2023年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学五模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学五模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  计算的结果(    )

A.  B.  C.  D.

4.  ▱中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出▱是菱形，那么这个条件可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，于，若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点，，那么一定有(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  如图，已知是的直径，弦交于点，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  二次函数的图象与轴交于、两点在的左边，顶点为点且，连接、，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  下列各数，，，，，，中，无理数的个数有        个

10.  如图，一块三角板的直角顶点落在直尺的边沿上，若则，则        ．

11.  如图，点，在上直径两侧的两点，，，则的长为        ．

12.  如图，已知函数经过点，延长交双曲线另一分支于点，过点作直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交双曲线另一分支于点，且则的面积        ．

13.  的半径为，、是的两条弦，且，则最大面积为        ．

三、解答题（本大题共13小题，共104.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
．

15.  本小题分
解方程：．

16.  本小题分
化简求值：，其中．

17.  本小题分
如图，已知，请用尺规作图法在边上求作一点，使得∽保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连结，，求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
为降低空气污染，某公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车共辆，其中每台的价格，年均载客量如表所示：

若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
求、的值；
如果该公司要确保这辆公交车的年均载客总和不少于万人次．请你设计一个方案，使得总费用最少．

20.  本小题分
端午节，小明和小丽计划去自驾游，现有个级景区可供选择，分别为：西安市秦始皇兵马俑，安康瀛湖风景区，西安市大唐芙蓉园景区，安康香溪洞旅游景区，由于时间有限，小明和小丽计划通过转转盘来决定去哪个景区游玩．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了面积相等的四部分．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的字母即为游玩的景区，此时，称为转动转盘一次若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止．
小明转动转盘一次，则游玩的景区是安康瀛湖风景区概率为______；
小明和小丽各转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求小明和小丽均去西安游玩的概率．

21.  本小题分
小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明同学对该塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿．方向后退米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动米放在处即米，从点处向后退米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度平面镜的大小忽略不计

22.  本小题分
某校开展读书活动，校德育处对本校八年级学生十月份的“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”单位：本进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
请直接补全如图两幅统计图；
本次所抽取学生十月份“读书量”的众数为        ，中位数为        ；
已知该校八年级有名学生，请你估计该校八年级学生中，十月份“读书量”为本及以上的学生人数．
 

23.  本小题分
，，三地在同一条公路上，地在，两地之间，且到，两地的路程相等．甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速行驶．甲车到达地并停留小时后以原速继续前往地，到达地后立即调头调头时间忽略不计，并按原路原速返回，到达地停止行驶；乙车经地到达地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距地的路程单位：千米与甲车所用时间单位：小时之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
乙车的速度为______千米时；
求乙车从地到地的过程中，与的函数关系式不用写自变量的取值范围；
请直接写出为何值时两车距地的路程之和为千米？

24.  本小题分
如图，为直径，为弦，为外的点，且为的切线，过作于点，交于点，延长交的延长线于点．
求证：；
若为的中点，，，求的半径．

25.  本小题分
已知抛物线：经过点、、．
求抛物线的表达式；
将抛物线绕原点旋转度后，得到抛物线，点是抛物线第一象限的点，其横坐标为，点是抛物线的顶点，点是抛物线与轴的交点，过点作直线轴，动点在直线上，点在轴上，连接，，，请问当为何值时，的和有最小值，并求出这个最小值．

26.  本小题分
足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图所示，运动员带球在直线上行进时，当存在一点，使得此时也有时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点为直线上的最佳射门点．
如图所示，为球门，当运动员带球沿行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点______；
如图所示，是一个矩形形状的足球场，为球门，于点，，某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点．
用含的代数式表示的长度并求出的值；
已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开垂直于进行防守，求中点与的距离至少为多少时才能确保防守成功．结果用含的代数式表示

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
利用有理数的乘法法则计算再判断．
本题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：．
根据从左面看得到的图形是左视图可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
直接根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
此题考查的是单项式乘多项式，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
 

4.【答案】 

【解析】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
当时，▱是菱形．
故选：．
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答．
本题综合考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形．
 

5.【答案】 

【解析】解：于，
．
在中，
，，
．
．
在中，
，
．
故选：．
先利用特殊角的函数值求出，再利用角间关系求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的函数值是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点的横坐标为，
此点在一、四象限；
点的纵坐标为，
此点在一、二象限，
此函数的图象一定经过二四象限，
点在第四象限，点在第二象限，
，．
故选：．
根据正比例函数图象所在象限，可判断出的符号．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
过圆心，，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
．
故选：．
过点作于点，连接，根据垂径定理解答即可．
此题考查了垂径定理和直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，的根，
设点的坐标为，
点的坐标为：，，
，
故选：．
根据题意和函数解析式，可以表示出，然后化简即可．
本题考查抛物线与轴的交点、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，计算出的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
无理数有，，共有个．
故答案为：．
根据无理数的定义无理数是指无限不循环小数判断即可．
本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
．
故答案为：．
由题意可得，从而可求的度数．
本题主要考查余角，度分秒的换算，解答的关键是由图得到．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
，
，
，
，
，
的长为．
故答案为：．
连接根据圆周角定理求出，那么，代入弧长公式计算即可．
本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，根据圆周角定理求出是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，连接，

则，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
与反比例函数联立，得，
解得：，，
点的横坐标为，
，
延长交双曲线另一分支于点，
点与点关于原点对称，即点是的中点，
．
故答案为：．
过点作轴于点，连接，可证得∽，求得，即，利用待定系数法可得直线的解析式为，与反比例函数联立，可求得点的横坐标为，根据，，即可求得答案．
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数中的几何意义，相似三角形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积等，求出点的坐标是解题的关键；本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，，，，过点作于点．

，，
，
，
，
，
，
同法可证，
，
将顺时针旋转使得与重合，
此时，
，
当平分时，四边形的面积最大，最大值，
最大面积为．
故答案为：．
如图，连接，，，，，，过点作于点首先证明，将顺时针旋转使得与重合，此时，由，可知当平分时，四边形的面积最大．
本题考查圆心角，弧，弦之间的格线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用旋转变换的性质解决问题．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】解：由原方程，得
，
，
所以或，
解得：，． 

【解析】本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为，再分别使各一次因式等于即可求解．
本题考查了因式分解法解一元二次方程．
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
 

16.【答案】解：原式


，
当时，
原式

． 

【解析】先计算括号里的，再除法转化成乘法，计算括号外，最后把的值代入计算．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式化简的方法是关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作即可．
本题考查作图相似变换，将所求问题转化为作是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由三角形中位线定理得，则，再证≌，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

19.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为，的值为．
设购进型公交车辆，则购进型公交车辆，
依题意得：，
解得：．
又，均为正整数，
可以为，．
当时，，此时的总费用为万元；
当时，，此时的总费用为万元．
，
购进型公交车辆，型公交车辆时，总费用最少． 

【解析】根据“若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出、的值；
设购进型公交车辆，则购进型公交车辆，根据要确保这辆公交车的年均载客总和不少于万人次，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合，均为正整数，可得出各的值，再利用总费用单价数量，分别求出取各值的总费用，比较后即可得出：购进型公交车辆，型公交车辆时，总费用最少．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】 

【解析】解：小明转动转盘一次，则游玩的景区是安康瀛湖风景区概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小丽均去西安游玩的结果有种，
小明和小丽均去西安游玩的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小丽均去西安游玩的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：根据题意得，，
∽，
，即；
，，
∽，
，即，
由得，
解得，
，
解得，
答：小雁塔的高度为米． 

【解析】根据题意得，，通过证明∽，利用相似比得到；同理得到，由得，然后求出，再计算．
本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行几何计算．
 

22.【答案】   

【解析】解：抽样调查的学生总数为：人，
读本的人数有：人，
读本的人数所占的百分比是，
补全统计图如下：

读本的人数最多，所以众数为，
把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第、个数的平均数，
则四月份“读书量”的中位数为；
故答案为：，；
名，
答：估计该校八年级学生中，十月份“读书量”为本及以上的学生人数大约有名．
根据本的人数和所占的百分比求出抽样调查的学生总数，再乘以读本人数所占的百分比求出读本的人数；用整体减去其它读书量所占的百分比求出读本书所占的百分比，从而补全统计图；
根据中位数的定义求出本次所抽取学生十月份“读书量”的中位数即可；
用八年级名学生乘以十月份“读书量”为本及以上的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：由函数图像知，乙车在小时内走完全程千米，乙车的速度为千米小时，
故答案为：；
设乙车从地到地的过程中与的函数关系式为：，
将，代入，
得：，
解得：，
乙车从地到地的过程中与的函数关系式为：；
由图可知，分别在个时间段可能两车在途中距地路程之和为，
当甲在至，乙在至的过程中
由题意知，甲车速度为千米小时，
，解得：；
甲车从到，乙车从到，
由题意得：，
解得：；
甲车从到，乙车从到，
，
解得：，不符合题意，
这种情况为甲车到达地后，乙车到达地时，符合题意，即时，
综上所述，当的值为或或时，两车距地的路程之和为千米．
由函数图像中得出乙车在小时内走完全程千米，利用公式求出速度即可；
由乙车的图象，用待定系数法求函数解析式即可；
由图可知，分别在个时间段可能两车在途中距地路程之和为，分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用、待定系数法求函数解析式，一元一次方程的应用等知识，关键是理解每段图象的意义，进行分类讨论．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：设，
为的中点，
，
，
，
，，
，
由勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
解得，
半径为． 

【解析】连接，根据切线的性质得再由，，可得，即可证明结论；
设，则，利用三角函数的定义求出，勾股定理得出的长，最后利用∽，可得的长．
本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线：经过点、、，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线绕原点旋转度后，得到抛物线：，
抛物线的顶点，
当时，，
，
当时，，
，
如图，过点作轴于点，则，，
，

则，
，，
，
，
当且仅当最小时，的和最小，
直线时，的最小值为，此时，
，
当时，的和最小，最小值为． 

【解析】运用待定系数法把、、代入，解方程组即可求得答案；
抛物线绕原点旋转度后，得到抛物线：，抛物线的顶点，，，过点作轴于点，利用勾股定理可得，由于，，则，故，当且仅当最小时，的和最小，即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，抛物线的中心对称变换，垂线段最短的应用，勾股定理等；该题难度适中，解题关键是运用垂线段最短．
 

26.【答案】解：2；
（2）由题意，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
如图中，过点作于点．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
如图中，设的中点为，过点作于点，过点作于点．

，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
中点与的距离至少为时才能确保防守成功． 

【解析】解：的角度最大，
，，这三个射门点中，最佳射门点为点；
故答案为：；
见答案；
见答案．
根据最佳射门点的定义判断即可；
证明，推出，可得，求出，如图中，过点作于点利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得结论；
如图中，设的中点为，过点作于点，根点作于点解直角三角形求出，，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．