2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（理科）含解析（三）

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2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（理科）（三）（三模）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）复数的共轭复数对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知向量，满足，，，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）若，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
5．（5分）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，某个密码的长度设定为，则
密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算．现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为　　
（参考数据：，
A． B． C． D．
6．（5分）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为　　
A．2 B．4 C． D．
7．（5分）孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23问题中的第8个：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对．那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为　　
A． B． C． D．
8．（5分）若某多面体的三视图（单位：如图所示，则此多面体的体积是　　

A． B． C． D．
9．（5分）若，，，则的值为　　
A． B． C． D．
10．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　
A．在区间上单调递减
B．的图像关于直线对称
C．的最大值为
D．在区间，上有3个零点
11．（5分）已知点、，若过、两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是　　
A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线
12．（5分）定义在上的函数满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
13．（5分）已知随机变量服从正态分布，，若，则　　．
14．（5分）已知函数，则在点，处的切线方程为 　　．
15．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若，，的面积为，则的周长是 　　．
16．（5分）某电视台鉴宝栏目迎来一件清代老银方斗型挂件（图，古代常用来作为女方陪嫁．该挂件佩戴起来非常漂亮，寓意“斗出斗入，日进万金”之意．其结构由长方体与正四棱台组合而成．图2是与该挂件结构相同的几何体，且，，，为上一点，且，为上一点．若，则的值为 　　；几何体外接球的表面积为 　　．

三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（12分）2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．
（1）完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

有兴趣
没有兴趣
合计
男



女

75

合计


600
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设表示选出的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：．

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
18．（12分）已知数列中，，且．记．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
19．（12分）如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1．
（1）证明：；
（2）为的中点，点在线段上，记，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，抛物线，点是椭圆上的动点，点是抛物线准线上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为坐标原点），且点到直线的距离为常数，求的值．
21．（12分）已知函数．
（1）函数为的导函数，讨论的单调性；
（2）当时，证明：存在唯一的极大值点，且．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）如图，在极坐标系中，已知点，曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，曲线是过极点且与曲线相切于点的圆．
（1）分别写出曲线，的极坐标方程；
（2）直线与曲线，分别相交于点，（异于极点），求面积的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（1）当时，求的解集；
（2）若的解集包含，，求实数的取值范围．

2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（理科）（三）（三模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）复数的共轭复数对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】：复数的运算
【解析】复数的共轭复数为，对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：．
2．（5分）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
【考点】：并集及其运算
【解析】集合，
，
．
故选：．
3．（5分）已知向量，满足，，，则　　
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【解析】因为，所以，即，解得．
故选：．
4．（5分）若，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【考点】不等式的基本性质；不等关系与不等式
【解析】对于，函数在上单调递增，
，
，即，故错误，
对于，函数在上单调递增，，
，故正确，
对于，当时，无意义，故错误，
对于，令，，满足，但，故错误．
故选：．
5．（5分）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，某个密码的长度设定为，则
密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算．现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为　　
（参考数据：，
A． B． C． D．
【考点】根据实际问题选择函数类型
【解析】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，
则，两边取对数可得，，
故
，
所以．
故选：．
6．（5分）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为　　
A．2 B．4 C． D．
【考点】双曲线的性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】双曲线的渐近线为，即，
根据对称性不妨取，
圆的圆心为，半径，
可得圆心到渐近线的距离为，
则，化简为，即，
所以，即，
所以离心率．
故选：．
7．（5分）孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23问题中的第8个：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对．那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为　　
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式
【解析】不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，
在不超过16的素数中任意取出不同的两个，
基本事件总数，
可组成孪生素数包含的基本事件有：
，，，共3个，
在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为．
故选：．
8．（5分）若某多面体的三视图（单位：如图所示，则此多面体的体积是　　

A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积
【解析】根据几何体的三视图转换为直观图：
如图所示：

则：．
故选：．
9．（5分）若，，，则的值为　　
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数
【解析】，，，
即，
又，，
则，
即，
故；
即，
故选：．
10．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　
A．在区间上单调递减
B．的图像关于直线对称
C．的最大值为
D．在区间，上有3个零点
【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的最值
【解析】依题意，函数，
对于，时，在上单调递增，不正确；
对于，，
，，
即点，在函数的图像上，而该点关于直线的对称点，不在函数的图像上，不正确；
对于，当时，，
函数的取值集合是，，
当时，，
函数的取值集合是，，
因此，函数在上的值域为，，
则的最大值为，正确；
对于，当，时，
由得，当，时，由得，
则在，上只有2个零点，不正确．
故选：．
11．（5分）已知点、，若过、两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是　　
A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．抛物线
【考点】抛物线的性质
【解析】由题设知，焦点到和的距离之和
等于和分别到准线的距离和．
而距离之和为和的中点
到准线的距离的二倍，即为，
所以焦点的轨迹是以和为焦点的椭圆．
故选：．

12．（5分）定义在上的函数满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【考点】不等式恒成立的问题
【解析】因为当，时，，
所以，
因为，
当，时，即，时，
所以，即，
当，，即，时，，
当，，即，时，，
所以，
当，，即，时，，
当，，即，时，，
所以，
当，，即，时，，
当，，即，时，，
所以，
当，，即，时，，
当，，即，时，，
，
依此类推，作出函数的图象，如图所示：

由图象知：，（5），
当时，，
因为对任意，，都有，
则，解得：，
故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
13．（5分）已知随机变量服从正态分布，，若，则　0.6　．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】因为，所以，
又，所以，
所以．
故答案为：0.6．
14．（5分）已知函数，则在点，处的切线方程为 　　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】函数，，
，又，
所求切线方程为，即；
故答案为：．
15．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若，，的面积为，则的周长是 　　．
【考点】正弦定理
【解析】因为，
所以由正弦定理可得，
又，的面积为，可得，，
所以由余弦定理可得，
所以的周长．
故答案为：．
16．（5分）某电视台鉴宝栏目迎来一件清代老银方斗型挂件（图，古代常用来作为女方陪嫁．该挂件佩戴起来非常漂亮，寓意“斗出斗入，日进万金”之意．其结构由长方体与正四棱台组合而成．图2是与该挂件结构相同的几何体，且，，，为上一点，且，为上一点．若，则的值为 　　；几何体外接球的表面积为 　　．

【考点】球的体积和表面积
【解析】由题意可知：面面面，
设面交平面于，交平面于，
由面面平行的性质可知，，设，

由面面平行的性质可知，，
因为，所以，
因为，所以，
而，所以，所以，所以，
因为为正方形，所以，
所以；
几何体为正四棱台，由正四棱台的对称性可知，几何体的外接球的球心必在平面上，
设的中点为，的中点为，则球心在在上，

由题意可知：，
过作垂直于．则，
由勾股定理得：，所以，
设外接球的半径为，，
由可得：，即，
解得：，所以，
几何体外接球的表面积为．
故答案为：．


三、解答题：共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（12分）2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．
（1）完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

有兴趣
没有兴趣
合计
男



女

75

合计


600
（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出3人作为冰壶运动的宣传员，设表示选出的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：．

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）根据题意得到如下列联表：

有兴趣
没有兴趣
合计
男
150
125
275
女
250
75
325
合计
400
200
600
，
有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
（2）对冰壶运动有兴趣的一共有400人，
从中抽取8人，抽到的男生人数、女生人数分别为：（人，（人，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列是：

0
1
2
3





故．
18．（12分）已知数列中，，且．记．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【考点】数列递推式；数列的求和
【解析】（1）证明：由，．
得，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，
则，
令数列的前项和为，


．
19．（12分）如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1．
（1）证明：；
（2）为的中点，点在线段上，记，求二面角的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法
【解答】（1）证明：为直径，点在圆上且不同于，点，，
又为母线，平面，
又平面，
从而，
又，平面，
又平面，．
（2）解：，圆柱的底面直径为2，
即，
又为的中点，，即四边形为正方形，，，两两相互垂直，
以为原点，分别以的方向为，，轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，

，，
，，，
，
，，
设平面的法向量为，
令，，，
易知平面的一个法向量为，
．
又由题知二面角为锐二面角，所求的余弦值为．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，抛物线，点是椭圆上的动点，点是抛物线准线上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为坐标原点），且点到直线的距离为常数，求的值．
【考点】椭圆的性质
【解析】（Ⅰ）由题意可得，，
所以，，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）设，，，，
斜边上的高为，
因为，所以，
所以，
因为到直线的距离为常数，
则为定值，
当的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则直线的斜率为，
由，可得，所以，则，
由，可得，所以，则，
所以，
由于为定值，
所以，解得，
当斜率为0时，也符合点到直线的距离为常数．
综上所述，．
21．（12分）已知函数．
（1）函数为的导函数，讨论的单调性；
（2）当时，证明：存在唯一的极大值点，且．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】（1），设，则，
①当时，，则在上单调递增，
②当时，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，，，
由（1）可知的最小值为，
而，又，
由函数零点存在定理可得存在使得，
又在上单调递减，
所以当时，，
当，时，，
故为的极大值点，
又在上单调递增，
故在上不存在极大值点，
所以存在唯一的极大值点，
又，，
，所以．
因为，
而，所以，
又为极大值，，
综上，．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）如图，在极坐标系中，已知点，曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，曲线是过极点且与曲线相切于点的圆．
（1）分别写出曲线，的极坐标方程；
（2）直线与曲线，分别相交于点，（异于极点），求面积的最大值．

【考点】简单曲线的极坐标方程
【解析】（1）已知点，曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，曲线是过极点且与曲线相切于点的圆．
所以：曲线的极坐标方程为；
曲线是过极点且与曲线相切于点的圆，整理得：，
根据，转换为极坐标方程为．
（2）由于直线与曲线，分别相交于点，（异于极点），
所以；
当时，的最大值为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（1）当时，求的解集；
（2）若的解集包含，，求实数的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】（1）当时，，
①当时，，，
，
②当时，，，
，
③当时，，，无解，
综上所述：，解集为．
（2）由题意可知当，时不等式恒成立，
当，时，恒成立，
当，时，恒成立，
当，时，恒成立，
当，时，恒成立，
，即的取值范围是，．