2023年江西省九江市汪墩中学四校联考中考数学一模试卷（含答案）

2023年江西省九江市四校联考中考数学一模试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，绝对值最小的数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列语句正确的是(    )

A. 的立方根是 B. 是的负的立方根
C. 的立方根是 D. 的立方根是

3.  下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，的位置经过怎样的运动和重合(    )

A. 沿翻折
B. 平移
C. 绕点旋转
D. 绕点旋转

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  若、互为相反数，、互为倒数，则的值是______．

8.  现有张卡片的正面分别写有数字，，，，除此之外完全相同，现将这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字之和为偶数的概率是        ．

9.  已知是关于的一元一次方程，则值为        ．

10.  如图，小兰想测量南塔的高度，她在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔高为______

11.  如图，为等腰三角形，是底边上一点，于点，于点，若，，点到的距离为，则______．

12.  如图，等边，点在轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是        ．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  分计算下列各题．
；
分解因式：

14.  分随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水西安市某区市民的生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，该地生活用水的费用元与人均生活用水的质量吨之间的关系如图所示请根据图象信息，回答下列问题：
当人均月生活用水不超过吨时，每吨按        元收取费用；
当用水量超过吨时，求生活用水的费用元与人均月生活用水的质量吨之间的函数关系式；
在该地居住的赵叔叔上个月缴水费元，他上个月用了多少吨水？

15.  分小蕾有某文学名著上册、中册、下册各册，她随机将它们叠放在一起，求从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率．

16.  分如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架所在直线相交于水箱横断面的圆心，支架与水平线垂直，，，另一根辅助支架，．
求的长度．结果保留根号
求的长度．结果保留一位小数．参考数据：，

17.  分如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图保留作图痕迹．

请在图中对角线上作一点，使得；
请在图中边上作一点，使得．

18.  分为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“：文明礼仪，：生态环境，：交通安全，：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
求本次随机调查的学生人数；
请你补全条形统计图；
在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角等于        度；
小明和小华两名同学准备从中各自随机参加一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
 

19.  分如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
求证：直线是的切线；
若，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．

20.  分如图，已知反比例函数的图象经过，两点，直线与轴交于点，且点，．
求的值；
求点的坐标；
将直线向上平移个单位，与反比例函数的图象交于点，位于上方，与轴交于点，若，求的值．

21.  分永佳超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？

22.  分如图，在正方形中，是对角线的交点，是线段上任一点不与点，重合，过点作，交边于点．
的度数为______．
求证：．
如图，若正方形的边长为，过点作于点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不发生变化，直接写出这个不变的值；若发生变化，请说明理由．

23.  分如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点是抛物线上的任意一点不与点重合，点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分包含端点记为图象．
求抛物线的解析式；
当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为？
将线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程；
当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．

1.     2.     3.     4.     5.      6. 

7.     8.      9.    10.     11.      12. 

13.解：
；
． 

14.解：（1）观察图象得：不超过5吨，每吨按16÷5=3.2（元）收取，
故答案为：3.2；
（2）当x＞5时，设y与x 之间的函数关系式为y=kx+b,
把（5，16）和（10，40）代入解析式得：，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=x-8；
（3）∵30.4＞16，
∴赵叔叔上个月用水超过5吨，
∴当y=30.4时，x-8=30.4，
解得x=8，
答：赵叔叔上个月用了8吨水．

15.解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有种，
所以从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是． 

16.解：，，
，
；

设水箱半径的长度为厘米，则厘米，厘米，
，
，
，
解得：．
． 

17.解：如图，点即为所求；
如图，点即为所求．
 

18.解：（1）本次随机调查的学生人数=15÷25%=60（人）；
故答案为：60；
（2）60-15-18-9=18（人），补全条形统计图如图所示：

（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角=360°×=108°，
故答案为：108；
（4）画树状图如图所示：

共有16个等可能的结果，
小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率==．

19.证明：连接，

是直径，
，则，
，
，
又，
，即，
是半径，
直线是的切线；

解：设，
，
，，
在中，，，
，解得或舍去，
，，
∽，
，则，
在中，，
，，
平分，
，
又，
∽，
，
． 

20.解：反比例函数的图象经过，
，
解得，
的值为；
由知，反比例函数解析式为，
过点作轴于点，过点作轴于点，

，
又，
∽，
，
，
，
又，
，
点的纵坐标为，
又点在反比例函数上，
，
设直线的解析式为，
代入点、点坐标得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
；
过作轴于点，过点作轴于点，

同理可证，∽，
，
，
，
将直线向上平移个单位得到直线，
直线的解析式为，
设，，
，
即，
由得，，
，
联立，解得或舍去，
，
点在直线上，
，
解得，
的值为． 

21.解：设每件商品应降价元，则每件商品的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
要求每件盈利不少于元，
应舍去，
故为所求．
答：每件商品应降价元时，该商店每天销售利润为元． 

22.（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∵P是线段AO上任一点，点E在CD边上，
∴∠PCE=45°，
故答案为：45°；
（2）证明：如图1，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N，

∵PB⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠MPB+∠EPN=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°，
∵AD∥MN，
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°，
∵∠MPB+∠MBP=90°，
∴∠EPN=∠MBP，
在Rt△PNC中，∠PCN=45°，
∴△PNC是等腰直角三角形，
∴PN=CN，
∵∠BMP=∠PNE=∠ABC=90°，
∴四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=PN，
∴△BMP≌△PNE（ASA），
∴PB=PE；
（3）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，PF=2，
理由：如图2，连接OB，

∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠EFP=90°，
∴∠OBP+∠BPO=90°，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPO+∠OPE=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
由（1）得PB=PE，
∴△OBP≌△FPE（AAS），
∴PF=OB，
∵AB=4，△ABO是等腰直角三角形，
∴OB==2，
∴PF的长为定值2．

23.解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
在中，令，则，
，
，
抛物线的顶点为，
当时，，
或，
当时，图象的最大值为，最小值为，
，
解得或，
时，图象的最大值与最小值的差为；
当时，图象的最大值为，最小值为，
图象的最大值与最小值的差为；
当时，图象的最大值为，最小值为，
，
解得舍去；
当时，图象的最大值为，最小值为，
，
解得或舍去；
综上所述：或时，图象的最大值与最小值的差为；
，，
将线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得，，
线段的两个三等分点坐标为，，
设平移后的抛物线解析式为，
抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，
，
解得，
平移后的抛物线解析式为，其顶点为，
而抛物线的顶点为，
平移前，后抛物线的顶点之间的距离为，
抛物线平移的最短路程为；
当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，如图：

当时，，此时图象与直线有且只有两个公共点，如图：

当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，
综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点．