进阶训练1(范围：1.1.1～1.1.3)

一、基础达标

1.已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　)

A.锐角三角形   B.直角三角形

C.钝角三角形   D.等腰三角形

答案　D

解析　因为集合中的元素是互异的，

所以l，m，n互不相等，

即△ABC不可能是等腰三角形.故选D.

2.下列集合是有限集的是(　　)

A.{x|x是能被3整除的数}

B.{x∈R|0<x<2}

C.{(x，y)|2x＋y＝5，x∈N，y∈N}

D.{x|x是面积为1的菱形}

答案　C

解析　对于选项C，该集合可表示为{(0，5)，(1，3)，(2，1)}，为有限集，

易知选项A，B，D中的集合都为无限集.故选C.

3.(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的所有可能取值是(　　)

A.2   B.8 

C.4   D.3

答案　AB

解析　∵A∪(∁UA)＝U，

∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.

4.设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，若S∪T＝R，则实数a应满足(　　)

A.－3<a<－1   B.－3≤a≤－1

C.a≤－3或a>－1   D.a<－3或a>－1

答案　A

解析　在数轴上表示集合S，T，如图所示.因为S∪T＝R，由数轴可得解得－3<a<－1.故选A.

5.已知全集U＝Z，A＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，B＝{x|x>3或x<－3，x∈Z}，则A∩

(∁UB)中元素的个数为(　　)

A.4   B.3 

C.2   D.1

答案　C

解析　因为∁UB＝{x|－3≤x≤3，x∈Z}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，A＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，

所以A∩(∁UB)＝{－1，2}.故选C.

6.已知集合M＝{－1，3，2m－1}，集合N＝{3，m2}，若N⊆M，则实数m＝________.

答案　1

解析　依题意，知当N⊆M时，只能有m2＝2m－1，解得m＝1，经检验知满足题意.

7.已知全集为R，集合A＝{x|(6－x)(x－2)>0}，B＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是________.

答案　{a|a≤－2或a≥10}

解析　由题可知A＝{x|2<x<6}，∁RB＝{x|x<a－4或x>a＋4}，

因为A⊆∁RB，

所以6≤a－4或2≥a＋4，

即a≥10或a≤－2.

8.设全集U＝，集合M＝{(x，y)|＝1}，P＝{(x，y)|y≠x＋1}，则∁U(M∪P)＝________.

答案　{(2，3)}

解析　集合M是直线y＝x＋1上除去点(2，3)的所有点的集合，

集合P是平面内不在直线y＝x＋1上的所有点的集合，

显然M∪P是平面内除去点(2，3)的所有点的集合，故∁U(M∪P)＝{(2，3)}.

9.已知集合A＝{－2，0，3}，M＝{x|x2＋(a＋1)x－6＝0}，N＝{y|y2＋2y－b＝0}，若M∪N＝A，求实数a，b的值.

解　因为A＝{－2，0，3}，0∉M且M∪N＝A，所以0∈N.

将y＝0代入方程y2＋2y－b＝0，

解得b＝0.

由此可得N＝{y|y2＋2y＝0}＝{0，－2}.

因为3∉N且M∪N＝A，所以3∈M.

将x＝3代入方程x2＋(a＋1)x－6＝0，

解得a＝－2.

此时M＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2，3}，

满足M∪N＝A，

所以a＝－2，b＝0.

10.若集合A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5或x>1}，C＝{x|m－1<x<m＋1，m∈R}.

(1)若A∩C＝∅，求实数m的取值范围；

(2)若(A∩B)⊆C，求实数m的取值范围.

解　(1)由已知A＝{x|－4<x<2}，

B＝{x|x<－5或x>1}，

C＝{x|m－1<x<m＋1，m∈R}.

若A∩C＝∅，则m－1≥2或m＋1≤－4，

解得m≥3或m≤－5.

所以实数m的取值范围为

{m|m≤－5或m≥3}.

(2)结合(1)可得A∩B＝{x|1<x<2}.

若(A∩B)⊆C，即{x|1<x<2}⊆{x|m－1<x<m＋1}，则

解得1≤m≤2.

所以实数m的取值范围为{m|1≤m≤2}.

二、能力提升

11.如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)

A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S

C.(M∩P)∩(∁US) D.(M∩P)∪(∁US)

答案　C

解析　图中的阴影部分是M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，

所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁US)，故选C.

12.已知非空集合A，B满足以下两个条件：

①A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝∅；

②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.

则有序集合对(A，B)的个数为(　　)

A.10   B.12 

C.14   D.16

答案　A

解析　①当集合A中只有1个元素时，集合B中有5个元素，则1∉A且5∉B，此时A＝{5}，B＝{1，2，3，4，6}；

②当集合A中有2个元素时，集合B中有4个元素，则2∉A且4∉B，

此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，

所以A＝{1，4}，B＝{2，3，5，6}或A＝{3，4}，B＝{1，2，5，6}或A＝{4，5}，B＝{1，2，3，6}或A＝{4，6}，B＝{1，2，3，5}，共4种可能；

③易知集合A中不可能有3个元素；

④当集合A中有4个元素时，集合B中有2个元素，此情况与情况②相同，只需A，B互换，共4种可能；

⑤当集合A中有5个元素时，集合B中只有1个元素，此情况与情况①相同，只需A，B互换，共1种可能.

综上，有序集合对(A，B)的个数为10.

13.已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在实数a使A，B同时满足下列三个条件：

(1)A≠B；

(2)A∪B＝B；

(3)∅(A∩B).

若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

解　假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B＝{2，3}.

∵A∪B＝B，∴A⊆B，

即A＝B或AB.

由条件(1)A≠B，可知AB.

又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，

即A＝{2}或{3}.

当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，

即a＝－3或a＝5.

经检验：a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；

a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{2}矛盾，舍去.

当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.

即a＝5或a＝－2.

经检验：a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；

a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{3}矛盾，舍去.

综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件.

三、创新拓展

14.对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N＋，n≥3)，如果去掉其中任意一个元素ai(i＝1，2，…，n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”.

(1)判断集合{1，2，3，4，5}是否是“和谐集”(不必写过程)；

(2)请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；

解　(1)集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”.

(2)集合{1，3，5，7，9，11，13}.

证明如下：

∵3＋5＋7＋9＝11＋13，

1＋9＋13＝5＋7＋11，

9＋13＝1＋3＋7＋11，

1＋9＋11＝3＋5＋13，

1＋3＋5＋11＝7＋13，

3＋7＋9＝1＋5＋13，

1＋3＋5＋9＝7＋11，

∴集合{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”.