2023年江苏省苏州市姑苏区草桥中学中考数学零模试卷（含答案）

这是一份2023年江苏省苏州市姑苏区草桥中学中考数学零模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州市姑苏区草桥中学中考数学零模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2023的倒数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
2．（3分）被誉为：“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2，将250000用科学记数法可表示为（　　）
A．25×104 B．2.5×105 C．2.5×104 D．0.25×106
3．（3分）为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取方法最合适的是（　　）
A．随机抽取一个班级的学生
B．随机抽取一个年级的学生
C．随机抽取一部分男生
D．在全校每个班级中随机抽取10%的学生
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3
C．a6÷a2＝a8 D．3a2+4a3＝7a5
5．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，若∠1＝70°，则∠GFE的度数为（　　）

A．60° B．45° C．55° D．70°
6．（3分）如图，有一个三角形纸片ABC，点D、E分别是AB、AC边上的中点，△ADE为阴影部分．现有一蚂蚁在纸片上任意爬行，并随机停留在某处，则蚂蚁停在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长AB＝8，点E为平面内一动点，且AE＝4，点F为CD上一点，CF＝2，连接EF、ED，当线段EF的长最小时，三角形ADE的面积是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）计算：＝　 　．
10．（3分）因式分解：a2﹣9＝　 　．
11．（3分）正n边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则n＝　 　．
12．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m﹣n的值是 　 　．
13．（3分）一次函数y＝ax﹣2的图象经过点（3，0），当y＞0时，x的取值范围是 　 　．
14．（3分）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 　 　．

15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE＝BF；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内，交于点G；作射线BG交DC于点H．若AD＝2，则BH2的长为 　 　．

16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是 　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：|﹣2|﹣+（）﹣2+cos30°．
18．（5分）解不等式组：．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）某校开展“垃圾分类，从我做起”的活动，该活动的志愿者从甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取．
（1）若随机抽取1名，甲被抽中的概率为　 　；
（2）若随机抽取2名，求甲在其中的概率．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BC＝8，BF＝4，求sinB的值．

22．（8分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m的值是　 　，类别D所对应的扇形圆心角的度数是　 　度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
23．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（2，m ），点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一动点．过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y＝x于点G．
（1）求k与m的值；
（2）若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标．

24．（8分）妮妮打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知，买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）妮妮准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，她怎样购买可以使买花费用最少？
25．（10分）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝4，sinC＝，
①求⊙O的半径；
②求BD的长．

26．（10分）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
（1）如图1，在对角互余四边形ABCD中，∠D＝30°，且AC⊥BC，AC⊥AD．若BC＝1，求四边形ABCD的面积和周长．
（2）如图2，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，∠OAC＝∠ABC，求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；
（3）在（2）的条件下，如图3，已知AD＝4，，AB＝3AC，连接BD，求线段BD的长．

27．（10分）如图1，抛物线y＝（x﹣m）2﹣2m+1（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．
（1）下列说法正确的是 　 　（填序号）．
①该抛物线开口向上；
②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方；
③该抛物线的顶点在直线y＝﹣2x+1上．
（2）如图2，若直线y＝﹣2x+1与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段MN的长是一个定值，并求出这个值．
（3）在（2）的条件下，点E是直线y＝﹣2x+1上的一个动点（图3），当EN：MN＝1：2时，△BMN与△BEM相似，求此时抛物线的函数表达式．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【分析】利用倒数的定义判断．
【解答】解：2023的倒数是，
故选：C．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将250000 用科学记数法表示为2.5×105．
故选：B．
3．【分析】应用抽样调查的可靠性进行判定即可出答案．
【解答】解：A．随机抽取一个班级的学生，不能很好地反映总体的情况，故A选项不符合题意；
B．随机抽取一个年级的学生，不能很好地反映总体的情况，故B选项不符合题意；
C．随机抽取一部分男生，不能很好地反映总体的情况，故C选项不符合题意；
D．在全校每个班级中随机抽取10%的学生，能很好地反映总体的情况，故D选项符合题意．
故选：D．
4．【分析】根据单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、2a2•3a＝6a3，故A符合题意；
B、（2a）3＝8a3，故B不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；
D、3a2与4a3不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
5．【分析】由平角的定义可求解∠CEG的度数，结合角平分线的定义可求∠CEF得度数，再利用平行线的性质可求解．
【解答】解：∵∠1+∠CEG＝180°，∠1＝70°，
∴∠CEG＝110°，
∵EF平分∠CEG，
∴∠CEF＝∠CEG＝55°，
又∵AB∥CD，
∴∠GFE＝∠CEF＝55°，
故选：C．
6．【分析】根据三角形中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，得出＝（）2＝，即可求解．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴石子落在阴影部分的概率是．
故选：C．
7．【分析】根据原计划的天数﹣实际的天数＝提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
＝2，
故选：A．
8．【分析】由AE＝4，知E的轨迹是以A为圆心，4为半径的⊙A，故当E在线段AF上时，EF最小，过E作EH⊥AD于H，可得DF＝6，AF＝＝10，根据＝，即得HE＝×4＝，从而可得答案．
【解答】解：∵AE＝4，
∴E的轨迹是以A为圆心，4为半径的⊙A，
当E在线段AF上时，EF最小，过E作EH⊥AD于H，如图：

∵AB＝AD＝CD＝8，CF＝2，
∴DF＝6，
∴AF＝＝＝10，
∵sin∠DAF＝＝，
∴HE＝×4＝，
∴S△ADE＝×8×＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
10．【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
11．【分析】正n边形每个内角的度数都是其外角度数的5倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度数，进而利用外角和求出n．
【解答】解：设多边形的每个外角为n，则其内角为5n，
n+5n＝180°，
解得：n＝30°，
即这个多边形的边数为：360°÷30°＝12．
故答案为：12．
12．【分析】将x＝1代入mx2﹣nx﹣1＝0（m≠0）中即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，
∴m﹣n﹣1＝0，
∴m﹣n＝1，
故答案为：1．
13．【分析】将点的坐标代入解析式即可求得a的值，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝ax﹣2的图像经过点（3，0），
∴3a﹣2＝0，
∴a＝，
∵＞0，
∴函数y＝ax﹣2随x的增大而增大，
∴当y＞0时，x的取值范围是x＞3．
故答案为：x＞3．
14．【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2＝，然后解方程即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π×2＝，
解得n＝120，
所以侧面展开图的圆心角为120°．
故答案为：120°．
15．【分析】根据平行四边形的性质得到C＝30°，AB∥CD，BC＝AD＝2，根据角平分线的定义得到∠CBH＝∠ABH，过B作BP⊥CD于P，根据直角三角形的性质得到BP＝＝1，CP＝BC＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在▱ABCD中，∠ABC＝150°，
∴AB∥CD，BC＝AD＝2，∠C＝30°，
由作图知，BH平分∠ABC，
∴∠CBH＝∠ABH，
∵AB∥CD，
∴∠CHB＝∠ABH，
∴∠CHB＝∠CBH，
∴CH＝BC＝2，
过B作BP⊥CD于P，
∴∠CPB＝90°，
∴BP＝＝1，CP＝BC＝，
∴HP＝CH﹣CP＝2﹣，
∴BH2＝BP2+HP2＝8﹣4，
故答案为：8﹣4，

16．【分析】过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF＝45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，由勾股定理可求解．
【解答】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG＝DA，FG＝AE，
∴AE＝BG，
∴BG＝FG，
∴∠FBG＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，
∴DC'＝＝＝3，
∴DF+CF的最小值为3，
故答案为：3．

三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】先分别化简绝对值，算术平方根，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝2﹣2+4+
＝4+．
18．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤﹣，
∴原不等式组的解集是﹣1＜x≤﹣．
19．【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝，
当x＝2﹣时，原式＝＝．
20．【分析】（1）由从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种等可能的结果，甲在其中的有3种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们出现的可能性相等．
恰好抽取1名恰好是甲（记为事件A）的结果有1种，
所以P（A）＝．
故答案为：．
（2）画树状图得：

共有12种可能的结果：
（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙）、（丁，丙）．
它们是等可能的，记“随机抽取2名，甲在其中”为事件A，
则事件A发生的可能有6种，
∴．
21．【分析】（1）证AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出结论；
（2）由角平分线的性质得EF＝EC，设BE＝x，则EF＝EC＝BC﹣BE＝8﹣x，在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，求出x＝5，则BE＝5，EF＝3，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥AC，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，
∴EF＝EC，
设BE＝x，则EF＝EC＝BC﹣BE＝8﹣x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF2+EF2＝BE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴BE＝5，EF＝8﹣x＝3，
∴sinB＝＝．
22．【分析】（1）本次共调查了10÷20%＝50（人）；
（2）B类人数：50×24%＝12（人），D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），根据此信息补全条形统计图即可；
（3）＝32%，即m＝32，类别D所对应的扇形圆心角的度数360°×＝57.6°；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名）．
【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50（人），
故答案为50；
（2）B类人数：50×24%＝12（人），
D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），

（3）＝32%，即m＝32，
类别D所对应的扇形圆心角的度数360°×＝57.6°，
故答案为32，57.6；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．
800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名），
答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
23．【分析】（1）利用正比例函数的解析式求得m＝2，然后利用待定系数法即可求得k＝8；
（2）设H点的横坐标为x，则G（x，x），即可求得S△GOH＝x2，由S△POH＝k＝4，得出S△OPG＝S△POH﹣S△GOH＝4﹣x2＝2或S△OPG＝S△GOH﹣S△POH＝x2﹣4＝2，进而求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（2，m ），
∴m＝2，k＝2m，
∴k＝8，
（2）设H点的横坐标为x，则G（x，x），
∴S△GOH＝x2，
∵S△POH＝k＝4，
当P在A的上方时，S△OPG＝S△POH﹣S△GOH＝4﹣x2＝2，
∴x＝2（负数舍去），
∴P点的横坐标为2，
∴y＝＝4，
∴P点的坐标为（2，4）；
当P在A的下方时，S△OPG＝S△GOH﹣S△POH＝x2﹣4＝2，
∴x＝2（负数舍去），
∴P点的横坐标为2，
∴P点的坐标为（2，）；
故P点的坐标为（2，4）或（2，）．
24．【分析】（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合y元，可得，即可解得买一支康乃馨需4元，买一支百合5元；
（2）设买康乃馨a支，总费用w元，由康乃馨不多于9支，得a≤9，而w＝4a+5（11﹣a）＝﹣a+55，根据一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合y元，
根据题意得：，
解得，
答：买一支康乃馨需4元，买一支百合5元；
（2）设买康乃馨a支，总费用w元，
∵康乃馨不多于9支，
∴a≤9，
根据题意得：w＝4a+5（11﹣a）＝﹣a+55，
∴w＝﹣a+55，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝9时，w取最小值，最小值为﹣9+55＝46（元），
答：买康乃馨9支，最少费用是46元．
25．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线；只要证明OD⊥CD即可；
（2）①根据sinC＝，构建方程求解即可；
②证明△CDA∽△CBD，推出＝＝＝，设AD＝k，BD＝2k，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线；
理由：如图，连接OD．
∵EB＝ED，OB＝OD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB，
∵BE是⊙O的切线，OB是半径，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）①设OD＝OA＝r，
∵OD⊥CD，
∴sinC＝＝，
∴＝，
∴r＝2，
∴⊙O的半径为2；

②在Rt△COD中，CD＝＝＝4，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ADC+∠ODA＝90°，
∴∠ADC＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CBD，
∴＝＝＝，
设AD＝k，BD＝2k，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（k）2+（2k）2＝42，
∴k＝（负根已经舍去），
∴BD＝2k＝．

26．【分析】（1）由四边形ABCD是对角互余四边形，∠D＝30°，得∠B＝60°，则∠BAC＝30°，∠ACD＝60°，可求得AC＝BC•tan60°＝，AB＝AC•tan60°＝3，AB＝2BC＝2，CD＝2AC＝2，于是可求得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝2，AB+BC+CD+AD＝6+2；
（2）延长AO交⊙O于点E，连接CE，由AE是⊙O的直径，得∠ACE＝90°，而∠OAC＝∠ABC，∠E＝∠D，则∠ABC+∠D＝∠OAC+∠E＝90°，即可证明四边形ABCD是“对角互余四边形”；
（3）作∠FCD＝∠ACB，DF⊥CF于点F，使点F与点A在直线CD的异侧，由AB＝3AC，根据勾股定理得BC＝AC，可证明△ABC∽△FDC，得＝，∠ABC＝∠FDC，所以＝＝，由AD＝4，DC＝，得FC＝DC＝1，而＝＝3，则DF＝3FC＝3，因为∠ADF＝∠FDC+∠ADC＝∠ABC+∠ADC＝90°，所以AF＝＝5，连接AF，证明△BCD∽△ACF，可求得BD＝AF＝5．
【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是对角互余四边形，∠D＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠D＝60°，
∵AC⊥BC，AC⊥AD，
∴∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°，∠ACD＝90°﹣∠D＝60°，
∵BC＝1，
∴AC＝BC•tan60°＝1×＝，AB＝AC•tan60°＝×＝3，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝×1×+×3×＝2，
∵AB＝2BC＝2×1＝2，CD＝2AC＝2×＝2，
∴AB+BC+CD+AD＝2+1+2+3＝6+2，
∴四边形ABCD的面积为2，周长为6+2．
（2）证明：如图2，延长AO交⊙O于点E，连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠OAC＝∠ABC，∠E＝∠D，
∴∠ABC+∠D＝∠OAC+∠E＝90°，
∴四边形ABCD是“对角互余四边形”．
（3）解：如图3，作∠FCD＝∠ACB，DF⊥CF于点F，使点F与点A在直线CD的异侧，
∵∠BAC＝90°，AB＝3AC，
∴BC＝＝＝AC，
∵∠ACB＝∠FCD，∠BAC＝∠DFC＝90°，
∴△ABC∽△FDC，
∴＝，∠ABC＝∠FDC，
∴＝＝＝，
∵AD＝4，DC＝，
∴FC＝DC＝×＝1，
∵＝tan∠FCD＝tan∠ACB＝＝＝3，
∴DF＝3FC＝3×1＝3，
∵∠ADF＝∠FDC+∠ADC＝∠ABC+∠ADC＝90°，
∴AF＝＝＝5，
连接AF，
∵∠ACB+∠ACD＝∠FCD+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACF，
∴△BCD∽△ACF，
∴＝＝，
∴BD＝AF＝×5＝5，
∴线段BD的长是5．


27．【分析】（1）由二次项系数判定①，令x＝0计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③；
（2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段MN的长度，判定是否为定值；
（3）先根据DN：MN＝1：2算出DN的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解．
【解答】解：（1）由y＝（x﹣m）2﹣2m+1得顶点坐标为（m，﹣2m+1），二次项系数为1，
∴开口向上，故①正确，符合题意；
当x＝0时，y＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，
∴点C不一定在y轴正半轴上，故②错误，不符合题意；
将顶点坐标代入直线y＝﹣2x+1，得﹣2m+1＝﹣2m+1，故③正确，符合题意；
故答案为：①③；

（2）由，得：x2+（2﹣2m）x+m2﹣2m＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2﹣2m，
∴MN2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝（x1﹣x2）2+（2x1+1+2x2﹣1）2＝5[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝5[（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）2]＝20，
则MN＝2，
∴线段MN的长度是定值2；

（3）∵EN：MN＝1：2，
∴，
∴EN＝，
对直线y＝﹣2x+1，当x＝0时，y＝1，
∴D（0，1），OD＝1，
设N（x，﹣2x+1），则
DN＝＝，
解得：x＝﹣1或x＝1，
∴N（﹣1，3）或（1，﹣1），
将N（﹣1，3）代入y＝（x﹣m）2﹣2m+1，得3＝（﹣1﹣m）2﹣2m+1，
解得：m＝1或m＝﹣1，
当m＝1时，y＝x2﹣2x，
令y＝0时，x＝0或x＝2，
∴A（0，0），B（2，0），
由，得：，
∴M（1，﹣1），N（﹣1，3），符合条件；
∴MB＝＝，MD＝＝，
∴MB：MN≠MD：MB，
∴△MBN与△MDB不相似，舍去；
当m＝﹣1时，y＝x2+2x+4，
令y＝0时，x2+2x+4＝0，无解；
将N（1，﹣1）代入y＝（x﹣m）2﹣2m+1，得﹣1＝（1﹣m）2﹣2m+1，
解得：m＝1或m＝3，
当m＝1时，不符合条件，舍去；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+4，
由，解得：，
∴N（1，﹣1），M（3，﹣5），
当y＝0时，x2﹣6x+4＝0，
解得：x＝3﹣或x＝3+，
∴A（3﹣，0），B（3+，0），
∴BM＝，DM＝3，
∵MN＝2，
∴MN：BM＝2：＝：3，BM：DM＝：3＝：3，
∴MN：BM＝BM：DM，
∵∠BMN＝∠DMB，
∴△BMN∽△DMB，
综上所述，m＝3时，△MBN与△MDB相似．
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣5．