限时小练53　三角函数模型的简单应用

1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　)

A.，   B.2，

C.，π   D.2，π

答案　A

解析　当t＝0时，θ＝sin＝，

由函数解析式易知，单摆的周期为＝π，

故单摆的频率为，故选A.

2.一个匀速旋转的摩天轮每12 min转一周，最低点距地面2 m，最高点距地面

18 m，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16 min后点P距地面的高度是________m.

答案　14

解析　由题设可知P点距离地面高度h与时间t(min)关系可设为h＝10＋8sin(ωt＋φ)，其中ω＝＝，当t＝0时，10＋8sin φ＝2，即sin φ＝－1，φ＝－，所以h＝10－8cost，当t＝16时，h＝14 m.

3.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，直到8月份达到最多.

若入住客栈的游客人数y与月份x(x∈N＋)之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<|φ|<π)近似描述.

(1)求该函数的解析式；

(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？

解　(1)由①，得最小正周期T＝＝12，

所以ω＝；

由②，得f(2)最小，f(8)最大，

且f(8)－f(2)＝400；

由③，得f(x)在[2，8]上单调递增，

且f(2)＝100，所以f(8)＝500，

所以解得

又f(2)最小，f(8)最大，

所以

由于0<|φ|<π，所以φ＝－，

所以y＝200sin＋300(x∈N＋，且1≤x≤12).

(2)由200sin＋300≥400，

得sin≥，

所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，

解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z).

因为x∈N＋，且1≤x≤12，所以x＝6，7，8，9，10，

即只有6，7，8，9，10五个月份要准备不少于400人的用餐.