第二课时　对数函数的图象与性质(二)

课标要求　1.进一步加深对对数函数图象与性质的理解.2.会用对数函数的图象和性质解决相关问题.

素养要求　理解并应用对数函数的性质，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.

自 主 梳 理

1.y＝logaf(x)型函数性质的研究

(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.

(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.

(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).

(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.

(5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.

温馨提醒　一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：

(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数的定义域)；

(2)在f(x)的定义域内，先求g(x)的单调区间，再按“同增异减”原则与对数函数复合.

2.logaf(x)<logag(x)型不等式的解法

(1)讨论a与1的关系，确定单调性；

(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)由log2x<log23得x<3.(×)

提示　函数y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，所以应得0<x<3.

(2)y＝log2x2在(0，＋∞)上为增函数.(√)

(3)函数y＝log2(x2＋1)的值域为R.(×)

提示　y＝log2(x2＋1)中x2＋1≥1，故值域为[0，＋∞).

2.不等式log(2x＋3)<log(5x－6)的解集为(　　)

A.(－∞，3)   B.

C.   D.

答案　D

解析　由题意可得

解得<x<3.

3.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)

A.a＞b＞c   B.a＞c＞b

C.b＞a＞c   D.c＞a＞b

答案　B

解析　a＝log23.6＝log43.62，

函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，

所以a＞c＞b，故选B.

4.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.

答案　

解析　要使y＝log5(2x＋1)有意义，

则2x＋1＞0，

即x＞－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，

当x＞－时，u＝2x＋1也为(－，＋∞)上的增函数，

故原函数的单调增区间是.

题型一　对数型函数的单调性

例1 (1)已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则a的取值范围为(　　)

A.(0，1)   B.(1，2)

C.(0，2)   D.[2，＋∞)

答案　B

解析　∵f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，

且y＝2－ax在[0，1]上为减函数，

∴∴1<a<2.

(2)求函数y＝log(x2－3x＋5)的单调区间.

解　由于x2－3x＋5的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，

∴x2－3x＋5>0恒成立，

即函数的定义域为R.

令u(x)＝x2－3x＋5，

当x∈时，u(x)为减函数，

当x∈时，u(x)为增函数.

又y＝logu为减函数，

∴y＝log(x2－3x＋5)在上为增函数，在上为减函数.

综上，函数y＝log(x2－3x＋5)的增区间为，减区间为.

思维升华　形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法

(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域).

(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的增区间是f(x)的增区间；g(x)的减区间是f(x)的减区间.

(3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的增区间是f(x)的减区间，g(x)的减区间是f(x)的增区间.

训练1 求函数y＝log(1－x2)的单调区间.

解　由条件知1－x2>0，∴－1<x<1.

令t＝1－x2，x∈(－1，1).

当x∈(－1，0]时，随着x的增大t增大，y＝logt减少.

∴当x∈(－1，0]时，y＝log(1－x2)为减函数.

同理，x∈(0，1)时，

y＝log(1－x2)为增函数.

故y＝log(1－x2)的增区间为(0，1)，减区间为(－1，0].

题型二　对数型函数的值域问题

例2 求下列函数的值域：

(1)f(x)＝log2(3x＋1)；

(2)f(x)＝log2·log2(1≤x≤4).

解　(1)f(x)的定义域为R.

∵3x>0，∴3x＋1>1.

∵y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，

∴log2(3x＋1)>log21＝0，

∴f(x)的值域为(0，＋∞).

(2)∵f(x)＝log2·log2

＝(log2x－2)·(log2x－1)

＝－，

又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，

∴当log2x＝，即x＝2＝2时，f(x)取最小值－；

当log2x＝0，即x＝1时，

f(x)取得最大值为2，

∴函数f(x)的值域是.

思维升华　(1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解.

(2)换元转化为二次函数的最值问题.

训练2 函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________.

答案　(－∞，－1]

解析　f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，

因为(x＋1)2＋2≥2，

所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，

所以函数f(x)的值域是(－∞，－1].

题型三　比较大小和解对数不等式

角度1　比较对数值的大小

例3 (1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)

A.b<a<c   B.a<b<c

C.c<b<a   D.b<c<a

(2)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)

A.loga5.1<loga5.9 B.log2.1>log2.2

C.log1.1(a＋1)<log1.1a D.log32.9<log0.52.2

答案　(1)D　(2)B

解析　(1)因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，故a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b<c<a.

(2)对于A，因为a和1的大小关系不确定，无法确定loga5.1与loga5.9的大小，故A不成立；对于B，因为y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，所以成立；对于C，因为y＝log1.1x在(0，＋∞)上是增函数，所以不成立；对于D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.

思维升华　比较对数值大小时常用的四种方法

(1)同底数的利用对数函数的单调性.

(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

(3)底数和真数都不同，找中间量.

(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

角度2　解对数不等式

例4 若－1<loga<1(a>0且a≠1)，求实数a的取值范围.

解　∵－1<loga<1，

∴loga<loga<logaa.

当a>1时，0<<<a，则a>；

当0<a<1时，>>a>0，则0<a<.

故实数a的取值范围是∪.

思维升华　两类对数不等式的解法

(1)形如loga(f(x))<loga(g(x))的不等式.

①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；

②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).

(2)形如loga(f(x))<b的不等式可变形为loga(f(x))<b＝logaab.

①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；

②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.

训练3 比较下列各组中两个值的大小：

(1)log31.9，log32；

(2)log23，log0.32；

(3)logaπ，loga3.14(a>0且a≠1)；

(4)log30.2，log40.2.

解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32.

(2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.

(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；

当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ<loga3.14.

综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；

当0<a<1时，logaπ<loga3.14.

(4)在同一直角坐标系中，作出y＝log3x，y＝log4x的图象(图象略)，再作出直线x＝0.2，观察图象可得log30.2<log40.2.

[课堂小结]

1.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系.

2.常见误区：(1)注意复合函数的单调性，把握“同增异减”的原则；(2)复合函数的值域问题，注意换元后的范围的变化.

一、基础达标

1.如果logx<logy<0，那么(　　)

A.y<x<1   B.x<y<1

C.1<x<y   D.1<y<x

答案　D

解析　函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，logx<logy<0＝log1.∴x>y>1.

2.已知loga<1，那么a的取值范围是(　　)

A.0<a<   B.a>

C.<a<1   D.0<a<或a>1

答案　D

解析　当a>1时，由loga<logaa知a>，故a>1；

当0<a<1时，由loga<logaa知0<a<，故0<a<.

综上知，a的取值范围是0<a<或a>1.

3.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则(　　)

A.a>b>c   B.b>a>c

C.c>a>b   D.b>c>a

答案　A

解析　∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.

4.函数f(x)＝lg()是(　　)

A.奇函数   B.偶函数

C.既奇又偶函数   D.非奇非偶函数

答案　A

解析　f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg()＋lg()

＝lg＝lg 1＝0，

∴f(x)为奇函数，选A.

5.函数y＝log(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是(　　)

A.(－∞，2)   B.(2，＋∞)

C.(－2，2)   D.(－2，6)

答案　C

解析　y＝logu，u＝－x2＋4x＋12.

令u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6.

∴x∈(－2，2)时，

u＝－x2＋4x＋12为增函数，

∵y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，

∴函数的单调减区间是(－2，2).

6.函数f(x)＝的值域为________.

答案　(－∞，2)

解析　当x≥1时，logx≤log1＝0，

∴当x≥1时，f(x)≤0.

当x＜1时，0＜2x＜21，

即0＜f(x)＜2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2).

7.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________.

答案　{x|＜x＜2}

解析　由题意可知，f(log4x)＜0⇔－＜log4x＜⇔log44－＜log4x＜log44⇔＜x＜2.

8.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)，若定义域为R，则k的范围为________，若值域为R，则k的取值范围为________.

答案　(0，1)　(－∞，0]∪[1，＋∞)

解析　若定义域为R，即x2－2kx＋k>0恒成立，∴Δ＝4k2－4k<0，

∴0<k<1，令t＝x2－2kx＋k，

由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，

得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.

9.比较下列各组中两个值的大小：

(1)log34，log34.1；

(2)log0.20.3，log0.23；

(3)log54，log40.5；

(4)log，log.

解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log34<log34.1.

(2)因为y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，所以log0.20.3>log0.23.

(3)log54>log51＝0，log40.5<log41＝0，

故log54>log40.5.

(4)log＝log23>1，log＝log32<1，故log>log.

10.已知函数f(x)＝log(－x2＋2x).

(1)求函数f(x)的值域；

(2)求f(x)的单调性.

解　(1)由题意得－x2＋2x>0，

∴x2－2x<0，

由二次函数的图象知0<x<2.

当0<x<2时，y＝－x2＋2x＝－(x2－2x)∈(0，1]，

∴log(－x2＋2x)≥log1＝0.

∴函数y＝log(－x2＋2x)的值域为[0，＋∞).

(2)设u＝－x2＋2x(0<x<2)，v＝logu，

∵函数u＝－x2＋2x在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数，v＝logu是减函数，

∴由复合函数的单调性得到函数f(x)＝log(－x2＋2x)在(0，1)上是减函数，在(1，2)上是增函数.

二、能力提升

11.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)

A.是增函数   B.是减函数

C.先增后减   D.先减后增

答案　A

解析　当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0<a<1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是减函数，所以f(x)是增函数，故选A.

12.若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a的取值范围是________.

答案　[2，3)

解析　令g(x)＝x2－ax＋2(a>0且a≠1)，

(1)当a>1时，g(x)在(－∞，1]上为减函数，则

解得2≤a<3；

(2)当0<a<1时，不成立.

综上，2≤a<3.

13.已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围.

解　(1)函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，

∴f(x)＝logx.

(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，

即log(3x－1)>log(－x＋5)，

则解得<x<，

∴x的取值范围为.

三、创新拓展

14.已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；

(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.

解　(1)由x＋－2>0，得>0.

当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；

当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；

当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－或x>1＋}.

(2)设g(x)＝x＋－2，

当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，

由函数单调性定义容易证明g(x)在[2，＋∞)上是增函数，

∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数.

则f(x)min＝f(2)＝lg .

(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，

即x＋－2>1对任意x∈[2，＋∞)恒成立.

∴a>3x－x2.

令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)，

则h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，

∴h(x)max＝h(2)＝2.

故a>2时，恒有f(x)>0.

因此实数a的取值范围为(2，＋∞).