2023年中考数学专题复习课件：特殊三角形存在性问题

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例　如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D.
(1)如图①，连接CD，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△MCD为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】分两种情况讨论：①当以CD为底时，根据等腰三角形的性质求解即可；②当以CD为腰时，根据对称性求得点坐标．
解：(1)存在．∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，∴C(0，3)，∵y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，∴D(1，4)，①如解图①，当以CD为底边时，则M1C＝M1D，设点M1的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，根据勾股定理得，M1C2＝x2＋(x2－2x)2， M1D2＝(x－1)2＋(x2－2x＋1)2，则有x2＋(x2－2x)2＝(x－1)2＋(x2－2x＋1)2，
整理得x2－3x＋1＝0，解得x1＝ ，x2＝ <1(舍去)， ∴x＝ ，∴y＝－x2＋2x＋3＝ ，∴M1( ， )；②如解图①，当以CD为腰时， ∵点M2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点M2与点C关于直线x＝1对称，∴M2(2，3).综上所述，点M的坐标为( ， )或(2，3)；
(2)如图②，在直线BC上是否存在点P，使得△ADP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】分三种情况讨论：①当∠DAP＝90°时；②当∠ADP＝90°时；③当∠APD＝90°时．求出直线BC的解析式，设出点P的坐标，分别求出AD，PA，PD的长，通过勾股定理求解即可．
(2)存在．∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，∴C(0，3)，A(－1，0)，B(3，0)，D(1，4)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，分别代入B，C的坐标， 解得k＝－1，b＝3，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(x，－x＋3)，∴AD2＝(1＋1)2＋42＝20，PA2＝(－1－x)2＋(－x＋3)2＝2x2－4x＋10，PD2＝(1－x)2＋(－x＋3－4)2＝2x2＋2，
①如解图②，当∠DAP＝90°时，AD2＋PA2＝PD2，即20＋2x2－4x＋10＝2x2＋2，解得x＝7，∴y＝－x＋3＝－4，∴P(7，－4)；②如解图③，当∠ADP＝90°时，AD2＋PD2＝PA2，即20＋2x2＋2＝2x2－4x＋10，解得x＝－3，∴y＝－x＋3＝6， ∴P(－3，6)；
③如解图④，当∠APD＝90°时，PA2＋PD2＝AD2，即2x2－4x＋10＋2x2＋2＝20，解得x1＝2，x2＝－1，∴y1＝－x1＋3＝1，y2＝－x2＋3＝4，∴P1(2，1)，P2(－1，4).综上所述，点P的坐标为(7，－4)或(－3，6)或(2，1)或(－1，4)；
(3)如图③，在坐标轴上是否存在一点Q(不与点O重合)，使得△BCQ为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】在坐标轴上找点Q时，分BC为斜边和BC为直角边两种情况讨论：①当BC为斜边时，点Q与点O重合，不符合题意；②当BC为直角边时，又细分∠BCQ＝90°和∠CBQ＝90°两种情况．
(3)存在．①当BC为斜边时，点Q与点O重合，不符合题意，舍去；②当BC为直角边时，在Rt△BOC中，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.如解图⑤，当∠BCQ1＝90°时，点Q1在x轴上，∵∠CBQ1＝45°，∴△BCQ1为等腰直角三角形，∵CO⊥BQ1，∴OQ1＝OB＝3，∴Q1(－3，0)；
如解图⑤，当∠CBQ2＝90°时，点Q2在y轴上，∵∠BCQ2＝45°，∴△BCQ2为等腰直角三角形，∵BO⊥CQ2，∴OQ2＝OC＝3，∴Q2(0，－3).综上所述，点Q的坐标为(－3，0)或(0，－3).
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3).(1)求抛物线的解析式；
解：(1)∵A(－1，0)，C(0，－3)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，将点A，C代入，得 ，解得 .∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)如图①，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为(0，－2)，求△DEF周长的最小值；
(2)如图，设点D1为点D关于直线 AB的对称点，点D2为点D关于直线 BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2，DD2，
由对称的性质可得DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长为D1E＋EF＋D2F.∴当点 D1，E，F，D2在同一直线上时， △DEF的周长最小，最小值为 D1D2的长度．
令y＝0，则 x2－2x－3＝0，解得 x1＝3，x2＝－1.∴B(3，0).∴OB＝OC＝3，△BOC为等腰直角三角形．∵BC垂直平分 DD2，且点D的坐标为(0，－2).∴D2(1，－3).又 ∵D，D1关于x轴对称，∴D1(0，2).∴D1D2＝ .∴△DEF周长的最小值为 ；
(3)如图②，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．
(3)如图，连接BM，
∵M到x轴的距离为 d，AB＝4，∴S△ABM＝2d.又 ∵S△AMN＝2d，∴S△ABM＝S△AMN，∴B，N到AM的距离相等．
∵M到x轴的距离为 d，AB＝4，∴S△ABM＝2d.又 ∵S△AMN＝2d， ∴S△ABM＝S△AMN，∴B，N到AM的距离相等．又∵B，N在 AM的同侧，∴AM∥BN.设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)， 则 ，∴ .∴直线BC的解析式为y＝x－3.
设直线AM的解析式为y＝x＋n.∵A(－1，0)， ∴直线AM的解析式为y＝x＋1.联立 ，解得 (舍去)， .∴点M的坐标为(4，5). ∵点N在射线CB上，∴设点N的坐标为(t，t－3).
∵A(－1，0)，M(4，5)，N(t，t－3)，如图，过点M作x轴的平行线l，
过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q，
②当AM＝MN时，则 ，解得t1＝6＋ ，t2＝6－ ；③当AN＝MN时，则 ，解得t＝ .∵点N在第一象限，∴t>3，∴t的取值为 ，1＋ ，6＋ . ∴点N的坐标为( ， )或(1＋ ，－2＋ )或(6＋ ，3＋ ).
2. 如图，抛物线y＝ax2＋ x＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线y＝－ x＋2经过B，C两点，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E.(1)求抛物线的解析式；
解：(1)在y＝－ x＋2中，令x＝0，则y＝2，∴C(0，2).令y＝0，则－ x＋2＝0，解得x＝4，∴B(4，0).将点B(4，0)，C(0，2)代入y＝ax2＋ x＋c中， 得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋2；
(2)设点P的横坐标为m，当PE＝2DE时，求m的值；
(3)在(2)的条件下，直线PD上是否存在一点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
①当点C是直角顶点时，如解图①，过点C作CQ1⊥BC，交直线PD于点Q1，过点Q1作Q1F⊥y轴于点F，则Q1F＝CO＝2，易得△CFQ1≌△BOC，∴CF＝BO＝4，∴OF＝OC＋CF＝2＋4＝6，∴Q1(2，6)；②当点B是直角顶点时，如解图②，过点B作BQ2⊥BC，交直线PD于点Q2，同理易得△Q2DB≌△BOC，∴DQ2＝OB＝4，∴Q2(2，－4)；
③当点Q是直角顶点时，如解图③，以线段BC为直径作圆，交直线PD于Q3，Q4两点，∵∠CQB＝90°，BE＝CE，∴EQ＝ BC＝ ×2 ＝ ，又∵点E的坐标为(2，1)，∴Q3(2，1＋ )，Q4(2，1－ ).综上所述，点Q的坐标为(2，6)或(2，－4)或(2，1＋ )或(2，1－ ).
3. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5).(1)求b，c，m的值；
解：(1)把A(－1，0)，C(0，5)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中，得 ，解得 ，∴y＝－x2＋4x＋5＝(－x－1)(x－5)， ∴B(5，0)，即m＝5；
(2)如图①，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(2)设点D(n，－n2＋4n＋5)，则点G(n，0)，∴DG＝－n2＋4n＋5，∵DE∥x轴，∴点D与点E关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴DE＝2(n－2)＝2n－4，
由题意知四边形DEFG为矩形，∴四边形DEFG的周长为 2(DE＋DG)＝2(2n－4－n2＋4n＋5)＝－2n2＋12n＋2＝－2(n－3)2＋20，∵－2<0，2(3)如图②，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
(3)∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴M(2，9)，如图，记抛物线的对称轴直线x＝2与BC交于点T， 连接NT，
由B(5，0)，C(0，5)得BC所在直线的解析式为y＝－x＋5，∴点T的坐标为(2，3)，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝45°，∴∠MTC＝45°，∵△MBC沿BC翻折得到△NBC，∴MT与NT关于直线BC对称，∴∠MTN＝2×45°＝90°且NT＝MT＝6，∴NT∥x轴，∴N(－4，3)，∴BN所在直线的解析式为y＝－ x＋ ，∴Q(0， )，设P(2，a)，则PQ2＝22＋(a－ )2，QB2＝52＋( )2， PB2＝32＋a2，
∵△PQB是以QB为直角边的直角三角形，∴分以下两种情况：①当PQ⊥QB时，PQ2＋QB2＝PB2， 即22＋(a－ )2＋52＋( )2＝32＋a2，解得a＝ ，∴P(2， )；②当PB⊥QB时，PB2＋QB2＝PQ2，得32＋a2＋52＋( )2＝22＋(a－ )2，解得a＝－9，∴P(2，－9).综上所述，所有符合条件的点P的坐标为(2， )或(2，－9).
4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)经过点A(1，0)，点B(0，3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.(1)求此抛物线的解析式；
(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围；
【解法提示】当y＝0时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴当P在x轴上方时，m＜1或m＞3；
(2)m＜1或m＞3；
(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2－m.①求m的值；
②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．