3.1.2　表示函数的方法

课标要求　1.掌握函数的三种表示方法：解析法，列表法和图象法，并能刻画实际问题.2.会求函数的解析式及定义域，能画函数的图象.

素养要求　结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模素养.

自 主 梳 理

1.函数的表示方法

(1)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.

(3)解析法：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式(也叫解析表达式或函数关系式)，解析法就是用解析式来表示函数的方法.

2.函数图象

为直观地了解函数的性质，常要作出函数的图象，作图象常有列表、描点、连线三个步骤：

(1)列表——先找出一些有代表性的自变量x，并计算相对应的f(x)，用表格的形式表示出来.

(2)描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点.

(3)连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(×)

提示　如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示.

(2)任何一个函数都可以用图象法表示.(×)

提示　有些函数是不能画出图象的，

如f(x)＝

(3)列表法表示y＝f(x)在y对应的那一行数字中可能出现相同的情况.(√)

2.已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(　　)

A.f(x)＝3x－1   B.f(x)＝3x＋1

C.f(x)＝3x＋2   D.f(x)＝3x＋4

答案　A

解析　令x＋1＝t，则x＝t－1，

∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.

∴f(x)＝3x－1.

3.一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　)

A.y＝50x(x>0)   B.y＝100x(x>0)

C.y＝(x>0)  D.y＝(x>0)

答案　C

解析　由·y＝100，得2xy＝100.

∴y＝(x>0).

4.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.

答案　1

解析　由题设给出的表知f(3)＝4，

则f(f(3))＝f(4)＝1，故填1.

题型一　函数的三种表示方法

例1 某同学购买x(x∈{1，2，3，4，5})张价格为20元的科技馆门票，需要y元.试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数.

解　(1)列表法：

(2)图象法：如图所示.

(3)解析法：y＝20x，x∈{1，2，3，4，5}.

思维升华　理解函数表示法的三个关注点

(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.

(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.

(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.

训练1 已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x).

解　用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示.

用列表法表示如下：

题型二　函数的图象与应用

例2 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)

答案　D

解析　由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.

(2)画出下列函数的图象.

①y＝；②f(x)＝|x＋2|.

解　①由1－x2≥0解得函数定义域为

[－1，1].

列表得：

描点连线得函数y＝的图象.

②f(x)＝|x＋2|＝画出y＝x＋2的图象，取x≥－2的部分；画出y＝－x－2的图象，取x<－2的部分，如图所示.

思维升华　作函数图象的三个关注点

(1)画函数图象时首先应关注函数的定义域，即在定义域内作图.

(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.

(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.

训练2 画出函数y＝2x2－4x－3，x∈(0，3]的图象，并求出y的最大值、最小值.

解　列表得

描点连线得y＝2x2－4x－3，x∈(0，3]的图象如下.

由图象知：ymax＝3，ymin＝－5.

题型三　求函数解析式

角度1　由题意求函数解析式

例3 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x的函数关系式.

解　这个函数的定义域为{x|0<x<10}.

S＝＋.

将上式整理得S＝x2－x＋，x∈(0，10).

角度2　换元法(配凑法)及方程组法求解析式

例4 求下列函数的解析式：

(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；

(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；

(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).

解　(1)法一(换元法)　令t＝＋1，

则x＝(t－1)2，t≥1，

所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，

所以f(x)的解析式为

f(x)＝x2－1(x≥1).

法二(配凑法)　f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.

因为＋1≥1，

所以f(x)的解析式为

f(x)＝x2－1(x≥1).

(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，

∴f(x)＝2x－1.

(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①

∴将x换成－x，

得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②

∴由①－2×②得3f(x)＝x2－6x，

∴f(x)＝x2－2x.

角度3　待定系数法求解析式

例5 已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x).

解　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，

∴

∴或

∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.

思维升华　1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：

(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.

(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.

2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.

3.已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.

训练3 根据下列条件，求f(x)的解析式.

(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；

(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)；

(3)2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x).

解　(1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，

∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，

即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，

由恒等式性质，得

∴a＝1，b＝3.

∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.

(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，

f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，

即f(t)＝t2＋2t－2.

∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.

(3)∵f(x)＋2f＝x(x≠0)，将原式中的x与互换，得f＋2f(x)＝.

于是得关于f(x)的方程组

解得f(x)＝－(x≠0).

[课堂小结]

函数三种表示法的优缺点

一、基础达标

1.已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为(　　)

A.y＝x(x>0)   B.y＝x(x>0)

C.y＝x(x>0)   D.y＝x(x>0)

答案　A

2.已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为(　　)

A.－1   B.5 

C.1   D.8

答案　C

解析　由3x＋2＝2得x＝0，所以a＝2×0＋1＝1.

3.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　)

答案　B

解析　A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误.故选B.

4.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为(　　)

A.f(x)＝x2＋2x＋1 B.f(x)＝x2－2x＋1

C.f(x)＝x2＋2x－1 D.f(x)＝x2－2x－1

答案　A

解析　令x－1＝t，则x＝t＋1，

∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，

∴f(x)＝x2＋2x＋1.

5.函数y＝的大致图象是(　　)

答案　A

解析　y＝定义域为{x|x≠－1}，排除C，D；当x＝0时，y＝0，排除B.

6.已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为________.

答案　5

解析　将点(5，4)代入f(x)＝x－，

得m＝5.

7.已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为________.

答案　f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8

解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.

∴解得或

∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.

8.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.

答案　2或4

解析　x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，

g(f(1))＝g(1)＝3.

x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，

g(f(2))＝g(3)＝3.

x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，

g(f(3))＝g(1)＝3.

x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，

g(f(4))＝g(3)＝3.

故满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值有2或4.

9.求下列函数的解析式：

(1)已知f＝x2＋＋1，求f(x)；

(2)已知函数f(x)的定义域为R，且对于任意x∈R，函数f(x)总有：3f(x)＋2f(－x)＝x＋3成立，求f(x).

解　 (1)f＝＋2＋1＝＋3.

∴f(x)＝x2＋3.

(2)∵3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，①

x用－x代替得

3f(－x)＋2f(x)＝－x＋3.②

由①②消去f(－x)，得f(x)＝x＋.

10.已知函数f(x)＝x2－2x＋2，利用函数图象解决下列问题：

(1)若x1<x2≤1，试比较f(x1)与f(x2)的大小；

(2)若f(x)的定义域和值域都是[1，b]，试求b的值.

解　(1)f(x)＝(x－1)2＋1，作出函数f(x)的图象，如图所示：

由函数f(x)的图象，

可知当x1<x2≤1时，f(x1)>f(x2).

(2)由函数f(x)的图象，可知当f(x)的定义域是[1，b]时，其值域应为[f(1)，f(b)].

又f(x)的值域是[1，b]，且f(1)＝1，

所以f(b)＝b，即b2－2b＋2＝b，

解得b＝1或b＝2.

又b>1，所以b＝2.

二、能力提升

11.如果f＝，则当x≠0，1时，f(x)等于(　　)

A.   B.

C.   D.－1

答案　B

解析　令＝t，则x＝，

代入f＝，

则有f(t)＝＝，

所以f(x)＝，故选B.

12.某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了a km，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b km(b<a)，再折回匀速前进c km，则此人距起点的距离s与时间t的关系示意图正确的是________(填序号).

答案　③

解析　注意理解两坐标轴s，t的含义，这里s是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知③符合.

13.函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与直线y＝m有两个交点，求实数m的取值范围.

解　f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，

f(x)的图象与直线y＝m图象有2个不同的交点，

由图易知－1<m≤3.即实数m的取值范围是(－1，3].

三、创新拓展

14.设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式.

解　因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，

有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，

即f(0)＝f(x)－x(x＋1).

又f(0)＝1，

∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.