南京市联合体学校2023中考一模数学试卷

这是一份南京市联合体学校2023中考一模数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年南京市联合体学校中考一模数学试题
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1. 9的算术平方根是（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A B. C. D.
3. 下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. 球体 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱
4. 若，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若一组数据2，3，4，5，x方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. 如图，是由经过轴对称得到的，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ）

A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7. 计算：________； ________．
8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
9. 某粒子直径约为0.000 000 21米，用科学记数法表示0.000 000 21是_____________．
10. 计算的结果是________．
11. 分解因式的结果是_____________．
12. 设、是方程两个根，且，则________．
13. 若函数（k为常数，且）过点，当时，y的取值范围是__________．
14. 如图，在正六边形中，，顺次连接、、、、、的中点、、、、、，则六边形的周长是________．

15. 如图，在平面直角坐标系中，过、的直线绕点B逆时针旋转，交x轴于点C，则点C的坐标为__________．

16. 如图，四边形中，，E是的中点，过点E作交于F，则的长为__________．

三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17. 计算．



18. 解不等式组，并写出它的正整数解．




19. “科技兴国”，科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要．调查某科技企业五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表：
年研发成本

2018年年利润率
年份
利润率
2018年

2019年

2020年

2021年

2022年


（1）2022年度该企业总成本是 亿元；
（2）求该企业五年以来的年平均研发成本；
（3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论．

20. 某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100 m比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组．
（1）甲分到A组的概率为 ；
（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．



21. 如图，在¨ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝5，BC＝7，则AC＝ 时，四边形AECF为正方形．




22. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.

（1）在图①中，作的角平分线；
（2）在图②中，在边上找一点D，使得．



23. 如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）







24. 某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．
（1）当甲售价提高x元，乙的售价为 元；（用含x的代数式表示）
（2）当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？










25. 二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）已知点，若该函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．


























26. 如图，在中，，E为上一点，作，与交于点F，经过点A、E、F的与相切于点D，连接、、．

（1）求证；
（2）若，求的长．





















27. 概念引入
定义：平面直角坐标系中，若点满足：，则点P叫做“复兴点”．例如：图①中的是“复兴点”．

（1）在点，，中，是“复兴点”的点为 ；
初步探究
（2）如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合．

深入探究
（3）若反比例函数的图像上存在4个“复兴点”，则k的取值范围是 ．
（4）若一次函数的图像上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的k的取值范围．
答案与解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1. 9的算术平方根是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：9的算术平方根是3，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方要先把每个因式乘方，再把所得的积相乘是解题的关键．
3. 下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. 球体 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】根据简单几何体的三视图进行逐一判断即可．
【详解】解：A、球三视图都为相同的圆，故此选项符合题意；
B、圆柱主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为圆，故此选项不符合题意；
C、三棱锥的三视图如下所示：

故此选项不符合题意；
D、三棱柱的正视图为一个矩形里面有一条竖直的实线，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，理解几何体的特征并熟知三视图的定义是解题的关键．
4. 若，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对不等式进行适当的放缩，即可得到答案．
【详解】解：，，，
．
故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数的大小常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5. 若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用方差定义判断即可．
【详解】5，6，7，8，9，这组数据的平均数为7，方差为；
数据2，3，4，5，x的方差比这组数据方差大，则有，
当时，2，3，4，5，2的平均数为3.2，方差为，不满足题意；
当时，2，3，4，5，4的平均数为3.6，方差为，不满足题意；
当时，2，3，4，5，6的平均数为4，方差为，不满足题意；
当时，2，3，4，5，8的平均数为4.4，方差为，满足题意．
故选：D
【点睛】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键．
6. 如图，是由经过轴对称得到的，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ）

A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可．
【详解】解：先将平移，使和，和重合，然后所得的三角形沿线段的垂直平分线翻折，即可得到；
先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着的垂直平分线翻折，最后将所得的三角形沿着的垂直平分线翻折，即可得到．
而两次平移，两次旋转都不能将变换得到．
故选：C．
【点睛】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7. 计算：________； ________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】根据绝对值的性质和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解：；，
故答案为：3；．
【点睛】本题考查了绝对值的性质和负整数指数幂的运算法则，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零，是解题的关键．
9. 某粒子的直径约为0.000 000 21米，用科学记数法表示0.000 000 21是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学计数法的表示形式进行解答即可 ．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用科学计数法表示较小的数，一般形式为，，n为整数，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定．
10. 计算的结果是________．
【答案】2
【解析】
【分析】先化简二次根式，然后根据二次根式的加法和除法计算法则求解即可．
【详解】解：


，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确计算是解题的关键．
11. 分解因式的结果是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
12. 设、是方程的两个根，且，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值．
【详解】解：∵、是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两根时，， ．
13. 若函数（k为常数，且）过点，当时，y的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出反比例函数解析式为：，即可得反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，问题随之得解．
【详解】∵函数过点，
∴，，
∴反比例函数解析式为：，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，
当时，，
∵，
∴，
∴y的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据函数解析式判断出反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，是解答本题的关键．
14. 如图，在正六边形中，，顺次连接、、、、、的中点、、、、、，则六边形的周长是________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作于点M，先说明六边形为正六边形，然后根据等腰三角形的性质，三角函数求出，即可得出周长．
【详解】解：连接，过点作于点M，如图所示：

∵六边形为正六边形，
∴，，
∵、为、的中点，
∴，
同理可得：，，，，，
∵六边形为正六边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴六边形的周长是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用，三角形中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，求出．
15. 如图，在平面直角坐标系中，过、的直线绕点B逆时针旋转，交x轴于点C，则点C的坐标为__________．

【答案】
【解析】
【分析】设直线与轴的交点为点，过点作于点，先利用待定系数法求出直线的函数解析式为，从而可得，设点的坐标为，则，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据等腰三角形的判定可得，由此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，设直线与轴交点为点，过点作于点，

设直线的函数解析式为，
将点、代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
当时，，解得，
，
，
，，
，，
设点的坐标为，则，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
直线绕点逆时针旋转，交轴于点，
，
又，
，
，即，
解得，
则点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、旋转的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
16. 如图，四边形中，，E是的中点，过点E作交于F，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】过点E作于点H，过点D作于点G，过点A作于点P，则，可得四边形是矩形，设，则，证明，可得，在中，根据勾股定理可得，再证得是梯形的中位线，可得，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作于点H，过点D作于点G，过点A作于点P，则，

∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∵，E是的中点，
∴，即，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】把分子、分母因式分解，进行约分；先算括号里，再把除法变成乘法计算即可．
【详解】解：



【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是能够对分式进行约分．
18. 解不等式组，并写出它的正整数解．
【答案】原不等式组的解集为－1≤x＜3，正整数解有：1，2．
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出解集内的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，得x≥－1，
解不等式②，得x＜3．
∴原不等式组的解集为－1≤x＜3，
正整数解有：1，2．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
19. “科技兴国”，科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要．调查某科技企业五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表：
年研发成本

2018年年利润率
年份
利润率
2018年

2019年

2020年

2021年

2022年


（1）2022年度该企业总成本是 亿元；
（2）求该企业五年以来的年平均研发成本；
（3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论．
【答案】（1）17 （2）亿元
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）用2022年研发成本除以研发成本占总成本的百分比可得；
（2）根据算术平均数的定义求解可得；
（3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，即可．
【小问1详解】
解：2022年度该企业总成本是亿元；
故答案为：17
【小问2详解】
解：（亿元）．
答：该企业五年以来的年平均研发成本为亿元
【小问3详解】
解：①该企业2022年的总成本为17亿元，2022年的利润率是，
所以2022年的利润是亿元；
②该企业近五年的研发成本分别是亿元、亿元、2亿元、亿元、亿元，年利润率分别是，
可以看出增加研发成本短期会使得年利润率下降，但是长期能使得年利润率大幅上升．
【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、算术平均数，解题的关键是学握根据扇形统计图和条形统计图得出解题所需数据及算术平均数的求法．
20. 某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100 m比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组．
（1）甲分到A组的概率为 ；
（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求出甲分到A组的概率；
（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.
【详解】解：（1）
（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)＝．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．
21. 如图，在¨ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝5，BC＝7，则AC＝ 时，四边形AECF为正方形．

【答案】（1）见解析；（2）3或4．
【解析】
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形可得AD∥BC，进而可得∠1＝∠2，再根据EF垂直平分AC可得AF＝CF，AE＝CE，进而可得∠2＝∠3，再根据四边相等的四边形是菱形作出判定；
（2）当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC＝，根据勾股定理列出方程求得x的值，进而得AC的长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，
∵AE＝CE，EF⊥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝CE＝CF，
∴四边形AECF是菱形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，
则∠AEB＝90°，
设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC＝，
在Rt△ABE中，，
∴，
解得，，
∴AC＝或，
故答案为：3或4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的判定以及勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
22. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.

（1）在图①中，作的角平分线；
（2）在图②中，在边上找一点D，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）延长构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知的角平分线过等腰三角形底边的中点，找出底边中点P与点A连接即可；
（2）设网格边长为1，如图，取格点、、，连接交网格于，连接，交网格于，连接交于，可得，根据可得，根据相似三角形的性质结合网格特征作出即可得答案．
【小问1详解】
解：如图，点射线即为所求；
【小问2详解】
解：设网格边长为1，如图，取格点、、，连接交网格于，连接，交网格于，连接交于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴如图，点D即为所求；

【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23. 如图，河流的两岸互相平行，河岸上A、B两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸的C处测得，然后沿河岸走了120米到达D处，测得．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）

【答案】160米
【解析】
【分析】过点A作于点E，过点B作于点F ，设米，则米，再证得四边形是矩形，可得米，米，从而得到米，在中，根据锐角三角函数可得，即可求解．
【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F ．

在中，，
∵，
∴．
设米，则米．
∵
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米．
在中，，
∵，
∴，解得： ．
∴（米）．
答：河流的宽度为160米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
24. 某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．
（1）当甲的售价提高x元，乙的售价为 元；（用含x的代数式表示）
（2）当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？
【答案】（1）
（2）甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元
【解析】
【分析】（1）先计算甲的售价提高后乙的销售数量，再计算乙的售价；
（2）设甲零食的售价提高x元时，将两种商品的利润相加，可得方程，解之即可．
【小问1详解】
解：当甲的售价提高x元，
乙的售价为：；
【小问2详解】
设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，
由题意得，，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
25. 二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）已知点，若该函数图象与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）或或

【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图象经过点，可得，可得抛物线解析式为，当时，可得，即可求解；
（2）先求出抛物线与x轴，y轴的坐标，顶点坐标，然后分三种情况：当抛物线的顶点在线段上时；当时；当时，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵二次函数的图象经过点．
∴，
∴，
∴抛物线解析式，
当时，，
∵
∴，
解得：，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点；
【小问2详解】
解：由（1）抛物线与x轴的交点为，，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，
当抛物线的顶点在线段上时，如图，

∵点，
∴，
解得：；
当时，如图，

此时有，解得：；
当时，如图，

此时有，解得：；
综上所述，a的取值范围为或或．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
26. 如图，在中，，E为上一点，作，与交于点F，经过点A、E、F的与相切于点D，连接、、．

（1）求证；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）24
【解析】
【分析】（1）连接，与交于点，根据切线的性质和垂径定理，易得，根据平行，得到，进而推出，再根据，即可得到；
（2）根据，求出的长，利用，得到，设设，则，可得：，利用，列式求出的值，即可得解．
【小问1详解】
解：连接，与交于点．

∵与相切于点，
∴，即．
∵，
∴．
∴．
又经过圆心O，
∴．
∴，
即平分．
∵，
∴．
又，
∴．
又∵，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，即．
∵，
∴．
同理．
∴，即．
∵，
∴，
设，则，
∴．
又，
∴．解得，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
27. 概念引入
定义：平面直角坐标系中，若点满足：，则点P叫做“复兴点”．例如：图①中的是“复兴点”．

（1）在点，，中，是“复兴点”的点为 ；
初步探究
（2）如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合．

深入探究
（3）若反比例函数的图像上存在4个“复兴点”，则k的取值范围是 ．
（4）若一次函数的图像上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的k的取值范围．
【答案】（1）A，B；
（2）见解析 （3）或
（4）当时，复兴点的个数为0；当或时，复兴点的个数为1；当或或时，复兴点的个数为2
【解析】
【分析】（1）根据“复兴点”的定义判断即可；
（2）分，，，四种情形讨论即可；
（3）分，两种情形讨论即可；
（4）先判断一次函数的图像经过定点，然后分别求出一次函数的图像经过（2）中点M，N，P，Q时的k值，最后结合图像解答即可．
【小问1详解】
解：根据题意，对而言，，故点A是“复兴点”；
对而言，，故点B是“复兴点”；
对而言，，故点C不是“复兴点”；
故答案为：A，B；
【小问2详解】
解：当时，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∴，
∴，
∴；
画图如下：
【小问3详解】
解：当时，
∵反比例函数的图像上存在4个“复兴点”，
∴反比例函数的图像与，的图像各有两个交点，
联立方程组，，
化简得，，
∴，
解得，
∴；
当时，
解：当时，
∵反比例函数的图像上存在4个“复兴点”，
∴反比例函数的图像与，的图像各有两个交点，
联立方程组，，
化简得，，
∴，
解得，
∴；
综上，当或时，反比例函数的图像上存在4个“复兴点”；
【小问4详解】
解：当时，，
∴一次函数的图像经过定点，
当一次函数的图像经过（2）中函数图像的点时，
，解得；
当一次函数图像经过（2）中函数图像的点时，
，解得；
当一次函数的图像经过（2）中函数图像的点时，
，解得；
当一次函数的图像经过（2）中函数图像的点时，
，解得，
如图，
，
结合函数图像可知：当时，复兴点的个数为0；
当或时，复兴点的个数为1；
当或或时，复兴点的个数为2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图像等，理解题意，学会寻找特殊点解决问题是解题的关键．