2023年中考数学一轮复习课件：正方形

这是一份2023年中考数学一轮复习课件：正方形，共36页。PPT课件主要包含了正方形，思维导图，互相垂直平分且相等，考点梳理，平行四边形，互相垂直，垂直且相等，基础练考点，第1题图，教材原题到重难考法等内容，欢迎下载使用。
考点1 正方形的性质、判定及面积
考点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1. 从边、角的角度看：
2. 从对角线的角度看：
1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝BO，AB＝BC.
(1)则四边形ABCD是________，判定依据为：________________________________________________________；(2)若AC＝2 ，则AB＝________，▱ABCD的面积为________，周长为________；(3)点E为边BC上一点，若AB＝6，tan ∠AEB＝3，则CE的长为_______；(4)如图②，点F为对角线BD上一点， 若DA＝DF，则∠CAF的度数为________．
一组邻边相等的矩形是正方形(或对角线相等的菱形是正方形)
与正方形有关的证明及计算
例　教材原题　人教八下P68第8题如图①，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
解：BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：如图，设AF与BE交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝AD＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，∵DE＝CF，∴ AE＝DF，在△BAE和△ADF中， ∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴∠AEB＝∠DFA, BE＝AF，
∵∠D＝90°，∴∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠DAF＋∠AEB＝90°，∴∠AGE＝90°，∴BE⊥AF，∴即两条路等长，且互相垂直．
【拓展设问】(1)如图②，AF与BE交于点G，若GB－GA＝1，AB＝5，求GB的长及四边形GEDF的面积；
【思维教练】根据已知条件，利用勾股定理求出GA，GB的长，再通过相似三角形对应边成比例求出GE，AE的长，结合全等三角形可求得DF的长，由S四边形GEDF＝S△ADF－S△AGE求解即可．
解：(1)由例题可知，BE⊥AF，∴∠AGB＝90°，设GB＝x，则GA＝x－1，
在Rt△ABG中，∵AB＝5，∴52＝x2＋(x－1)2，解得x＝4(负值已舍去)，∴GB＝4，GA＝3，∵∠ABG＋∠BAG＝90°，∠BAG＋∠EAG＝90°，∴∠ABG＝∠EAG，又∵∠AGB＝∠EGA＝90°，∴△ABG∽△EAG，∴ ，
∴ ， ∴GE＝ ，AE＝ ， 由例题得△BAE≌△ADF，∴DF＝AE＝ ，∴S四边形GEDF＝S△ADF－S△AGE ＝ × ×5－ × ×3＝6；
(2)如图③，AF与BE交于点G，连接GC，若点E为AD的三等分点(且靠近点A)，求cs ∠FGC的值；
【思维教练】由已知条件可推出∠BGF＝90°，结合∠DCB＝90°得B，C，F，G四点共圆，通过作辅助线构造角相等，求解即可．
(2)如图，连接BF，
∵BE⊥GF，BC⊥DC，∴B，G，F，C四点共圆，∴cs ∠FGC＝cs ∠FBC＝ ；
(3)如图④，AF与BE交于点G，连接GC，若△BGC是以BC为腰的等腰三角形，AB＝5，求BE的长；
【思维教练】过点C作CH⊥BE于点H，构造全等三角形，利用勾股定理及相似三角形分别用含字母的代数式表示出BG，EG，即可求得BE的长．
(3)∵△BGC是以BC为腰的等腰三角形，当BC＝BG时，∵BC＝AB，∴BG＝AB，显然不成立；∴BC＝GC，
如图，过点C作CH⊥BE于点H，
∴△ABG≌△BCH(AAS)，∴AG＝BH＝GH，设AG＝BH＝GH＝a，则BG＝2a，∴在Rt△ABG中，AB＝ a，∵AB＝5，∴a＝ ，由(1)得△ABG∽△EAG， ∴
∴ ，∴EG＝ a，∴BE＝BG＋EG＝ ；
(4)如图⑤，设AF与BE交于点G，连接GC，当点E为AD的中点时，求证：BC＝GC.
【思维教练】过点C作CH⊥BG，构造全等三角形，用含有字母的代数式表示出AG，EG的长，由数量关系转化得到相等线段，再通过三角形全等即可求证．
(4)证明：如图，过点C作CH⊥BG，
由(3)得，△ABG≌△BCH，∴BH＝AG，设AB＝2a，则AE＝a，
∴在Rt△ABE中，BE＝ a，∵S△ABE＝ AB·AE＝ BE·AG，∴ ×2a×a＝ × a×AG，∴AG＝ a，∴在Rt△AGE中，EG＝ a， ∴BG＝BE－EG＝ a－ a＝ a，
∵BH＝AG＝ a，∴GH＝BG－BH＝ a－ a＝ a，∴GH＝BH，在△CGH与△CBH中， ∴△CGH≌△CBH(SAS)，∴BC＝GC.
1. 如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点(不与点A重合)，DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝ .(1)求tan ∠ACE；
解：(1)如图，过点E作EM⊥AC于点M，
∴∠AME＝∠EMC＝90°.∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，DE＝ ，∴∠CAD＝45°，AE＝AD－DE＝ ，AC＝ AB＝ ，∴EM＝AM＝AE·sin ∠CAD＝ ，∴CM＝AC－AM＝ ， ∴tan ∠ACE＝ ；
(2)设AF＝x，GH＝y.试探究y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；
(3)当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
(3)EG⊥AC.理由如下：∵∠ADF＝∠ACE，∴tan ∠ADF＝tan ∠ACE＝ ，∴ ，∴x＝ ，y＝ ，∴AH＝GH＝ ，∴EH＝AD－DE－HA＝ ，
∴EG＝ ，由(1)得EM＝ ，∴EG＝EM.∴点G与点M重合，又∵EM⊥AC，∴EG⊥AC.
2. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为(　　)　　　　　　　　　　　　A. B. C. D. 1
【解析】如图，过点F作FP⊥AB，交AB的延长线于点P，延长DC交PF的延长线于点Q，
∵BF为∠CBP的平分线，∴∠FBP＝∠CBF＝45°，∴∠FBP＝∠BFP＝45°，∴PF＝PB.∵DE⊥EF，∴∠DEA＋∠FEP＝90°.∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠FEP，又∵∠A＝∠FPE＝90°，∴△DAE∽△EPF，∴ ，∵BE＝2AE，AB＝3，∴AE＝1，BE＝2，
∴ ，∴BP＝1.∵BC∥PQ，∴△EBM∽△EPF，∴ ，∴BM＝ .∵△CDN∽△QDF，∴ ，∵QF＝QP －PF＝CB －BP＝2，DQ＝CD＋CQ＝CD＋BP＝4，
∴ ，解得CN＝ ，∴MN＝BC －CN －BM＝3－ .
3.如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD.连接EG并延长交BC于点M.若AB＝ ,EF＝1，则GM的长为(　　)A. B. C. D.
【解析】如图，过点F作FI∥EM，交BC于点I，
∵证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，∴∠AEB＝90°，BF＝AE＝CG，CF＝BE，
FG＝EF＝1，EG＝ .∵AB＝ ，∴AE2＋BE2＝AB2，即BF2＋(BF＋1)2＝( )2，解得BF＝2或BF＝－3(舍去)，∴BF＝AE＝CG＝2，CF＝BE＝3.∵ FI∥EM，∴△CGM∽△CFI，△BFI∽△BEM，∴ ，
，∴FI＝ GM， ， ∴ ，解得GM＝ .