第二课时　充要条件

课标要求　通过典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.

素养要求　通过充要条件的学习，体会充要条件在数学表达、论证等方面的作用，发展学生的逻辑推理和数学抽象素养.

自 主 梳 理

充要条件

(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件.

(2)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件.

(3)p是q的充分必要条件是指p成立当且仅当q成立.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件.(√)

(2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(√)

(3)若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件.(√)

(4)q不是p的必要条件时，“p推不出q”成立.(√)

2.“x<2”是“<0”的(　　)

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由<0，得x－2<0，得x<2，

又由x<2得，x－2<0，得<0，

即“x<2”是“<0”的充要条件，故选A.

3.设a∈R，则“a>4”的一个必要不充分条件是(　　)

A.a>1   B.a<1

C.a>5   D.a<5

答案　A

解析　由题意，当a>4成立时，a>1成立，当a>1成立时，a>4不一定成立，

所以a>1是a>4的必要不充分条件，故选A.

4.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件.

答案　充要

解析　因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件.

题型一　充要条件的判断

例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件).

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

(2)p：x>1或x<－1，q：x2>1；

(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；

(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.

解　(1)∵“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”，

∴p⇒q，但“数a能被3整除”推不出“数a能被6整除”，如a＝9.

∴qp，

∴p是q的充分不必要条件.

(2)∵p⇒q，q⇒p，

∴p是q的充要条件.

(3)∵p不能推出q，q⇒p，

∴p是q的必要不充分条件.

(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，

∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，

即p不能推出q.

而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p.

∴p是q的必要不充分条件.

思维升华　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法

(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.

(2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断.

(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.

训练1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).

(1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；

(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；

(3)p：a是自然数；q：a是正数.

解　(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，

∴p是q的充要条件.

(2)由q：(x＋2)2≠y2，

得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，

故p是q的必要不充分条件.

(3)0是自然数，但0不是正数，故p推不出q；

又是正数，但不是自然数，故q推不出p.

故p是q的既不充分也不必要条件.

题型二　充要条件的探求

例2 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.

解　(1)a＝0时方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合题目要求.

(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1，

又设方程ax2＋2x＋1＝0的两根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，

x1x2＝，

①方程ax2＋2x＋1＝0有一个负实根的充要条件是得a<0，

②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是即0<a≤1，

综上，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

思维升华　探求q的充要条件p，有两种方法：

(1)等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证.

(2)非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要性和充分性两个方面说明.

训练2 下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是________.

①同位角相等；②内错角相等；③同旁内角互补；④同旁内角相等.

答案　①②③

解析　由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，

由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；

由④不能推出“两条直线平行”的结论.

题型三　充要条件的证明

例3 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

证明　先证必要性：

∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，

则a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

思维升华　一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.

训练3 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.

证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，

x＝0时y＝0，函数图象过原点.

②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以x＝0时y＝0，

得0＝k·0＋b，b＝0.

综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.

题型四　充要条件的应用

例4 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

解　p：－2≤x≤10，

q：1－m≤x≤1＋m(m>0).

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件.

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有或

解得m≤3.

又m>0，

所以实数m的取值范围是{m|0<m≤3}.

思维升华　利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.

训练4 设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

解　设A＝，

B＝{x|a≤x≤a＋1}，

由p是q的充分不必要条件，可知AB，

∴或

解得0≤a≤，

故所求实数a的取值范围是0≤a≤.

[课堂小结]

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、传递法、集合法.

2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

一、基础达标

1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当x＝1时，x3＝x成立.

若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1，0，1；

不一定得到x＝1.

2.(多选)若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的值可以是(　　)

A.0   B.2 

C.4   D.－2

答案　BD

解析　由“x＝±2”能得出“x2＝4”.

3.设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为a，b∈R，(a－b)a2<0，

可得a<b.

由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，

所以根据充分、必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件.

4.不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是(　　)

A.0<x<2   B.x≥－1

C.0<x<1   D.1<x<3

答案　B

解析　由二次函数的图象可知，x(x－2)<0⇔{x|0<x<2}，

因为{x|0<x<2}{x|x≥－1}，

所以“x≥－1”是“不等式x(x－2)<0成立”的一个必要不充分条件.

5.若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列结论正确的是(　　)

A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件

B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件

C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件

D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件

答案　B

解析　由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，

x∈C推不出x∈A，

所以x∈C是x∈A的必要不充分条件.

6.设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件.

答案　既不充分也不必要

解析　若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，

则ab>0不成立；

反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，

则a＋b>0也不成立，

因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.

7.已知A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________.

答案　{m|m>2}

解析　由题意，得x∈A⇒x∈B，但x∈B不能推出x∈A，

∴AB，

∴3<m＋1，即m>2.

8.若“x≤－1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为________.

答案　－1

解析　“x≤－1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，

则由“x<a”可以推出“x≤－1或x≥1”，

但由“x≤－1或x≥1”推不出“x<a”，

所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.

9.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

解　(1)将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示.

因为q⇒r⇒s，s⇒q，

所以s是q的充要条件.

(2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件.

(3)因为p⇒r⇒s⇒q，q推不出p，

所以p是q的充分不必要条件.

10.已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.

证明　充分性：∵ac<0，∴a≠0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，

∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.

∵ac<0，∴x1·x2＝<0，

∴x1，x2为一正一负，

即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.

必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程.

设两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0，∴ac<0.

综上知，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.

二、能力提升

11.使“x∈成立”的一个充分不必要条件是(　　)

A.x≥0   B.x<0或x>2

C.x∈{－1，3，5}   D.x≤－或x≥3

答案　C

解析　选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈成立”的一个充分不必要条件.

12.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________.

答案　－2

解析　函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为直线x＝－，

令－＝1，解得m＝－2，

所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.

13.设M＝{x|x<－3或x>5}，N＝{x|－a≤x≤8}，命题p：x∈M，命题q：x∈N.

(1)当a＝－6时，试判断命题p是命题q的什么条件；

(2)若命题p是命题q的必要不充分条件，求a的取值范围.

解　(1)M＝{x|x<－3或x>5}，

当a＝－6时，N＝{x|6≤x≤8}，

∵命题p：x∈M，命题q：x∈N，

∴q⇒p，p不能推出q，

∴命题p是命题q的必要不充分条件.

(2)M＝{x|x<－3或x>5}，

N＝{x|－a≤x≤8}，

∵命题p是命题q的必要不充分条件，

∴NM，

∴当－a>8，即a<－8时，N＝∅，满足题意；

当－a＝8，即a＝－8时，N＝{8}，满足题意；

当－a<8，即a>－8时，N＝{x|－a≤x≤8}，

故－a>5，解得a<－5，∴－8<a<－5.

综上所述，a的取值范围是{a|a<－5}.

三、创新拓展

14.(多选)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　)

答案　BD

解析　由题图知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；

电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；

电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；

电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件，故选BD.