2023年中考数学专题复习课件：特殊四边形存在性问题

这是一份2023年中考数学专题复习课件：特殊四边形存在性问题，共52页。PPT课件主要包含了典例精析，针对训练，第1题解图，第2题解图①等内容，欢迎下载使用。
例　如图，抛物线y＝x2＋6x＋5与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线AC交于点E.
(1)设点N是抛物线上一点，点S是x轴上一点，是否存在点N，使得以A，E，N，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】分NS为平行四边形的边和NS为平行四边形的对角线两种情况讨论．
解：(1)存在．①如图，过点N作NT⊥x轴，交x轴于点T，
当NS为平行四边形的一条边时，SN∥AE，且SN＝AE，则∠NST＝∠EAD，
∵NT⊥x轴，ED⊥x轴，∴∠NTS＝∠EDA＝90°，又∵SN＝AE，∴△SNT≌△AED(AAS).令x2＋6x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝－5，∴A(－5，0)，B(－1，0)，令x＝0，得y＝5.∴C(0，5).
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－5，0)，C(0，5)代入， 得 ，解得 ，∴直线AC的解析式为y＝x＋5. ∵抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝－3，∴把x＝－3代入直线解析式，得y＝2.∴E(－3，2)，∴NT＝ED＝2.
设点N的坐标为(n，n2＋6n＋5).当点N在x轴上方时，NT＝n2＋6n＋5＝2，解得n1＝－ －3，n2＝ －3.此时点N的坐标为(－ －3，2)或( －3，2)；当点N在x轴下方时，NT＝－n2－6n－5＝2，解得n3＝－3＋ ，n4＝－3－ ，此时点N的坐标为(－3＋ ，－2)或(－3－ ，－2)；
②如图，过点N作NG⊥x轴，交x轴于点G，
(2)设点G是抛物线的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得A，C，G，K为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】要使以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，只需△ACG是直角三角形即可，可分为①∠ACG＝90°，②∠CAG＝90°，③∠CGA＝90°三种情况，分别利用勾股定理列方程即可求解．
(2)存在．要使以A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，则△ACG一定是直角三角形．∵点G在对称轴上，∴设点G的坐标为(－3，g)，由勾股定理得AC2＝52＋52＝50，AG2＝(－5＋3)2＋g2＝4＋g2，CG2＝32＋(g－5)2＝g2－10g＋34，①若∠ACG＝90°，则AC2＋CG2＝AG2，即50＋g2－10g＋34＝4＋g2，解得g＝8，此时点G的坐标为(－3，8)；
②若∠CAG＝90°，则AC2＋AG2＝CG2，即50＋4＋g2＝g2－10g＋34，解得g＝－2，此时点G的坐标为(－3，－2)；③若∠CGA＝90°，则CG2＋AG2＝AC2，即g2－10g＋34＋4＋g2＝50，解得g1＝6，g2＝－1，此时点G的坐标为(－3，6)或(－3，－1).综上所述，存在满足条件的点G，点G的坐标为 (－3，8)或(－3，－2)或(－3，6)或(－3，－1)；
(3)设点Q是抛物线上一点，点R是坐标平面内一点，是否存在四边形AQCR是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】由四边形AQCR是菱形可确定AC是对角线，结合OC＝OA，过点O作OI⊥AC，则OI平分AC，从而可得点Q在OI所在直线上．只需求出OI所在直线的解析式，与抛物线联立解方程组即可求得点Q的坐标．
(3)存在．理由如下：如图，过点O作OI⊥AC于点I，
∵四边形AQCR是菱形，∴QR垂直平分AC.∵OA＝OC＝5，∴AI＝CI，∴OI是AC的垂直平分线，∴点Q，R在AC的垂直平分线上，∴点Q是直线OI与抛物线的交点．
∵I是AC的中点，∴xI＝ ＝－ ，yI＝ ＝ ，∴点I的坐标为(－ ， )，设直线OI的解析式为y＝tx(t≠0)， 将点I的坐标代入，可得t＝－1，∴直线OI的解析式为y＝－x， 联立 ，
解得 ， ，综上所述，存在满足题意的点Q，点Q的坐标为( ， )或( ， )；
(4)设点P是抛物线上一点，Q是x轴上一点，R为坐标平面内一点，若以A，P，Q，R为顶点的四边形是正方形，求点Q的坐标．
【思维教练】将以A，P，Q，R为顶点的四边形是正方形问题，转化为等腰直角三角形APQ的存在性问题，分A，P，Q分别为直角顶点三种情况讨论．
(4)∵OA＝OC＝5，∴∠CAO＝45°，若以A，P，Q，R为顶点的四边形是正方形， 则△APQ为等腰直角三角形．分以下三种情况讨论：①当∠PAQ＝90°时，PA∥y轴， 此时点P不在抛物线上，不存在满足条件的点Q；②当∠APQ＝90°时，则∠QAP＝45°，如解图④，过点A作与x轴成45°角的直线， 交抛物线于点P，
当点P在x轴下方时，∵∠Q1AP1＝45°，∠CAO＝45°，∴∠CAP1＝90°，即P1A⊥AC.由(1)知直线AC的解析式为y＝x＋5，∴AP1所在直线的解析式为y＝－x－5， 联立 ，解得 ， (与A点重合，舍去)，∴P1(－2，－3).
∵△AP1Q1是等腰直角三角形，Q1是x轴上一点，∴Q1(1，0)；当点P在x轴上方时，∵∠CAO＝45°＝∠OAP2，∴点P2与点C重合，∵△AP2Q2是等腰直角三角形，Q2是x轴上一点，∴P2O⊥AO，即点A与点Q2关于y轴对称，∴Q2(5，0)；
③当∠AQP＝90°时，∠QAP＝45°，∴点P的情况与②相同，如解图④，过点P1作P1Q3⊥x轴于点Q3，此时∠AQ3P1＝90°，∴Q3(－2，0)；由②得OP2⊥x轴，则Q4与O点重合，∴Q4(0，0).综上所述，存在满足条件的点Q，点Q的坐标为 (1，0)或(5，0)或(－2，0)或(0，0).
1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，点B(－3，0)，且OB＝OC.(1)求抛物线的解析式；
解：(1)∵OB＝OC，B(－3，0)，∴C(0，－3).把A(－1，0)，B(－3，0)，分别代入抛物线y＝ax2＋bx－3， 得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为y＝－x2－4x－3；
(2)点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；
则tan ∠POQ＝tan ∠ACG＝ .①当点P在第二象限时，t＜0，－t2－4t－3＞0.则PQ＝－t2－4t－3，OQ＝－t， tan ∠POQ＝ ，即2t2＋7t＋6＝0.解得t1＝－2，t2＝－ ，∴P1(－2，1)，P2(－ ， ).
②当点P在第三象限时，t