2023年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学一模试卷(含解析）

2023年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线，直线分别交，于点、两点，过点作交直线于点，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  计算：结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平行四边形中，添加下列条件，能判定平行四边形是菱形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，平分交于点，过点作，垂足为，已知，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若正比例函数的图象经过点，则下列各点也在该正比例函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点、、、在上，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得新抛物线的顶点恰好落在原抛物线图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  分解因式：______．

10.  如图，某人从山脚处沿坡度：的斜坡行走至处，又继续沿斜坡走米到达处，则点到的垂直距离为        米

11.  古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”如图“”，问题解决：如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接，若，，则图中阴影部分的面积和为        ．

12.  如图，点为反比例函数上的一点，过点作轴交于点，为轴上一点，，连接、，则四边形的面积为        ．

13.  如图，四边形中，，，于点，于点，若，则        ．

三、解答题（本大题共12小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组．

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
如图，已知，为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，、、、四点共线，与相交于点，，，，求证：．

19.  本小题分
“端午节”期间，百货商场为了促销，每件夹克按成本价提高后标价，后因季节关系按标价的折出售，每件以元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？

20.  本小题分
年月日卡塔尔世界杯闭幕，以下是吉祥物，足球和大力神杯现有形状大小完全相同的张卡片，背面分别印有上述图案，用编号，，来表示现将这张卡片背面朝上，洗匀放好．

从中任意抽取一个张卡片，恰好是“大力神杯”的概率为        ；
先从张卡片中随机抽取一张，记下图案后放回洗匀，再从中随机抽取一张卡片，请用“画树状图”或“列表”的方法求出抽得的张卡片图案不相同的概率．

21.  本小题分
【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角这就是光的反射定律．
【同题解决】如图小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，本板到墙的水平距离为图中点，，，在同一条直线上．
求的长；
求灯泡到地面的高度．
 

22.  本小题分
第届冬季奥林匹克运动会简称“冬奥会”于年月日在北京开幕，本届冬奥会设个大项、个分项、个小项，在全国掀起了冰雪运动的热潮，某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图：

请根据图表信息，解答下列问题：
请将频数分布直方图补充完整；
所调查学生成绩的中位数落在        组在“、、、”中选择在扇形统计图中，成绩在这一组所对应的扇形圆心角的度数为        度；
将此次竞答活动成绩在组的记为良好，在组的记为优秀，已知该校七年级共有学生名，请你根据七年级此次竞答活动的结果，估计该校七年级学生对冬奥知识掌握情况达到“良好和优秀”的总人数约为多少人？

23.  本小题分
如图，是的直径，点是直径上不与，重合的一点，过点作，且，连接交于点，在上取一点，使．
求证：是的切线；
当是的中点时，，求的长．

24.  本小题分
某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为．
建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线第一象限的解析式及点坐标；
实际施工时，经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．

25.  本小题分
综合与实践
【问题提出】
如图，点为上一点，点为外一点，点、点在直线的同侧，则与的大小关系为：        填“”、“”、“”．
【问题探究】
如图，已知线段，点为上一点，且，，过点作直线于点，经过、两点的恰好与相切于点，连接、，求．
【问题解决】
我们把摄像头拍摄某一线段时，拍摄视角最大时拍摄点的位置称为“鹰眼点”，此时视角的余弦值称为“鹰眼值”．
如图，在四边形中，为一个导轨，为一段铁轨，，米，米，米，摄像头从点出发沿导轨滑动拍摄铁轨，求摄像头到达“鹰眼点”时的移动距离及“鹰眼值”．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义解决此题．
本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图所示，
直线，
，
，
，
又，
，
．
故选：．
首先利用平行线的性质得到，然后利用得到，最后利用角的和差关系求解．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出的度数．
 

3.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
根据单项式乘多项式的乘法法则解决此题．
本题主要考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
故选：．
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判定，即可求得答案．
此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，平分，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
，
，
，
即，
解得：，
在中，，
．
故选：．
由角平分线的定义可得，结合垂直，可求得，并由可求得的长度，再由，可求得的长度，利用勾股定理可求得的长，即可求．
本题主要考查解直角形，勾股定理，解答的关键是由已知条件求得的长度．
 

6.【答案】 

【解析】解：设正比例函数解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，
，
正比例函数解析式为
A.当时，，选项A不符合题意；
B.当时，，选项B不符合题意；
C.当时，，选项C符合题意；
D.当时，，选项D不符合题意．
故选：．
由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出正比例函数解析式，代入各选项中点的横坐标，求出值，再将其与纵坐标比较后，即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示，

，
．
，
．
在中，
，
．
，
．
故选：．
连接，可得是直角三角形，利用圆周角定理可得，在中，，利用三角函数可求出的长．
本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
把二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得新抛物线的解析式为，
即，
新抛物线的顶点坐标为，
新抛物线的顶点恰好落在原抛物线图象上，
，
解得．
故选：．
根据平移的法则，先求出平移后的新抛物线的顶点坐标，再把新抛物线顶点坐标代入原抛物线解析式即可求出的值．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
由题意可得：，
设米，则米，
在直角三角形中，
，
则，
解得：，
故米，
故答案为：．
直接利用坡角的定义设米，则米，进而利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，正确运用勾股定理是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：作于，交于如图：

则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，
同得：，
，，
，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
根据矩形的性质和三角形面积得到，则，，即可求解．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证出．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，
轴，
轴，，
，
，
四边形的面积．
故答案为：．
连接，得到和的面积的关系，然后结合反比例函数的比例系数的几何意义求得的面积，从而可得答案．
本题考查了平行线的性质和判定、反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是应用平行线间的距离处处相等得到和的面积的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点，交的延长线于点，如图，
，
．
，，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
．
在和中，
，
≌，
，．
，
．
，
．
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，交的延长线于点，利用四边形的内角和定理得到，从而得到，利用全等三角形的判定定理和性质定理得到≌，≌，利用全等三角形的面积相等，得到，再利用，，列出等式即可求得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，过点作于点，交的延长线于点，构造全等三角形是解题的关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
由得，
由得，
不等式组的解集为． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：



． 

【解析】先算除法，再算减法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：作的垂直平分线交于点，如图，
则点为所作．
 

【解析】作的垂直平分线交于点，则，所以．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”证明≌，即可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：设这批夹克每件的成本价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：这批夹克每件的成本价是元． 

【解析】设这批夹克每件的成本价是元，根据打折后每件的售价为元，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：从中任意抽取一个张卡片，恰好是“大力神杯”的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽得的张卡片图案不相同的结果有种，
抽得的张卡片图案不相同的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽得的张卡片图案不相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：由题意可得：，
则∽，
，
即，
解得：，
答：的长为；

，
，
光在镜面反射中的反射角等于入射角，
，
又，
∽，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为． 

【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出的长；
根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：本次知识竞答共抽取七年级同学名，
则组的人数为名，
频数分布直方图补充完整如下：

把名学生成绩从小到大排列，第和个数均在组，所以所调查学生成绩的中位数落在组；
在扇形统计图中，成绩在这一组所对应的扇形圆心角的度数为：．
故答案为：；；
人，
答：估计该校七年级学生对冬奥知识掌握情况达到“良好和优秀”的总人数约为人．
由组人数及其所占百分比可得七年级学生的总人数，根据四个分组人数之和等于总人数求出组人数，即可将频数分布直方图补充完整；
根据中位数的定义可得所调查学生成绩的中位数落在组；用乘以组人数所占比例即可；
用样本估计总体，即用乘样本中达到“良好和优秀”的比例即可．
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
 

23.【答案】证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，，
∽，
，

，
． 

【解析】连接，由垂直得，同圆半径相等推，再由已知条件推，等量代换的的角从而证出是的切线；
由是的直径，得角，由中点定义得线段相等，进一步用勾股定理求线段长，再用三角形相似求比例线段从而求出的长．
本题考查了勾股定理、切线的判断，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些定理性质的熟练应用，、相似三角形的判定是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：由题意可知，抛物线在第一象限的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
将代入得，，
解得，
抛物线的解析式为：；
令，得，，
解得舍或，
；
抛物线形水柱形状不变，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，
将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点，
设平移后的抛物线的解析式为，
将代入解析式得，，
解得，
当时，，
调整后水管的最大长度米． 

【解析】由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为：，将代入得，求出的值即可；
根据抛物线形水柱形状不变，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，可知抛物线的形状不变，对称轴不变，只是将抛物线向下平移且过，设平移后的抛物线的解析式为，将代入解析式求出，再令求出即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：设与交于点，连接，如图，

，，
．
故答案为：；
连接，，，过点于点，如图，

，，
平分，
．
，
．
为的切线，
．
，，
四边形为矩形．
，
，
，
，
，
．
．
；
作线段的垂直平分线，交于点，交于点，过，，三点作圆，如图，

则点为为“鹰眼点”，理由：
在上取一点，连接，交圆于点，连接，，
，，
，
即摄像头到达点时，拍摄视角最大．
，，，
四边形为矩形，
米，米，
米．
是线段的垂直平分线，
米．
过点作于点，
，
，
，
．
．
．
摄像头到达“鹰眼点”时的移动距离米，“鹰眼值”为．
设与交于点，连接，利用三角形的外交的性质和圆周角定理解答即可；
连接，，，过点于点，利用等腰三角形的三线合一的性质和圆周角定理得到，利用切线的性质和矩形的判定定理与性质定理得到；利用垂径定理得到的长度，则，利用勾股定理求得的长度，利用直角三角形的边角关系定理可得，则结论可求；
作线段的垂直平分线，交于点，交于点，过，，三点作圆，利用中的方法得到点为“鹰眼点”，利用矩形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，得到，的长度，利用勾股定理求得，是长度；过点作于点，利用三角形的面积公式求得线段的长度，再利用勾股定理和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，矩形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．