河南省郑州市等2地2022-2023学年高三下学期3月冲刺（一）理科数学试题(含答案)

这是一份河南省郑州市等2地2022-2023学年高三下学期3月冲刺（一）理科数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省郑州市等2地高考数学冲刺试卷（理科）（3月份）（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合，则A∩B＝（　　）
A．{0，2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{1，2，4}
2．（5分）已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）已知变量x，y满足，则z＝2x﹣8y的最大值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．（5分）一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x，则该型电动汽车月平均用电量在[200，280）的户主人数为（　　）

A．98 B．103 C．108 D．112
7．（5分）某班学生的一次的数学考试成绩ξ（满分：100分）服从正态分布：ξ～N（85，σ2），且P（83＜ξ＜87）＝0.3，P（78＜ξ＜83）＝0.12，P（ξ＜78）＝（　　）
A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26
8．（5分）已知函数f（x）＝a（3﹣x）+的图象过点（0，1）与，则函数f（x）在区间[1，4]上的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为C右半支上一点，且cos∠F1PF2＝，则双曲线C的离心率为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
10．（5分）在等比数列{an}中，公比q＝2，且，则a9+a10+a11+a12＝（　　）
A．3 B．12 C．18 D．24
11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，①对于互不相等的任意x1，x2∈（0，2]都有，且当x＞1时，f（x）＞0，②f（x+2）＝﹣f（x）对任意x∈R恒成立，③y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（﹣10）、、f（3）的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
12．（5分）已知函数f（x）与g（x）定义域都为R，满足，且有g'（x）+xg'（x）﹣xg（x）＜0，g（1）＝2e，则不等式f（x）＜4的解集为（　　）
A．（1，4） B．（0，2） C．（﹣∞，2） D．（1，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若“∃x∈R，x2﹣6ax+3a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 　 　．
14．（5分）（x+2）4（x﹣1）3的展开式中x2的系数为 　 　．
15．（5分）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 　 　．

16．（5分）直线l：x+y﹣1＝0与椭圆C：＝1交于A，B两点，长轴的右顶点为点P，则△ABP的面积为 　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．（12分）已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足，b+c﹣a＝0．
（1）求A；
（2）求△ABC外接圆的半径R．
18．（12分）某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x（kg）和玉米相应产量y（kg）的相关数据，制作了数据对照表：
x（kg）
16
20
24
29
36
y（kg）
340
350
362
404
454
若在合理施肥范围内x与Y具有线性相关关系，
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）请利用线性回归方程预测x＝40kg时的玉米产量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
19．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点．
（1）证明：CD⊥A1D；
（2）求二面角D﹣A1C﹣A的大小；
（3）求直线CA与平面A1CD所成角的正弦值．

20．（12分）已知斜率存在的直线l过点P（1，0）且与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点．
（1）若直线l的斜率为1，M为线段AB的中点，M的纵坐标为2，求抛物线C的方程；
（2）若点Q也在x轴上，且不同于点P，直线AQ，BQ的斜率满足kAQ+kBQ＝0，求点Q的坐标．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣+x（a＞0）．
（1）若a＝1，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）＝lnx﹣+x（a＞0）在其定义域上有唯一零点，求实数a的值．






[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22．（10分）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）过点P（0，﹣3）向直线l作垂线，垂足为Q，说明点Q的轨迹为何种曲线．
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23．已知函数f（x）＝|x+3|．
（1）解不等式f（x）+|x﹣3|＞8；
（2）若f（x）≤m（|x﹣3|+|x+9|）在（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数m的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】由指数函数的性质求解集合B，结合交集的概念运算可得出结果．
【解答】解：，
∴A∩B＝{0，1，2}．
故选：C．
2．【分析】化简复数z，可得z在复平面内所对应的点，以及该点所在的象限．
【解答】解：由题意，z＝i﹣＝i﹣＝i﹣（1﹣i）＝﹣1+2i，
z在复平面内所对应的点为（﹣1，2），位于第二象限．
故选：B．
3．【分析】由余弦的两角和与差公式，以及余弦的二倍角公式化简求值即可．
【解答】解：cos2（x﹣）+cos2（x+）
＝（cosxcos+sinxsin）2+（cosxcos﹣sinxsin）2
＝（cosx+sinx）2+（cosx﹣sinx）2
＝cos2x+sinxcosx+sin2x+cos2x﹣sinxcosx+sin2x
＝cos2x+sin2x
＝+cos2x
＝+
＝1+×（﹣）
＝．
故选：B．
4．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求出结果．
【解答】解：由约束条件作出可行域，如图所示：

由图可知A（2，0），
由z＝2x﹣8y，得y＝，
由图可知，当直线y＝过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z的值最大，
所以z的最大值为2×2﹣8×0＝4．
故选：A．
5．【分析】直接利用组合数和子集的个数求出概率的值．
【解答】解：一个集合中含有4个元素，从该集合的子集数为24＝16；
含3个元素的集合有，
故概率的值为．
故选：D．
6．【分析】根据题意，由频率分布直方图，依次求出第1组、2组、5组、3组、4组、6组和7组的频率，由此可得第5组的频率，分析可得第3组、4组、5组、6组的频率之和，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，由频率分布直方图，第1组的频率为0.0020×20＝0.04，
第2组的频率为0.0095×20＝0.19，
第3组的频率为0.0110×20＝0.22，
第4组的频率为0.0125×20＝0.25，
第6组的频率为0.0050×20＝0.1，
第7组的频率为0.0025×20＝0.05，
故第5组的频率为1﹣0.04﹣0.18﹣0.22﹣0.25﹣0.1﹣0.05＝0.15，
第3组、4组、5组、6组的频率之和为0.22+0.25+0.15+0.1＝0.72，
故则该型电动汽车月平均用电量在[200，280）的户主人数为150×0.72＝108．
故选：C．
7．【分析】根据题意，由正态分布的性质可得P（83＜ξ＜85）＝0.15，又由P（ξ＜78）＝0.5﹣P（83＜ξ＜85）﹣P（78＜ξ＜83），计算可得答案．
【解答】解：根据题意，ξ～N（85，σ2），且P（83＜ξ＜87）＝0.3，
则P（83＜ξ＜85）＝P（83＜ξ＜87）＝0.15，
又由P（78＜ξ＜83）＝0.12，
则P（ξ＜78）＝0.5﹣P（83＜ξ＜85）﹣P（78＜ξ＜83）＝0.5﹣0.15﹣0.12＝0.23．
故选：C．
8．【分析】由已知求得a与b的值，可得函数解析式，再由导数求最值．
【解答】解：由题意可得，解得．
∴f（x）＝＝1﹣，
f′（x）＝＝＝＝，
当x∈[1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（2，4]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减，
∴＝．
故选：B．
9．【分析】利用双曲线的定义，平面向量数量积的定义化简，结合余弦定理列方程，求出离心率．
【解答】解：由题意，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m﹣n＝2a，
∵•＝|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝mn×＝2a2，
∴mn＝8a2，
又cos∠F1PF2＝＝＝＝，
解得4a2＝c2，
则双曲线C的离心率为e＝＝2．
故选：A．
10．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得+++＝+＝，结合等比数列的通项公式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，+＝，+＝，
则+++＝+＝，
则有＝，则有＝，
变形可得a9+a10+a11+a12＝12．
故选：B．
11．【分析】利用函数单调性的定义，由条件①可得f（x）在（0，2]上单调递增，利用函数的周期性，由条件②可得f（x）是周期为4的周期函数，利用函数图象的对称性，由条件③可得y＝f（x）为偶函数，进而比较f（﹣10），f（﹣），f（3）的大小关系即可．
【解答】解：对于互不相等的任意x1，x2∈（0，2]都有，且当x＞1时，f（x）＞0，
任取0＜x2＜x1≤2，则＞1，
∴f（）＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，2]上单调递增，
∵f（x+2）＝﹣f（x）对任意x∈R恒成立，
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是周期为4的周期函数，
∵y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，
∴y＝f（x）的图象关于y轴对称，即y＝f（x）为偶函数，
∴f（﹣10）＝f（10）＝f（2），f（﹣）＝f（）＝f（），f（3）＝f（﹣1）＝f（1），
∵f（x）在（0，2]上单调递增，且，
∴f（）＜f（1）＜f（2），
即f（﹣）＜f（3）＜f（﹣10）．
故选：B．
12．【分析】对函数f（x）求导，利用已知不等式判断出f（x）的单调性，即可解出不等式的解集．
【解答】解：由题意，f（x）＝，定义域为R，
则f′（x）＝＝＝，
∵ex＞0，g'（x）+xg'（x）﹣xg（x）＜0，
∴则f′（x）＜0，即f（x）在R上单调递减，
且f（1）＝＝＝4，
所以不等式f（x）＜4＝f（1）的解集为（1，+∞）．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【分析】由“∀x∈R，x2﹣6ax+3a≥0”为真命题，利用判别式法求解．
【解答】解：由条件可知“∀x∈R，x2﹣6ax+3a≥0”为真命题，
则Δ＝36a2﹣12a≤0，即．
故答案为：．
14．【分析】（x+2）4（x﹣1）3的展开式中x2来自于三类：①（x+2）4中的二次项与（x﹣1）3的常数项的乘积；②（x+2）4中的常数项与（x﹣1）3的二次项的乘积；③（x+2）4中的一次项与（x﹣1）3的一次项的乘积，再结合二项式定理求解即可．
【解答】解：由题意可知，已知展开式中x2来自于三类：
①（x+2）4中的二次项与（x﹣1）3的常数项的乘积；
②（x+2）4中的常数项与（x﹣1）3的二次项的乘积；
③（x+2）4中的一次项与（x﹣1）3的一次项的乘积．
所以展开式中x2项为，
即x2的系数为24．
故答案为：24．
15．【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量的数量积运算求解即可．
【解答】解：已知，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，
则
＝
＝
＝，
又△ABC是边长为8的等边三角形，
则，
则，
则．
故答案为：[39，55]．
16．【分析】由椭圆的方程可得右顶点P的坐标，联立直线与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|的值，再求P到直线l的距离d，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积．
【解答】解：由椭圆C：＝1的方程可得右顶点P（2，0），
设A（x1，y1），B（x2，．y2），
联立，整理可得：3y2﹣2y﹣3＝0，
可得Δ＞0显然成立，且y1+y2＝，y1y2＝﹣1，
所以弦长|AB|＝＝＝，
P到直线l的距离d＝＝，
所以S△PAB＝|AB|•d＝＝．
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．【分析】（1）直接利用余弦定理求出C的值；
（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．
【解答】解：（1）由于，
根据正弦定理：＝，
由于sinC≠0，
故，整理得，
由于A∈（0，π），
故．
（2）（2）由于bc＝，所以，①，
c+b﹣＝0，所以c2+b2+2bc＝2a2，
整理得：
a2＝1，故a＝1；
由（1）得：．
18．【分析】（1）根据题意，求出、，进而由线性回归方程的计算公式计算可得答案；
（2）根据题意，将x＝40代入线性回归方程，计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由数据表，＝（16+20+24+29+36）＝25，
＝（340+350+362+404+454）＝382，
则＝≈6，
则＝382﹣6×25＝232，
故y关于x的线性回归方程为＝6x+232；
（2）根据题意，由（1）的结论：＝6x+232，
当x＝40kg时，y＝6×40+232＝472kg，
故x＝40kg时的玉米产量大约为472kg．
19．【分析】（1）根据面面垂直的性质即可证明；
（2）建系，根据向量法即可求解；
（3）建系，根据向量法即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，D为AB的中点
∴平面A1ABB1⊥底面ABC，CD⊥AB，又CD⊂底面ABC，平面A1ABB1∩底面ABC＝AB，
∴CD⊥平面A1ABB1，又A1D⊂平面A1ABB1，
∴CD⊥A1D；
（2）根据题意及（2）建系如图，则根据题意可得：
D（0，0，0），A1（0，1，），C（，0，0），A（0，1，0），
∴，，，
设平面A1CD的法向量为，
则，取，
设平面A1CA的法向量为，
则，取，
设二面角D﹣A1C﹣A的平面角为θ，且由图易知θ为锐角，
∴cosθ＝|cos|＝＝＝，∴θ＝，
∴二面角D﹣A1C﹣A的大小为；
（3）由（2）知，平面A1CD的法向量为，
∴直线CA与平面A1CD所成角的正弦值为：
＝＝＝．

20．【分析】（1）由题知直线l的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；
（2）设出直线l的方程及Q的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出kAQ+kBQ将韦达定理代入kAQ+kBQ＝0，化简求出参数即可得点Q的坐标．
【解答】解：（1）因为直线l的斜率为1且过点P（1，0），
所以直线l的方程为：y＝x﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得：x2﹣（2p+2）x+1＝0，
所以x1+x2＝2p+2，x1x2＝1，
所以y1+y2＝x1+x2﹣2＝2p，
因为M为线段AB的中点，M的纵坐标为2，
所以，
所以抛物线的方程为：y2＝4x；
（2）设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），Q（m，0）（m≠1），
，得：k2x2﹣（2k2+2p）x+k2＝0，
所以，
由
＝
＝
＝，
由k≠0，
所以，
即，
所以m＝﹣1，
所以点Q的坐标为（﹣1，0）．
21．【分析】（1）求出f'（x），可得f'（1）＝1，f（1）＝，利用点斜式，即可得出答案；
（2）由题意得函数f（x）的定义域为（0，+∞），题意转化为x2﹣2alnx﹣2ax＝0在（0，+∞）有唯一实数解，构造函数g（x）＝x2﹣2alnx﹣2ax，则g'（x）＝2x﹣﹣2a＝，求出g（x）的最小值，要使g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，则，即2lnx1+x1﹣1＝0，构造函数t（x）＝2lnx+x﹣1，x∈（0，+∞），即可得出答案．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x2+x，则f'（x）＝﹣x+1＝，
∴f'（1）＝1，f（1）＝，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣＝x﹣1，即2x﹣2y﹣1＝0；
（2）由题意得函数f（x）的定义域为（0，+∞），
函数f（x）＝lnx﹣+x（a＞0）在其定义域上有唯一零点，转化为x2﹣2alnx﹣2ax＝0在（0，+∞）有唯一实数解，
令g（x）＝x2﹣2alnx﹣2ax，则g'（x）＝2x﹣﹣2a＝，
∵a＞0，由g'（x）＝0得x1＝或x2＝（不合题意，舍去），由g'（x）＞0得x＞，由g'（x）＜0得0＜x＜，
∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴当x＝时，g（x）取得极小值也是最小值，
要使g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，则，即，
∴2alnx1+ax1﹣a＝0，即2lnx1+x1﹣1＝0，
令t（x）＝2lnx+x﹣1，x∈（0，+∞），
∴t（x）在（0，+∞）上单调递增，
又当x→0时，t（x）→﹣∞，则由函数零点存在性定理得t（x）至多有一解，
∵t（1）＝0，
∴方程2lnx1+x1﹣1＝0的解为x1＝1，即＝1，解得a＝，
∴实数a的值为．
[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用直线间的位置关系建立方程组，进一步求出曲线的方程．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，根据，转化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4；
当时，（t为参数），转换为普通方程为x﹣y+2＝0．
（2）由于直线l的斜率k＝tanφ，经过点（﹣1，1），故直线的方程为y﹣1＝k（x+1），
过点（0，﹣3）作直线l的垂线，则该垂线的斜率为，故该垂线的方程为，
故，消去k值，得到x2+y2+2y+1＝4．
整理得x2+（y﹣1）2＝4，该曲线是以（0，1）为圆心，2为半径的圆．
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23．【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，再求不等式的解集．
（2）利用分段讨论法去掉绝对值，把问题化为或或恒成立，由此求出实数m的最小值．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝|x+3|，所以不等式f（x）+|x﹣3|＞8可化为|x+3|+|x﹣3|＞8，
等价于或或，
解得x＜﹣4或x＞4；
所以不等式的解集为（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．
（2）不等式f（x）≤m（|x﹣3|+|x+9|）在（﹣∞，+∞）上恒成立，
即|x+3|≤m（|x﹣3|+|x+9|）在（﹣∞，+∞）上恒成立，
等价于或或恒成立；
解得或或，
所以实数m的最小值是．