进阶训练5(范围：4.3.1～4.3.3)

一、基础达标

1.(多选)下列求值正确的是(　　)

A.log927＝ B.若log27x＝－，则x＝

C.log81＝16 D.若logx16＝－4，则x＝－2

答案　ABC

解析　设x＝log927，则9x＝27，32x＝33，

∴2x＝3，∴x＝，选项A正确.

∵log27x＝－，

∴x＝(27)－＝(33)－＝3－2＝，

选项B正确.

设x＝log81，

则()x＝81，3＝34，

∴＝4，

∴x＝16，选项C正确.

∵logx16＝－4，

∴x－4＝16，即x4＝＝.

又x>0，∴x＝.选项D错误.

2.已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝(　　)

A.－   B.3

C.－或3   D.－或3

答案　A

解析　当a>0时，若f(a)＝3，

则log2a＋a＝3，解得a＝2，满足a>0；

当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，

解得a＝3，不满足a≤0，舍去.

于是可得a＝2.

故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.故选A.

3.设函数f(n)＝ln(－n)，g(n)＝ln(n－)，则f(n)与g(n)的大小关系是(　　)

A.f(n)>g(n)   B.f(n)<g(n)

C.f(n)≥g(n)   D.f(n)≤g(n)

答案　B

解析　由于－n和n－不相等，故f(n)与g(n)不相等.

不妨令n＝1，

可得f(1)＝ln(－1)<ln 1＝0，

g(1)＝ln 1＝0.

故有f(n)<g(n)，故选B.

4.函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　)

答案　C

解析　A中，由y＝x＋a的图象知a>1，而y＝logax为减函数，A错；

B中，由y＝x＋a的图象知0<a<1，而y＝logax为增函数，B错；

C中，由y＝x＋a的图象知0<a<1，且y＝logax为减函数，所以C对；

D中，由y＝x＋a的图象知a<0，而y＝logax无意义，D错.

5.(多选)函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是(　　)

A.f(x2)＝2f(x) B.f(2x)＝f(x)＋f(2)

C.f＝f(x)－f(2) D.f(2x)＝2f(x)

答案　ABC

解析　∵函数y＝f(x)是y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，∴f(x)＝logax.

f(2x)＝loga(2x)＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)，B对D错；

f(x2)＝logax2＝2logax＝2f(x)，A对；

f＝loga＝logax－loga2＝f(x)－f(2)，C对.故选ABC.

6.已知m>0，且10x＝lg(10m)＋lg ，则x＝________.

答案　0

解析　因为lg(10m)＋lg ＝lg＝lg 10＝1，所以10x＝1，所以x＝0.

7.已知函数y＝f(x)存在反函数y＝f－1(x)，若函数y＝f(x)＋2x的图象经过点(1，6)，则函数y＝f－1(x)＋log2x的图象必经过点________.

答案　(4，3)

解析　由y＝f(x)＋2x的图象经过点(1，6)，得6＝f(1)＋2，f(1)＝4，

故f(x)的反函数的图象经过点(4，1)，

所以y＝f－1(4)＋log24＝1＋2＝3，故答案为(4，3).

8.函数y＝log2(－x2＋4x)的增区间是________，值域是________.

答案　(0，2]　(－∞，2]

解析　由题意，得－x2＋4x>0，

解得0<x<4，

即函数y＝log2(－x2＋4x)的定义域为(0，4).

令t＝－x2＋4x，则t＝－x2＋4x是开口向下，对称轴为直线x＝2的二次函数，

所以t＝－x2＋4x在(0，2]上单调递增，在[2，4)上单调递减.

又函数y＝log2t单调递增 ，

所以y＝log2(－x2＋4x)的单调递增区间为(0，2].

又x∈(0，4)时，

0<t＝－x2＋4x≤－22＋8＝4，

即t∈(0，4]，

所以y＝log2(－x2＋4x)＝log2t∈(－∞，2]，

即值域为(－∞，2].

9.求下列各式的值：

(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；

(2).

解　(1)法一

原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.

法二　原式＝lg 14－lg＋lg 7－lg 18＝lg＝lg 1＝0.

(2)原式＝＝

＝＝.

10.已知函数f(x)＝lg.

(1)若f(x)为奇函数，求a的值；

(2)在(1)的条件下，若f(x)在区间(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求实数m，n的值.

解　(1)∵f(x)为奇函数，

∴f(x)＋f(－x)＝0，

∴lg＋lg＝0，

∴＝1，

解得a＝1(a＝－1舍去).

(2)由(1)知f(x)＝lg，

其定义域为(－1，1).

令t＝＝－1＋，

易知当x∈(－1，1)时，t单调递减，而y＝lg t在定义域内为增函数，

∴f(x)＝lg在其定义域内是减函数，则m＝－1，

由题意知f(n)＝lg＝－1，

解得n＝.

故所求m的值为－1，n的值为.

二、能力提升

11.当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)

A.(0，1)   B.(1，2)

C.(1，2]   D.

答案　C

解析　设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax的图象的下方.

当0<a<1时，显然不成立.

当a>1时，如图所示，要使在(1，2)上f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，即1<a≤2.

12.已知函数f(x)＝|lg x|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是(　　)

A.(2，＋∞)   B.[2，＋∞)

C.(3，＋∞)   D.[3，＋∞)

答案　C

解析　因为f(a)＝f(b)，

所以|lg a|＝|lg b|.

又b>a>0，则lg a<0，即a<1，lg b>0，

即b>1，

所以0<a<1<b，|lg a|＝－lg a，

|lg b|＝lg b，

所以lg a＋lg b＝lg(ab)＝0，

所以b＝，则a＋2b＝a＋.

令g(a)＝a＋，由函数的性质知函数g(a)在(0，1)上为减函数，

所以g(a)>g(1)＝1＋＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞).

13.已知f(x)＝log(x2－ax－a).

(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；

(2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围.

解　(1)当a＝－1时，

f(x)＝log(x2＋x＋1)，

∵x2＋x＋1＝＋≥，

∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，

∴f(x)的值域为(－∞，2－log23].

∵z＝x2＋x＋1在上单调递减，在上单调递增，y＝logz在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(x)的增区间为，

减区间为.

(2)令u＝x2－ax－a＝－－a，

∵f(x)在上为增函数，

又y＝logu为减函数，

∴u在上为减函数，

且u>0在上恒成立.

因此即

解得－1≤a≤.

故实数a的取值范围是.

三、创新拓展

14.某数学小组以函数f(x)＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，得到部分研究结果如下：

①函数f(x)的定义域为(－1，1)；

②函数f(x)是偶函数；

③对于任意的x∈(－1，1)，都有f＝2f(x)；

④对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f(a)＋f(b)＝f；

⑤对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0.

其中所有正确研究结果的序号是________.

答案　①③④

解析　在①中，因为f(x)＝lg ，所以>0，得函数的定义域为(－1，1)，所以①是正确的；

在②中，f(x)＝lg ＝－lg ＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；

在③中，对于任意的x∈(－1，1)，

有f＝lg ＝lg ＝lg ，

又2f(x)＝2lg ＝lg ，

所以③是正确的；

在④中，对于任意的a，b∈(－1，1)，

有f(a)＋f(b)＝lg ＋lg ＝lg＝lg ，

又f＝lg ＝lg ，所以④是正确的；

在⑤中，对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0，即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)＝lg ＝lg是减函数，所以⑤是错误的.

综上可知，所有正确研究结果的序号为①③④.