2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（文科）含解析（三）

2021年陕西省宝鸡市高考数学模拟检测试卷（文科）（三）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．已知集合，，，1，，若，则　　

A．0 B．1 C． D．0或1

2．某居民区有5000人自愿接种了抗病毒疫苗，其中岁的老人有1400人，岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民．在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区5000名接种疫苗的人群中抽取50人，则从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为　　

A．14 B．18 C．32 D．50

3．如图，向量　　

A． B． C． D．

4．已知实数，满足，则目标函数的最大值为　　

A．5 B．10 C．11 D．12

5．已知，则　　

A． B． C． D．或

6．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长等于8．则双曲线的离心率为　　

A． B． C．3 D．

7．执行如图所示程序框图，则输出的　　

A．501 B．642 C．645 D．896

8．若函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

9．已知数列满足：对任意，，都有成立，且前8项和为0．则该数列的首项　　

A．6 B．5 C．8 D．7

10．已知圆柱的母线长与底面的半径之比为，四边形为其轴截面，若点为上底，面圆弧的中点，则异面直线与所成的角为　　

A． B． C． D．

11．陕西关中一带流行一种纸牌叫“花花牌”，俗称“花花”，牌面纸质和扑克牌差不多，窄长条型的，宽3.5厘米，长14厘米．牌面中间画上人物或花草图案，两头则有一些黑红两色的椭圆点，像盲文，这些点的多少代表了牌面的大小．由于“花花牌”不含数字，不识字的人也可以玩，故很受百姓欢迎．相传“花花牌”与唐代流行的“骨牌”玩法颇为相似，下图给出了四张“骨牌”，请按此规律（自左向右）推测下一张“骨牌”应该是　　

A． B． C． D．

12．切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差：对任意的，，函数的最大值为，即．把使取得最小值时的直线叫切比雪夫直线，已知，，，有同学估算出了切比雪夫直线中的系数，在这个前提下，的值为　　

A． B．1 C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．　　．

14．已知为抛物线对称轴上一点，且过该点的直线与抛物线交于，两点，则直线，斜率乘积为　　．

15．圆及围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为 　　．

16．已知，的两条内角平分线，所在的直线方程分别为，，则的内切圆圆心的坐标为　　，圆的方程为　　．

三、解答题：共70分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.

17．（12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，内角满足（B），且，，求的周长．

18．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

19．（12分）某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫．据不完全统计该镇约有的人外出务工．如图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年收入（单位：千元）数据绘制的频率分布直方图．

（1）根据样本数据估计该镇外出务工人员的创收总额（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业．调查显示年收入在35千元（含35千元）以上的人中有的人愿意返乡投资创业，年收入在35千元以下的人中有的人愿意返乡投资创业，请从样本数据中完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意返乡投资创业和年收入有关”．

附：．

20．（12分）线段的长等于3，两端点，分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作斜率为的动直线，交曲线于，两点，若为曲线的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值．

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）证明：．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答若多做则按所做的第一题计分。作答时请先涂题号.[选修4-4坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，曲线与曲线相交于，两点，求．

[选修4-5不等式选讲]

23．已知函数，，且的解集为．

（1）求的值；

（2）若，，都为正数，且，证明：．

2021年陕西省宝鸡市高考数学模拟检测试卷（文科）（三）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．已知集合，，，1，，若，则　　

A．0 B．1 C． D．0或1

【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的相等

【解析】因为，则或，

解得，

故选：．

2．某居民区有5000人自愿接种了抗病毒疫苗，其中岁的老人有1400人，岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民．在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区5000名接种疫苗的人群中抽取50人，则从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为　　

A．14 B．18 C．32 D．50

【考点】分层抽样方法

【解析】某居民区有5000人自愿接种了抗病毒疫苗，其中岁的老人有1400人，岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民．

在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区5000名接种疫苗的人群中抽取50人，

则从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为：

．

故选：．

3．如图，向量　　

A． B． C． D．

【考点】向量加减混合运算

【解析】由图可知：，

故选：．

4．已知实数，满足，则目标函数的最大值为　　

A．5 B．10 C．11 D．12

【考点】简单线性规划

【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

由，得，由图可知，当直线过时，

直线在轴上的截距最大，有最大值为．

故选：．

5．已知，则　　

A． B． C． D．或

【考点】二倍角的三角函数

【解析】因为，则解得，

所以．

故选：．

6．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长等于8．则双曲线的离心率为　　

A． B． C．3 D．

【考点】双曲线的性质；圆与圆锥曲线的综合

【解析】双曲线的一条渐近线，

渐近线被圆截得的线段长等于8．圆的圆心，半径为5

可得：圆的圆心到直线的距离为：，

可得．

故选：．

7．执行如图所示程序框图，则输出的　　

A．501 B．642 C．645 D．896

【考点】程序框图

【解析】，，

第一次执行循环体，，，是；

第二次执行循环体，，，是；

第三次执行循环体，，，是；

第四次执行循环体，，，是；

第五次执行循环体，，，是；

第六次执行循环体，，，否；输出；

故输出值为642，

故选：．

8．若函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】因为，所以，

由题意知，，解得，

把代入得，切点为，

而切点也在切线方程上，于是有，解得，

所以，

令，则，即，

所以满足的的取值范围为，．

故选：．

9．已知数列满足：对任意，，都有成立，且前8项和为0．则该数列的首项　　

A．6 B．5 C．8 D．7

【考点】数列递推式

【解析】数列满足：对任意，，都有成立

所以，，，，

所有的式子相加得：，

故，

代入，

解得，

故选：．

10．已知圆柱的母线长与底面的半径之比为，四边形为其轴截面，若点为上底，面圆弧的中点，则异面直线与所成的角为　　

A． B． C． D．

【考点】异面直线及其所成的角

【解析】连接，，

是的中点，是的中点，

，又圆，，

，平面，平面，

平面，平面，，

，异面直线与所成的角为，

设，则，，，，

，

，

，．

故选：．

11．陕西关中一带流行一种纸牌叫“花花牌”，俗称“花花”，牌面纸质和扑克牌差不多，窄长条型的，宽3.5厘米，长14厘米．牌面中间画上人物或花草图案，两头则有一些黑红两色的椭圆点，像盲文，这些点的多少代表了牌面的大小．由于“花花牌”不含数字，不识字的人也可以玩，故很受百姓欢迎．相传“花花牌”与唐代流行的“骨牌”玩法颇为相似，下图给出了四张“骨牌”，请按此规律（自左向右）推测下一张“骨牌”应该是　　

A． B． C． D．

【考点】归纳推理

【解析】由图可知，第一张“骨牌”有1个白点，第二张“骨牌”有2个白点，

第三张“骨牌”的白点个数为，第四张“骨牌”的白点个数为，

据此可推测第五张“骨牌”的白点个数为，

由图可知，从第三张开始，每张“骨牌”上的点数为前两张“骨牌”的点数之和，

所以第五张“骨牌”的所有点数为．

故选：．

12．切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差：对任意的，，函数的最大值为，即．把使取得最小值时的直线叫切比雪夫直线，已知，，，有同学估算出了切比雪夫直线中的系数，在这个前提下，的值为　　

A． B．1 C． D．

【考点】函数的最值及其几何意义

【解析】当时，令，

，，，，

故，

而的最大值必然在端点处取到，

故，，

当且仅当，且与异号，即时取等号．

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．　　．

【考点】复数的运算

【解析】．

故答案为：．

14．已知为抛物线对称轴上一点，且过该点的直线与抛物线交于，两点，则直线，斜率乘积为　　．

【考点】抛物线的性质

【解析】设直线的方程为，

与抛物线方程联立，可得，

设，，，，

则，

．

故答案为：．

15．圆及围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为 　　．

【考点】几何概型

【解析】因为，则正方体的面积为1，

则，

所以质点落在阴影部分区域的概率为：．

故答案为：．

16．已知，的两条内角平分线，所在的直线方程分别为，，则的内切圆圆心的坐标为　　，圆的方程为　　．

【考点】圆的标准方程

【解析】根据题意，的内切圆圆心是三个内角角平分线的交点，

又由），的两条内角平分线，所在的直线方程分别为，，

则，解可得，则圆心的坐标为，

设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，则点、都在直线上，

易得，

设，则有，解可得：，即，

，

则直线的方程为，即，

点到直线的距离，

则圆的方程为；

故答案为：，．

三、解答题：共70分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.

17．（12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，内角满足（B），且，，求的周长．

【考点】三角函数的周期性；平面向量数量积的性质及其运算

【解析】（1），

函数的最小正周期为；

（2）设，，所对的边分别为，，，

由，得，

又为内角，故，解得，

由余弦定理可知，①，

又②，

由①②解得，，

的周长为．

18．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直

【解答】（1）证明：，，，

又，，，

，

，得，

平面，，

，平面，

平面，平面平面；

（2）解：由（1）知，

为的中点，且，，

则．

19．（12分）某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召镇政府多项并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫．据不完全统计该镇约有的人外出务工．如图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年收入（单位：千元）数据绘制的频率分布直方图．

（1）根据样本数据估计该镇外出务工人员的创收总额（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业．调查显示年收入在35千元（含35千元）以上的人中有的人愿意返乡投资创业，年收入在35千元以下的人中有的人愿意返乡投资创业，请从样本数据中完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意返乡投资创业和年收入有关”．

附：．

【考点】独立性检验

【解析】（1）由频率分布直方图知，随机抽取的100名在外务工人员的年平均收入为（千元），

所以估计该镇外出务工人员的创收总额为（千元）．

（2）由频率分布直方图知，收入在35千元（含35千元）以上的人数为人，

补充完整的列联表如下所示，

，

所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意返乡投资创业和年收入有关”．

20．（12分）线段的长等于3，两端点，分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作斜率为的动直线，交曲线于，两点，若为曲线的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值．

【考点】轨迹方程

【解答】（1）解：设，，，，

因为，①，

又，所以，，，

则有，代入①式可得，，

故曲线的方程为；

（2）证明：设直线的方程为，

由（1）可知，

联立方程组，可得，

设，，，，

则△，，

所以

，

故为定值4．

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）证明：．

【考点】利用导数研究函数的最值

【解析】（1）函数的定义域为，，

令，解得，令，解得，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为（1）；

（2）证明：由（1）可知，，即，

令，则，

，即得证．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答若多做则按所做的第一题计分。作答时请先涂题号.[选修4-4坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，曲线与曲线相交于，两点，求．

【考点】简单曲线的极坐标方程

【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为．

曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．

（2）将直线的直角坐标方程转换为参数方程为参数），代入，

得到．

故，，

所以．

[选修4-5不等式选讲]

23．已知函数，，且的解集为．

（1）求的值；

（2）若，，都为正数，且，证明：．

【考点】不等式的证明

【解答】（1）解：由可得解得，因为的解集为．

所以．

（2）证明：由（1）可知，

所以

，当且仅当时，取等号，

所以．