2022上海市七宝中学高一下学期线上检测月考数学试题含解析

七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）

1. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=__________

【答案】##

【解析】

【分析】根据已知直线得到的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出的值，然后根据二倍角余弦公式即可求解．

【详解】根据题意可知：，

所以，

所以.

故答案为：.

2. 函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．

【答案】.

【解析】

【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.

【详解】函数,周期为

【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.

3. 设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.

【详解】，则，，故.

根据余弦定理：，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.

4. 已知>0,,直线=和=是函数图象的两条相邻的对称轴,则=         .

【答案】

【解析】

【详解】因为直线=和=是函数图象的两条相邻的对称轴，

所以，所以，，所以，

又因为是的一条对称轴，

所以，而，所以．

5. 函数的最大值为_________.

【答案】1

【解析】

【详解】由题意知：=

==

==，即，因为，所以的最大值为1.

考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.

6. 若向量与共线，且，则______．

【答案】0或2

【解析】

【分析】由题可知与相等或互为相反向量，据此即可求

【详解】向量与共线，且，∴与相等或互为相反向量，

当与相等时，，

当与互为相反向量时，．

故答案为：0或2．

7. 在中，内角所对边分别为，已知的面积为，，则的值为___________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.

考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．

【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.

8. 若不等式对恒成立，则的值等于______．

【答案】

【解析】

【分析】作出y＝在[－1，1]上的图像，作出符合题意的y＝的图像即可求出a、b，从而得到答案．

【详解】设函数y=，，下面分析它们的性质，以作出它们的图像.

①对函数y=，

时，，

∴当或，即或时，；

当，即时，．

②对，

则在上单调递减，在上单调递增，且的图像关于直线对称.

若不等式对恒成立，

则当或时，；当时，．

为使f(x)满足上述条件，其图像仅能如图所示：

，

，又，则，

﹒

故答案为：﹒

9. 已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________．

【答案】

【解析】

【详解】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得 ,且,所以

考点:本题主要考查三角函数的性质.

10. 已知函数，的部分图像如下图，则=____________.

【答案】

【解析】

【分析】先求出周期，从而可得，代入函数值为0，结合已知的范围，可求得，最后由可得．

【详解】由题意，∴，

又，，而，∴，

，，

∴，

∴．

故答案为．

【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．

11. 函数的零点个数为_________．

【答案】2

【解析】

【详解】因为

所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，

函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，

所以函数有2个零点．

考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．

12. 给出下列四个命题：

①在中，若，则；

②已知点，则函数的图象上存在一点P，使得；

③函数是周期函数，且周期与b有关，与c无关；

其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）

【答案】①③

【解析】

【分析】根据三角形为锐角三角形，结合三角函数的单调性，可判断①；化简，结合其图象，可判断②；谈论b是否为0，分析函数的周期情况，判断③.

【详解】对于①，在中，若，则,

故，故,故①正确；

对于②， ，

作出其靠近y轴部分图象如图示：

由图象可知，函数的图象上不存在点P，使得，故②错；

对于③，当 时，，该函数的周期为 ，与c无关，

当 时，，

该函数的周期为，与c无关，

故函数是周期函数，且周期与b有关，与c无关，③正确，

故答案为：①③

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13. 下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A. f(x)=│cos 2x│ B. f(x)=│sin 2x│

C. f(x)=cos│x│ D. f(x)= sin│x│

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．

【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．

【点睛】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；

14. 在△中，为边上的中线，为的中点，则

A  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

15. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（    ）

A. 265米 B. 279米 C. 292米 D. 306米

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．

【详解】如图所示，

△ABC中，AB＝1000，∠ACB＝21°+39°＝60°，∠ABC＝90°﹣39°＝51°；

由正弦定理得，，

所以AC；

Rt△ACD中，∠CAD＝18°，

所以CD＝AC•tan18°tan18°0.3249≈292（米）；

所以该塔的高度约为292米．

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．

16. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

三、解答题（本大题共有4题，满分70分）

17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；

（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：

且函数表达式为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得．

因为的对称中心为，．

令，解得，．

由于函数的图象关于点成中心对称，令，

解得，．由可知，当时，取得最小值．

考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．

18. 在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．

（1）求cos A值；

（2）求c的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【详解】(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，

所以在△ABC中，由正弦定理得＝.

所以＝.故cos A＝.

(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.

又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.

所以sin B＝＝.

在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋

cos Asin B＝.

所以c＝＝5.

19. 为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，，．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到）

（1）若，求EF的长；

（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）   

（2），最大面积为.

【解析】

【分析】（1）作，结合三角函数的顶柜表示出，即可求出结果；

（2）设，结合三角函数的顶柜表示出，然后表示出面积，结合诱导公式以及正切的二倍角公式进行化简，进而结合不等式即可求出结果.

【小问1详解】

作，垂足为，连接，则，

【小问2详解】

设，则，

，

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，

且，所以最大面积为.

20. 已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．

（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；

（2）已知关于x的方程在内有两个不同的解，．求实数m的取值范围；

（3）在第（2）条件下，证明：．

【答案】（1）；对称轴方程为   

（2），   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由函数的图象变换规律可得：，从而可求对称轴方程．

（2）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得（其中，，从而可求，即可得解．

（3）由题意可得，．当时，可得，当时，可得，利用三角函数诱导公式以及倍角公式即可证明结论.

【小问1详解】

将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图象，

再将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，

故，

从而函数图象的对称轴方程为．

【小问2详解】

（其中，

依题意，在区间，内有两个不同的解，，当且仅当，

故的取值范围是，．

【小问3详解】

因为，是方程在区间，内的两个不同的解，

所以，．

当时，，即；

当时，，即；

所以．