福建省福州第一中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

福建省福州第一中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．函数中自变量的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．下列各式中是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

3．在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：

这些运动员成绩的众数是（    ）A．1.65 B．1.70 C．1.75 D．1.80

4．如图，为了测量一块不规则绿地，两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点，然后测量出，的中点，，如果测量出，两点间的距离是，那么绿地，两点间的距离是（    ）

A． B． C． D．

5．如图,在Rt△ABC中,,,CD是AB边上的中线, 则CD的长是

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图，在菱形中，对角线，相交于点，如果，，那么菱形的面积是（    ）

A． B． C． D．

7．下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，直线y＝kx+b与x轴的交点的坐标是（﹣3，0），那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞0 D．x＜0

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（ ）

A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）

10．，，三种上宽带网方式的月收费金额（元），（元），（元）与月上网时间（小时）的对应关系如图所示．以下有四个推断：

①月上网时间不足小时，选择方式最省钱；

②月上网时间超过小时且不足小时，选择方式最省钱；

③对于上网方式，若月上网时间在小时以内，则月收费金额为元；

④对于上网方式，若月上网时间超出小时，则超出的时间每分钟收费元．

所有合理推断的序号是（    ）

A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④

二、填空题

11．计算：______．

12．甲、乙两人参加月日世界卫生日“健康知识”竞赛，经过轮比赛，他们的平均成绩都是分．若两人比赛成绩的方差分别为，，则两人中比赛成绩更加稳定的是______．

13．已知AD=BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要添加的条件是_____（填一个你认为正确的条件）．

14．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_____°.

15．已知，则的值为______．

16．如图，点在线段上，是等边三角形，四边形是正方形，点是线段上的一个动点，连接，．若，，则的最小值为______．

三、解答题

17．计算：

18．如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF＝CE．

19．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求的面积．

20．每年4月7日为世界卫生日，我校组织了七年级全体名学生进行健康知识学习并测试，现随机抽取其中名学生的测试成绩，并整理成如下频数分布表：

其中测试成绩在这一组的是：，，，，，，，．

(1)被抽取的名学生的测试成绩的中位数是______，这一组的组中值是______；

(2)若成绩在分以上（含分）的记为优秀，请用统计的知识估计七年级测试成绩优秀的学生人数．

21．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系：

例如：由，可得与互为倒数，即，．

类似地，，；

，；…．

根据小腾发现的规律，解决下列问题：

(1)______，______；（n为正整数）

(2)计算：．

22．如图，在中，，D，E分别是边AB,AC的中点，，点F在的延长线上，且．

(1)求证：四边形为菱形；

(2)连接与相交于点，若，求AC的长．

23．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

(1)试写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；

(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？

24．直线交轴于点，交轴于点．

(1)如图1，若，则点坐标为______，点坐标为______；

(2)如图2，若直线：交于点，点的横坐标为，求的值；

(3)当时，若点为轴上的一点，，求点坐标．

25．在中，，D为内一点，连接，，延长到点E，使得．

(1)如图1，延长到点F，使得，连接，．

①求证：；

②若，求证：；

(2)连接，交的延长线于点H，连接，依题意请补全图2．若，试探究线段、与的数量关系．

参考答案：

1．B

【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解．

【详解】解：由题意得，，

解得．

故选：B．

【点睛】本题考查自变量的取值范围，掌握被开方数大于等于0是解题关键．

2．A

【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．

【详解】A、是最简二次根式，此项符合题意；

B、，不是最简二次根式，此项不符题意；

C、，不是最简二次根式，此项不符题意；

D、，不是最简二次根式，此项不符题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义，通过化简进行验证是解题关键．

3．C

【分析】根据众数的定义，即可求解．

【详解】解：由表格中的数据可知：1.75出现的次数最多，故这些运动员成绩的众数是1.75m，

故选C．

【点睛】本题主要考查求众数，掌握众数的定义，是解题的关键．

4．C

【分析】根据三角形中位线定理即可求出．

【详解】解：中，、分别是、的中点，

为三角形的中位线，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．

5．B

【详解】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AB=4，CD是AB边上的中线，

∴CD=AB=2，

故选B.

点睛：本题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键；先根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB；再把AB=4代入即可求解.

6．C

【分析】利用菱形的面积公式即可求解．

【详解】解：菱形的面积，

故选：C．

【点睛】本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半．

7．D

【分析】对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，y就是x的函数，否则不是函数．

【详解】

如图，D选项的图中x一个确定的值对应两个y的值，不符合函数的定义．

故选：D．

【点睛】本题考差了函数的定义，对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，y就是x的函数，牢固掌握定义是做出本题的关键．

8．A

【分析】根据图象直接解答即可．

【详解】∵直线y＝kx+b与x轴交点坐标为（﹣3，0），

∴由图象可知，当x＞﹣3时，y＞0，

∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣3．

故选：A．

【点睛】此题考查了一次函数图象与不等式的关系，不等式的解集即为一次函数的函数值大于零、等于零或小于零，正确理解二者之间的关系是解题的关键．

9．D

【分析】延长BC交x轴于D，由点A坐标求OA=2，由四边形OABC是菱形，可得AO=OC=BC=2，在Rt△OCD中，由勾股定理OD=即可．

【详解】解：延长BC交x轴于D，

∵点A的坐标为（0，2），

∴OA=2，

∵四边形OABC是菱形，

∴AO=OC=BC=2，

∵BC∥y轴，

∴BD⊥x轴，

在Rt△OCD中，

∵点C的纵坐标为1，

∴CD=1，

∴OD=，

∵BD=BC+CD=2+1=3，

∴点B（，3）．

故选择D．

【点睛】本题考查点的坐标，菱形性质，勾股定理，掌握点的坐标求法，菱形性质，勾股定理是解题关键．

10．D

【分析】根据，，三种上宽带网方式的月收费金额（元），（元），（元）与月上网时间（小时）的图像逐一进行判断即可．

【详解】解：由图像可知：①月上网时间不足小时，选择方式最省钱，说法正确；

②月上网时间超过小时且不足小时，选择方式最省钱，说法正确；

③对于上网方式，若月上网时间在小时以内，则月收费金额为元，说法正确；

④对于上网方式，若月上网时间超出小时，则超出的时间每分钟收费为：（元），说法正确，

所以所有合理推断的序号是①②③④．

故选：D．

【点睛】本题考查了函数的图像，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．

11．3

【分析】利用二次根式的性质求解．

【详解】解：．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟记性质是解题的关键．

12．乙

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．

【详解】，，

，

比赛成绩更加稳定的是乙．

故答案为：乙．

【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

13．AB=CD(或AD∥BC)

【分析】在已知一组对边相等的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边相等，或相等的这组对边平行均可．

【详解】根据平行四边形的判定方法，知一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，

两组对边分别相等的四边形为平行四边形，

则需要添加的条件是AB=CD或AD∥BC，

故答案为：AB=CD(或AD∥BC).

【点睛】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．

14．60°.

【分析】由折叠的性质知，∠DA1E=∠A=90°；DA1=AD=2CD，易证∠CDA1=60°．再证∠EA1B=∠CDA1．

【详解】由折叠的性质知，A1D=AD=2CD，

∴sin∠CA1D=CD：A1D=1：2，

∴∠CA1D=30°，

∴∠EA1B=180°-∠EA1D-∠CA1D=180°-90°-30°=60°．

故答案为60．

【点睛】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，同角的余角相等求解．

15．4

【分析】根据完全平方公式计算和变形即可求解．

【详解】解：∵

∴

∴，

∴，

∴，

故答案为：4．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．

16．

【分析】作C点关于AE的对称点，连接C'B与AE交点为P，则，根据题意可求得∠DAE=15°，进而得到∠EAC=45°，，在Rt△中，AB=AC+BC=5，，求得=即为所求．

【详解】解：作C点关于AE的对称点，连接与AE交点为P，

∴，

∵是等边三角形，四边形是正方形，

∴，，∠DAC=60°，

∴∠EAD=15°，

∴∠GAC=45°，

由轴对称的性质可得，

∴，

∴AC=2，

在Rt△中，AB=AC+BC=5，=2，

∴，

∴PB+PC的最小值为，

故答案为：．

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，作出C关于AE的对称点是解题的关键．

17．

【分析】根据二次根式的混合计算法则求解即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

18．见解析

【分析】首先由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，然后判定四边形AECF为平行四边形，即可得解.

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC．

∵BF=DE，

∴AE∥CF，AE=CF．

∴四边形AECF为平行四边形．

∴AF=CE．

【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握，即可解题．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；

（2）利用直线解析式求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得的面积．

【详解】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点，．

∴，解得：，

∴这个一次函数的解析式为：．

（2）解：令，则，解得，

∴，

∵．

∴．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．

20．(1)85，85

(2)280

【分析】（1）根据中位数是指一列数据，按大小进行排列后，排列序号是最中间的那个数字，如果数据有偶数个，那取中间两个数值的平均值，组中值是指数据分组后，小组的两个端点的数的平均数；

（2）利用样本中“优秀”所占的百分比估计总体中“优秀”所占的百分比，进而求出全年级“优秀”的学生人数．

【详解】（1）解：这一组的组中值是，

∵由样本数据得中间位置的第个，第个数据分别是，，

∴中位数是，

故答案为，．

（2）∵若成绩在分以上（含分）的记为优秀，

∴优秀率，

∴七年级测试成绩优秀的学生人数为人．

【点睛】本题考查频数分布表，中位数、组中值，样本估计总体， 理解组中值、中位数的意义，掌握组中值、中位数的计算方法是正确解答的前提．

21．(1)，

(2)9

【分析】（1）根据题目示例可得规律；

（2）根据（1）的规律化简每个根式后再合并．

【详解】（1）因为，所以＝；

因为，所以；

故答案为：，，

（2）

．

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键．

22．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证出，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得，，再由等边三角形的性质得，，然后由含角的直角三角形的性质得，，进而得出．

【详解】（1）解：证明：，分别是边，的中点，

是的中位线，

，

，

四边形是平行四边形，

，是边的中点，

，

又，

，

平行四边形为菱形；

（2）解：连接，交于于，如图，

由（1）得：四边形为菱形，

，，

又∵

，

是等边三角形，

，

，

，

∴，

在中，

，

，

∴

在中，．

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质，证出．

23．(1)；

(2)购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润为46600元

【分析】（1）根据题意列出关系式为：，化简整理，再根据两种型号电脑共100台， B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，确定自变量的取值范围；

（2）根据一次函数的增减性质和x的取值范围，解答即可．

【详解】（1），

由，得，

∵，

∴，

故；

（2）∵中，，

∴y随的增大而减小，

∵，且为正整数，

∴当时，y取最大值，最大值为（元），

此时（台）．

∴购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润为46600元．

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握一次函数值随自变量值的增减情况．

24．(1)，

(2)

(3)或

【分析】（1）将，，分别代入求解即可；

（2）求得、坐标，过点作轴，交轴于点，交于点，即点的纵坐标与点相同，可求得的横坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，通过证明，将转化成求解即可；

（3）过点作于点，由已知可得是等腰直角三角形，则，过点作轴于点，过点作于点，设，，画出点在点的左侧或右侧的图形，分类讨论，得到与的等量关系建立方程组，求得的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，令即可求解．

【详解】（1）解：当，时，则，

，

当，时，则，

解得：，

，

故答案为：，；

（2）解：如图，过点作轴，交轴于点，交于点；过点作轴于点，过点作轴于点，

，

时，

解得：，

，

点横坐标为，且在直线上，

，

，

当时，

解得：，

，

，，

垂直平分，

，

，

解得：，

，

，，

在与中，

，

，

，

，

，，，

，，

；

（3）解：过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，

，，

是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

，，

设，，

由（1）知当时，，，

，，

①如图，当点在点左侧时，在第二象限，

，，

，

解得：，

，

设直线解析式为，

，

解得：，

直线解析式为，

当时，解得，

，

②如图，当点在点右侧时，在第一象限，

，，

，

解得：，

，

设直线解析式为，

，

解得：，

直线解析式为，

当时，解得，

，

综上所述，点的坐标为或．

【点睛】本题考查了一次函数的性质，垂线段最短定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，两点间的距离公式，第（2）题中把要求线段的端点通过计算坐标发现其特殊性是解题的关键，第（3）题中由联想到作垂线段构造等腰直角三角形是解题的关键．

25．(1)①证明过程见解析；②证明过程解析

(2)作图见解析；，证明过程见解析

【分析】（1）根据全等三角形的判定证明，再根据全等三角形的性质可得，证明，即可得出结论；

（2）依题意如图所示：延长到F，使，连接、，根据线段垂直平分线的判定与性质可得，证明，可得，，可证，再根据可证，

，从而证明，即可得出结论．

【详解】（1）①证明：在和中，

，

∴；

②∵，

，

，

，

；

（2）解；依题意如图所示：延长到F，使，连接、，

，，

是线段的垂直平分线，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，，

在中，，

，

，

，，

，

在中，，

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质及勾股定理的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．