第二课时　表示集合的方法

课标要求　针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.

素养要求　在集合的表示过程中，经历由具体到抽象，由自然语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.

自 主 梳 理

1.列举法

(1)定义：把集合中的元素一一列举出来，这叫列举法.

(2)规则：数学里用列举法表示集合，常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔，无限集一般不能用列举法表示.

温馨提醒　列举法对有限集情有独钟，但自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集.

2.描述法

(1)定义：把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这叫作描述法.

(2)规则：有些集合用一句话描述起来不方便，通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后竖线后列出这些元素要满足的相关条件.

3.区间

(1)数学里最常用的一类集合叫区间，设a，b是两个实数，a<b，所有大于a并且小于b

的实数组成的集合叫作一个开区间，记作(a，b).类似地，所有满足a≤x≤b的实数x组成的集合叫作一个闭区间，记作[a，b]，还有左开右闭区间(a，b]和左闭右开区间[a，b)，实数a，b分别叫作上述区间的左端点和右端点.

(2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，符号∞读作“无穷大”或“无穷”.－∞和＋∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或“正无穷”).

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}.(×)

(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(×)

(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}.(√)

(4){x|x2＝1}＝{－1，1}.(√)

(5)区间不可能是空集.(√)

2.用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N＋}为(　　)

A.{0，1，2，3，4}   B.{1，2，3，4}

C.{0，1，2，3，4，5}   D.{1，2，3，4，5}

答案　B

解析　∵x－2<3，∴x<5.

又x∈N＋，∴x＝1，2，3，4.故选B.

3.集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)

A.方程y＝2x－1

B.点(x，y)

C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合

D.一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合

答案　D

解析　本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D.

4.用符号“∈”或“∉”填空.

(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1__________A；

(2)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9.1__________C.

答案　(1)∉　(2)∈　∉

解析　(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，

∴－1∉A.

(2)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，

∴8∈C，9.1∉C.

题型一　用列举法表示集合

例1 用列举法表示下列集合.

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.

解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.

(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}.

思维升华　(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开.

(2)列举法表示的集合的种类

①元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0，1，2，3，…}.

训练1 用列举法表示下列集合.

(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；

(2)由1～20的所有素数组成的集合.

解　(1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}.

(2)设由1～20的所有素数组成的集合为C，那么C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.

题型二　用描述法表示集合

例2 试用描述法表示下列集合：

(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

解　(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.

(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.故用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}.

思维升华　用描述法表示集合时应注意的四点

(1)写清楚该集合中元素的代号.

(2)说明该集合中元素的性质.

(3)所有描述的内容都可写在集合符号内.

(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.

训练2 用描述法表示下列集合.

(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；

(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

解　(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，

解得x＝2，y＝－3.

所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.

(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.

题型三　集合表示的综合应用

例3 用适当的方法表示下列集合：

(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；

(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；

(3)不等式x－2>6的解的集合；

(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；

(5)方程组的解集.

解　(1){0，－1}；

(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；

(3){x|x>8}；(4){1，2，3，4，5，6}；

(5)解集用描述法表示为

，

解集用列举法表示为{(4，－1)}.

思维升华　(1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围.

(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示.注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式.

训练3 (1)下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　)

A.{x|x＝1}   B.{y|(y－1)2＝0}

C.{x＝1}   D.{1}

(2)有下面六种表示方法

①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；

⑥{x，y|x＝－1或y＝2}.

其中，能正确表示方程组的解集的是________(填序号).

答案　(1)C　(2)②⑤

解析　(1)由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.

(2)

[课堂小结]

1.根据要表示集合的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.

2.一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.

一、基础达标

1.集合{2，4，6，8，10}用描述法表示出来应是(　　)

A.{x|1<x<10} B.{x|2≤x≤10}

C.{x|x≤10，x∈N} D.{x|x＝2n，n∈N，1≤n≤5}

答案　D

解析　集合{2，4，6，8，10}用描述法表示出来应是{x|x＝2n，n∈N，1≤n≤5}，故选D.

2.下列四个集合中，不同于另外三个的是(　　)

A.{y|y＝2} B.{x＝2}

C.{2} D.{x|x2－4x＋4＝0}

答案　B

解析　集合A，C，D都表示集合{2}

3.下列集合中，是空集的是(　　)

A.{x|x2＋3＝3} B.{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}

C.{x|－x2≥0} D.{x|x2－x＋1＝0}

答案　D

解析　{x|x2＋3＝3}＝{0}≠∅；

函数y＝－x2的图象上有无数多个点，

∴{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}为无限集；

{x|－x2≥0}＝{0}≠∅；

方程x2－x＋1＝0，

判别式Δ＝1－4<0，无解，

∴{x|x2－x＋1＝0}＝∅.

4.将集合用列举法表示，正确的是(　　)

A.{2，3}   B.{(2，3)}

C.{x＝2，y＝3}   D.(2，3)

答案　B

解析　解方程组得

所以用列举法表示为{(2，3)}.

5.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是(　　)

A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}

B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}

C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}

D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}

答案　B

解析　由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，

∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.

6.集合A＝{x∈R|1≤x<3}用区间表示为________.

答案　[1，3)

7.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________.

答案　3

解析　根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，有3个元素.

8.已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.

答案　{a|a≤－2}

解析　∵1∉{x|2x＋a>0}，

∴2×1＋a≤0，即a≤－2.

9.已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相同吗？试说明理由.

解　集合A，B，C互不相同.理由如下：

集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；

集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，

所以B＝{y|y≥3}.

集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，

所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}.

10.用适当的方法表示下列集合：

(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；

(2)24的所有正整数因数组成的集合；

(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.

解　(1)用描述法表示为{x∈Q|2<x<5}.

(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}.

(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}.

二、能力提升

11.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是(　　)

A.{x|x是小于18的正奇数}

B.{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}

C.{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}

D.{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}

答案　D

解析　对于x＝4s－3，当s依次取1，2，3，4，5时，恰好对应的x的值为1，5，9，13，17.

12.设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b＋c∈________.

答案　M

解析　设a＝3k1，k1∈Z，b＝3k2＋1，k2∈Z，c＝3k3－1，k3∈Z，

则a＋b＋c＝3k1＋3k2＋1＋3k3－1＝3(k1＋k2＋k3)，

且k1＋k2＋k3∈Z，

∴a＋b＋c∈M.

13.已知集合A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，若(2，3)∈A，(2，3)∉B，试求实数m，n的取值范围.

解　∵(2，3)∈A，∴2×2－3＋m>0，

∴m>－1.

∵(2，3)∉B，∴2＋3－n>0，∴n<5.

∴实数m，n的取值范围分别是{m|m>－1}，{n|n<5}.

三、创新拓展

14.设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B.

解　集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.

因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1.

由根与系数的关系得

解得

所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0，

解得x＝－3±2，

所以B＝{－3－2，－3＋2}.