限时小练27　幂函数

1.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)

A.1，3   B.－1，1

C.－1，3   D.－1，1，3

答案　A

解析　可知当α＝－1，1，3时，y＝xα为奇函数，又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1，3.

2.函数f(x)＝(a－b)x＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是(　　)

A.f(a)>f(b)   B.f(a)<f(b)

C.f(a)＝f(b)   D.以上都不对

答案　A

解析　∵f(x)为幂函数，∴

∴∴f(x)＝x，

∴f(x)在(0，＋∞)上递增，且a>b>0，

∴f(a)>f(b).故选A.

3.已知幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求当x∈[－1，1]时，函数g(x)＝f(x)－mx是单调函数，求m的取值范围.

解　(1)∵幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，

∴(2k－1)(3－k)>0，解得<k<3.

∵k∈Z，∴k＝1或k＝2.

当k＝1时，(2k－1)(3－k)＝2，

满足函数f(x)为偶函数，

当k＝2时，(2k－1)(3－k)＝3，

不满足函数f(x)为偶函数，

∴k＝1，且f(x)＝x2.

(2)∵f(x)＝x2，

∴g(x)＝f(x)－mx＝x2－mx，

函数g(x)的对称轴为直线x＝.

要使函数g(x)当x∈[－1，1]时是单调函数，

则≤－1或≥1，解得m≤－2或m≥2，

故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).