2023年广东省珠海市香洲区凤凰中学中考数学一模试卷(含解析）

2023年广东省珠海市香洲区凤凰中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4.  在英语听说模拟测试中，名男生的成绩如下：，，，，，，，则这组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知是关于的方程的一个根，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线直线与相交于点，连接，若，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形若，，与地面垂直且，则灯顶到地面的高度为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知抛物线的对称轴为直线，且过点给出下列结论：；；；其中，正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  不等式组的解集是        ．

12.  若关于的方程有实数根，则的取值范围是______．

13.  某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，可转动转盘一次，并根据所转结果付账其中不打折的概率为______ ．

14.  如图，已知，含角的直角三角板的顶点在直线上，若，则等于        ．

15.  在中，，，，点、分别在边、上，且，，将绕点旋转至，点、分别对应点、，当、、三点共线时，则的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，点，，，在同一直线上，，，求证：．

18.  本小题分
如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限求点的坐标．

19.  本小题分
本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，将目标效果测试中第二类选考项目足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

学校参加本次测试的人数有        人，参加“排球垫球”测试的人数有        人，“篮球运球”的中位数落在        等级；
今年参加体育中考的人数约为万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由；
学校准备从“排球垫球”和“篮球运球”较好的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生演示动作，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．

20.  本小题分
年是农历癸卯年兔年，兔子生肖挂件成了热销品某商店准备购进，两种型号的兔子挂件已知用元购进型号兔子挂件的数量和用元购买型号兔子挂件的数量相等，且型号兔子挂件比型号兔子挂件每件贵元．
该商店购进，两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
该商店计划购进，两种型号的兔子挂件共件，且，两种型号的兔子挂件每件售价分别定为元，元假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过元，则型号兔子挂件至少要购进多少件？

21.  本小题分
如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点交于点且满足．
求证：直线是的切线；
若，求的长．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，是直线下方抛物线上一动点，连接，分别交和对称轴于点、其中，是方程组的解．
求抛物线的解析式；
求的最大值；
连接，是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，把纸片展平，得到折痕；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，根据以上操作，当点在上如图时，       
迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接对角线与、分别交于点、，连接当点在上如图时，判断线段与的位置关系，并说明理由；
拓展应用
在的探究中，改变点在上的位置，当点在线段上时如图，若正方形的边长为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
四个数中，最小的数是，
故选：．
依据比较有理数大小的方法判断即可．
本题主要考查的是比较有理数的大小，熟练掌握比较有理数大小的法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可以表示得：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
故选：．
直接利用关于原点对称点的性质求出，的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：个数据中，出现的次数最多，
这组数据的众数是．
故选：．
找到出现次数最多的数据，即为众数．
本题考查众数．熟练掌握众数是出现次数最多的数据，可能不唯一，是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
旋转角是的整数倍，
这个角的度数可以是，
故选：．
根据图形的对称性，用除以计算即可得解．
本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
 

6.【答案】 

【解析】解：将代入方程，可得，
．
；
故选：．
满足方程利用整体代入的思想解决问题；
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

7.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
是线段的垂直平分线，
设与的交点为，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据题意可知：是线段的垂直平分线，所以，再判断出，于是．
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于点，
由题意可知：，
在中，
，
，
点到地面的高度为：，
，
，
故选：．
连接，延长交于点，由题意可知：，然后利用锐角三角函数的定义可求出的长度．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，．

，，
，
，
的长，
故选：．
连接，，证明，可得结论．
本题考查弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，，与轴交于正半轴，，
于是有：，因此正确；
抛物线与轴有两个不同交点，因此，正确，
由，得，因此不正确，
由对称轴，抛物线与轴的一个交点为，对称性可知另一个交点为，因此，
由时，，则，
所以，即，故正确，
综上所述，正确的结论有，
故选：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴、轴的交点，综合进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的图象与系数的关系是正确判断的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
首先分别计算出两个不等式的解集，再根据同大取大确定不等式组的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，解得：；
当时，此方程是一元二次方程，
关于方程有实根，
，解得，
由和得，的取值范围是．
故答案为：．
由于的取值不确定，故应分此时方程化简为一元一次方程和此时方程为二元一次方程两种情况进行解答．
本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分和两种情况进行讨论．
 

13.【答案】 

【解析】解：其中不打折的概率为；
故答案为：．
根据概率的计算方法，可得答案．
本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
根据平行线的性质可得出的度数，再根据三角形外角关系即可求得的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是掌握三角形外角的性质，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，当点在线段上，

，，，
，，
将绕点旋转至，
，，
，
，且，
四边形是平行四边形，且，
四边形是矩形，
，
如图，当点在线段的延长线上，

，
点，点，点，点四点共圆，
，
，，
≌，
，且，
，
，
综上所述：或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是本题的关键．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，可证．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

18.【答案】解：一次函数图象与轴相交于点，
，解得，
一次函数为，
把点代入得，，
，
，
四边形是菱形，
，，
． 

【解析】利用待定系数法求得一次函数的解析式，然后求得点的坐标，利用勾股定理求得，由菱形的性质得出，，即可求得点的坐标为．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】    良好 

【解析】解：参加“篮球运球”测试的人数有人，
学校参加本次测试的人数有人．
参加“排球垫球”测试的人数有人．
“篮球运球”的个数据按从小到大排列后，第个数据落在“良好”等级，
“篮球运球”的中位数落在良好等级．
故答案为：；；良好．
能估计今年全市选择“篮球运球”的考生人数．
万人，
今年全市选择“篮球运球”的考生大约会有万人．
设两名男生和两名女生分别记为，，，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽取到一名男生和一名女生的结果有：，，，，，，，，共种，
恰好抽取到一名男生和一名女生的概率为．
求出“篮球运球”的学生人数，用“篮球运球”的学生人数除以其所占的百分比可得参加本次测试的人数；根据扇形统计图求出“排球垫球”的百分比，再乘以参加本次测试的人数可得参加“排球垫球”测试的人数；根据中位数的定义可得答案．
根据用样本估计总体，用万乘以扇形统计图中“篮球运球”的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽取到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法、中位数的定义以及用样本估计总体是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：设型号兔子挂件每件进价元，则型号兔子挂件每件进价元，
根据题意得：，
解得，
，
答：型号兔子挂件每件进价元，则型号兔子挂件每件进价元；
设购进型号兔子挂件件，则购进型号的兔子挂件件，
则，
解得，
答：型号兔子挂件至少要购进件． 

【解析】设型号兔子挂件每件进价元，则型号兔子挂件每件进价元，根据用元购进型号兔子挂件的数量和用元购买型号兔子挂件的数量相等，解方程即可；
设购进型号兔子挂件件，则购进型号的兔子挂件件，根据两种挂件利润之和大于列出不等式，解不等式即可．
本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出不等式和方程．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，
，
设，，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据垂直定义可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质，可得，从而可得，进而可得，即可得证；
因为，得，所以，由，设，，由得∽，所以，即可得的值．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

22.【答案】解：解方程组得：，
故抛物线的表达式为：；

对于，当时，，即点，
令，则或，
即点、的坐标分别为：、，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
分别过点、作轴的平行线分别交于点、，

当时，，即，
设点，则点，
则，
轴，
∽，
，
，故有最大值，
当时，的最大值为：；

存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点，
由点、、的坐标得：，，，
当是斜边时，则，
解得：或，
即点的坐标为：或；
当是斜边时，则，
解得：，
即点；
当为斜边时，则，
解得：，
即点，
综上，点的坐标为：或或或． 

【解析】解方程组组即可求解；
证明∽，则，即可求解；
分、、是斜边三种情况，列出等式求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．此题综合性较强，中等难度，是一道很好的试题．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

对折矩形纸片，使与重合，
，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，，
，，
≌，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，，
；
正方形的边长为，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
由可知，，
，
．
由折叠的性质可得，可得是等边三角形，可得，即可求解；
由“”可证≌，可得，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解；
通过证明∽，可得，由勾股定理可求，的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．