队单独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;
    (3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?
   

参考答案：

1. ①③  ; ①

2. 解：方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1)
得：（x–1）+2（x+1）=4
∴x=1

检验：当x=1时，（x+1）（x–1）=0，
所以x=1不是原方程的根.
∴原方程无解.

3.

解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x–9）元/条，根据题意得：，

解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解，

∴x–9=26．

答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．

（2）设购买a条A型芯片，则购买（200–a）条B型芯片，

根据题意得：26a+35（200–a）=6280，

解得：a=80．

答：购买了80条A型芯片．

4. 解:(1)设乙单独做x天完成此项工程,则甲单独做(x+30)天完成此项工程.
     由题意得:20( )=1
     整理得x2–10x–600=0，解得x1=30,x2= –20.
     经检验:x1=30,x2=–20都是分式方程的解,
     但x2=–20不符合题意舍去.
     x+30=60.
    答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天.
    (2)设甲单独做a天后,甲、乙再合作(20– )天,可以完成此项工程.
    (3)由题意得1×a+(1+2.5)(20– )≤64
     解得a≥36
    答:甲工程队至少要单独做36天后,再由甲、乙两队合作完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元.
    （四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

列分式方程解应用题的一般步骤:

(1)审清题意,弄清题中涉及哪些量,已知量和未知量各有几个,量与量之间的基本关系是什么.

(2)设未知数,找出尽可能多的相等关系,用含有未知数的代数式表示其他未知量.注意,所设未知量的单位要明确.

(3)列方程,抓住题中含有相等关系的语句,将这些语句抽象为含有未知数的等式,这就是方程.

(4)解方程,检验解的合理性(包括检验是否是方程的解,是否符合实际),写出答案.

注意:列分式方程与列整式方程一样,注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数,列出方程.不同之处是所列方程是分式方程,最后进行检验,既要检验其是否为所列分式方程的解,又要检验是否符合实际意义.

（五）课前预习

预习下节课157页小结的相关内容。

知道本章知识结构图

七、课后作业

1、教材154页练习1,2

2、我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价贵4元,用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等.今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书?

八、板书设计：

九、教学反思：

1. 本节课整堂精心铺垫，结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开，选择生动有趣的、有现实意义的.对学生具有一定挑战性的、有助于学生实践创新的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，并用数学模型描述日常生活，从而使数学学习过程成为数学方法的掌握和数学思想的建构的过程，让学生形成良好的数学思维习惯和应用意识，能够自觉地用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.

2. 本节课的内容是列分式方程解应用题,重点是建立分式方程应用题的思维模型,会根据题中的条件找出等量关系,同时列出分式方程,并解答.注重从审、找、设、列、解、验、答几个步骤对应用题进行了详细的讲解,使学生对解分式方程应用题的步骤和思路有一个清晰而深刻的认识,同时也对书写的过程有准确的概念.