专题12：立体几何【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

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1.【2020武大6】 两个半径为实心球体，它们的球心相距.设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 【2020武大7】空间图形的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.【2020武大17】在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中，异面直线共有_______________对．
【2020武大19】若空间三条直线，，两两异面，则与三条直线都相交的直线有_______________条．
答案：无数条
5.【2021清华8】已知四面体中，，则体积的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
二、知识要点拓展
一．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为该线与另一线的射影垂直；
（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.
二．证明直线与平面垂直的思考途径：
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
三．空间的线线平行或垂直：设，，则：
1.平行：；
2.垂直：.
四．夹角公式：
设＝，＝，则.
推论 ，此即三维柯西不等式.
五．异面直线所成角：
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
六．直线与平面所成角：(为平面的法向量).
七．二面角的平面角：或（，为平面，的法向量）
八．空间两点间的距离公式 ：
若，，则 =.
九．点到平面的距离 ：
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
十．柱体、锥体的体积：
1.柱体：（是柱体的底面积、是柱体的高）
2.椎体：（是锥体的底面积、是锥体的高）
十一．长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.
十二．球的表面积和体积公式：
1.球的表面积公式：（为球的半径）
2.球的体积公式：（为球的半径）
一．空间余弦定理
如图，平面、相交于直线l。为l上两点，射线在平面内，射线在平面内。已知，且都是锐角，是二面角的平面角，则
。
►证明：在平面中，过作的垂线，交射线于点。
在平面中，过作的垂线，交射线于点。
设，则，
，并且就是二面角的平面角。
在与中，利用余弦定理，可得等式
，
所以，

故
二．射影面积公式：
在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为，此多边形的另一个半平面上射影多边形的面积为，又二面角的平面角度数为，则。
三．欧拉公式：
►欧拉公式：设、和分别表示凸多边形体面、棱（或边）、顶点的个数，则。
利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。
事实上，设正多面体每个面是边形，每个顶点引出条棱，则棱数应是（面数）与的积的一半，即。①
同时，应是（顶点数）与的积的一半，即。②
由①、②，，代入欧拉公式中，有。
由于故。
显然，不可能同时大于3.由和的意义知，故中至少有一个等于3.
当时，易得；同理，时，。
综上，时，即正四面体；当时，即正六面体；时，即正八面体；时，即正十二面体；时，即正二十面体。
四．祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
典例精讲
例1．（2011“华约”）两条异面直线互成，过空间中任一点A可以作出（ ）平面与两异面直线都成角。
一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
►答案 B
►分析与解答：如图，将异面直线平移到A点，记此时两条直线为，成，所确定的平面为，令分别为的两条角平分线。则与所成角相等的平面必经过或。而过与所成角的最大值为。这种情况不合要求。过的平面与所成角的范围为，绕l适当转动平面，并由对称性知，符合要求的平面有且仅有两个。
例2．（2011“卓越联盟”）在正方体中，E为棱的中点，F是棱上的点，且
，则异面直线EF与所成角的正弦值为（ ）。
（B） （C） （D）
►答案B
►分析与解答：如图，取中点G，连结FG，则EF与所成角即为。不妨设正方体棱长为1，则，。。
例3．（2010复旦）设是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面的中心点，则P到侧面的对角线的距离是（ ）。
（B） （C） （D）
►答案C
►分析与解答：在中，过作，垂足H。，则由余弦定理知，从而，所以。
例4．（2012“卓越联盟”）直角梯形中，，，面垂直于底面。
求证：面垂直于面；
若，求二面角的正切值。
►分析与解答：
（1）由于平面平面，且面，而
，。
由，。由（1）知，且
。
过作于延长线交于，连结，则
。易见。
设二面角的平面角大小为，则由空间余弦定理（见知识拓展）知
。
显然，
。。
故，即所求二面角的正切值为。
►注：本题的第（2）问比较难，这里我们用的是空间余弦定理，其优点是不用添加辅助线找出二面角，直接通过面角的三角关系求出二面角。
图5-1
例5．（2010同济）如图5-1，四面体中，和为对棱。设，且异面直线与间的距离为，夹角为。
若，且棱垂直于平面，求四面体的体积；
当时，证明：四面体的体积为一定值；
求四面体的体积。
►分析与解答：
（1）如图5-2，由于棱，过作边上的
高BE，则，故BE即为异面直线与间的距离，所以。所以
。

图5-2 图5-3
如图5-3，过作底面的垂线，垂足为，连结与相交于。连结，再过作的垂线，垂足为。因为，所以（三垂线定理的逆定理），所以，
又。所以EF即为异面直线的公垂线。所以。注意到。所以为定值。
如图5-4：将四面体补成一个平行六面体。由于所成角为，所以 又异面直线与间的距离即上、下两底面的距离，所以
。显然。
图5-4
例6．（2008复旦）在如图14-9所示的三棱锥中，点、的中点以及的中点所决定的平面把三棱柱切割成不相同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为（ ）
（B） （C） （D）
►分析与解答：
连结与的延长线交于，连。连结与延长线交于，依题意知点也在
所确定的平面内。设平面交于F。令原三棱柱底面积为S，高为。平面将原三棱柱分成上、下两部分体积分别记为。由于是中点，，故，从而
，同理，。

，
。
故，应选D。
注：本题的难点是添加辅助线。
例7．（2009清华）四面体中，。
求证：这个四面体的四个角都是锐角三角形；
设底面为，另外三个面与面所形成的二面角为。求证：。
►分析与解答：
（1）由对棱相等想到长方体。可构造一个如图7-1所示的长方体。设，，长方体长、宽、高分别为，则有
。
由，可得。于是，四面体的四个面都是锐角三角形。
如图7-2，设是在底面上的射影，由（1）知在内。由射影面积公式知
等。显然三个侧面及底面面积均相等，且
，故。
注：对于对棱相等的四面体经常考虑构造一个长方体。

图7-1 图7-2
例8．（2010五校联考）如图8-1，正四棱锥中，为PB中点，为PD中点，求两个棱锥的体积之比。
►分析与解答：
对于三棱锥，无论将哪个三角形作为底面都不方便计算体积，故考虑间接法，即考虑其余四个小三棱锥与原四棱锥的体积比。
，
同理，
，同理，。
所以，。
注：本题用到了这样一个结论，如图8-2，是（或延长线上）的点，则
。

图8-1 图8-2
例9．（2001复旦）已知棱柱的底面是等腰三角形，，上底面的顶点在下底面的射影是的外接圆圆心，设，，棱柱的侧面积为。
证明：侧面和都是菱形，是矩形；
求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小；
求棱锥的体积。
►分析与解答：
（1）如图，设在底面上的射影为，则是的外心。又由
，知时等边三角形侧面是菱形。由对称性知，侧面也是菱形。由于中，，是其外心，故有，即的射影垂直。由三垂线定理，，故侧面是矩形。
设，则。过作的垂线，垂足为，则即是侧面与侧面的二面角的平面角。而，故，即侧面与侧面的二面角大小为。
又，故是侧面与侧面的二面角的平面角，大小为。
同理，是侧面与侧面的二面角的平面角，大小为。
，，故。所以
，

真题训练

1（2010复旦）设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形为：

1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
则该多面体的体积为（ ）
（B） （C） （D）
2.（2007复旦）已知四棱锥，底面是菱形，，，线段
，点E是AB的中点，点F是PD的中点，则二面角的平面角的余弦值为（ ）。
（B） （C） （D）
3.（2008复旦）棱长为1的正四面体ABCD中，点M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为（ ）
（B） （C） （D）2
4.（2008复旦）若空间三条直线两两成异面直线，则与都相交的直线有（ ）。
（A）0条 （B）1条 （C）多于1的有限条 （D）无穷多条
5.（2010复旦）在一个底面半径为，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后。在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球。最多可以放入这样的小球的个数是（ ）
（A）32个 （B）30个 （C）28个 （D）26个
6.（2007复旦）棱长为的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则两球的半径之和为（ ）
无法确定 （B） （C） （D）
（2010同济）已知平面，点，点，AB与平面所成角分别为，点A、B在平面的交线上的垂足分别为，则线段与的比值为 。
8.（2004同济）设四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且。
求证：直线；
过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱锥的体积取到最大值，求此时四棱锥的高。
（2010五校联考）平面//平面，直线，点与面夹角为，，与的夹角为，求与的夹角。
10.（2007武大）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点。
求证：；
求四面体的体积。
（2004复旦）已知E为棱长为的正方体的棱AB的中点，求点B到平面的距离。
12.（2005复旦）在棱长为1的正方体中，分别为中点，求：
到面的距离；
二面角的平面角。
真题训练答案
1.【答案】D
【分析与解答】：此为一个立方体削去一个角所得。
2.【答案】C
【分析与解答】：四边形是菱形，且，故是等边三角形。E是AB的中点，故。由三垂线定理知，所以即是二面角的平面角。
设，则，，，。在中，由余弦定理知
。
3.【答案】：A
【分析与解答】：易知。在中，由中线长公式，知。
4.【答案】D
【分析与解答】：在直线上任取一点A，考虑A与直线b所成的平面与直线c有无交点。若存在交点C，则直线AC与直线b有交点B，则直线ABC与a,b,c均相交。若在直线a上的两点，与直线b组成的平面，均与直线c不相交，则，又与的交线为，这与为异面直线矛盾。所以由点A的任意性，知与均相交的直线有无穷多条。
5.【答案】B
【分析与解答】：设小球半径是。考虑其轴截面，如图①所示，利用大球与小球的球心距以及勾股定理，可得。考虑大球及小球在底面上的投影，如图②所示，则现在只要计算在一个半径为的圆内能放入多少个与之内切的半径为r的圆。考虑一个小圆对于大圆圆心的张角，其中。

① ②
6.【答案】C
【分析与解答】：设两球的半径为和，圆心为和，则在对角线上，。设主对角线为AB，，故，。
7.【答案】2
【分析与解答】：设，依题意知，且，所以。同理，，而是一个，，所以。所以。
8.【分析与解答】：（1）面，故AC是PC在底面ABCD上的射影。而，故由三垂线定理，知。
设高，由面，知。又，故，，即是直角三角形。
在中，，。
所以。（当时等号成立）
9.【分析与解答】：设n在平面上的投影为，点B在平面上的投影为C，C在上，与直线M交于D。由知，又，故，，所以面面。
现考虑四面体ABCD，其中，。设，由三面角公式，
，故m、n的夹角为。
10.【分析与解答】：（1）考虑PF在面上的射影，再用三角形全等易得其射影垂直于BE，故。
如图，在延长线上取点，使，则，，。
。
11.【分析与解答】：。在中，，，故。
又，故，即B到面的距离为。
12.【分析与解答】：（1）
。
在中，，故，
。
在面上的射影是，故。