2023年山东省陵城区德州市江山实验学校九年级第一次练兵模拟数学练习

这是一份2023年山东省陵城区德州市江山实验学校九年级第一次练兵模拟数学练习，共33页。

山东省德州市江山实验学校2023年九年级第一次练兵模拟练习数学
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）在实数﹣4，7，﹣，，0.131131113…中，有理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（4分）下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣1）2023＝﹣2023 B．﹣32＝9
C． D．（a3）2＝a6
4．（4分）有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差为，则ab的值是（　　）
A．48 B．50 C．64 D．68
6．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）

A．28° B．38° C．52° D．42°
7．（4分）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（　　）

A． B．20tan37° C． D．20sin37°
8．（4分）如图，点P是反比例函数y＝图象上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，若△POD的面积为m，则函数y＝mx﹣1的图象为（　　）

A． B．
C． D．
9．（4分）为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的30%．设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
11．（4分）如图，已知正方形的顶点A（2，0），C（0，2），D是AB的中点，以顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OC，OD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为（　　）

A．（4﹣，2） B．（3﹣，2） C．（，2） D．（﹣1，2）
12．（4分）如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点E在BC延长线上，CE＝BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点P，记△BEF的面积为S，若S＝+12，则△CEP的面积是（　　）

A．2+2 B．2﹣2 C．+2 D．﹣2
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）将数字4040000用科学记数法表示为 　 　．
14．（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
15．（4分）一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球、1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是 　 　．
16．（4分）已知x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两根，则的值为 　 　．
17．（4分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I，过点I的直线分别与AB，AC边相交于点M，N，若△AMN是直角三角形，则线段CN的长为 　 　．

18．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 　 　．

三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（8分）（1）计算：．
（2）化简：．
20．（10分）某校为了七、八、九年级学生对“创建文明城市”知识的掌握情况，从七、八、九年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．九年级成绩频数分布直方图
b．九年级成绩在70≤x＜80这一组的是：71 73 74 74 75 75 76 76 76 77 78
c．七、八、九年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
75.9
77
八
77.2
78.5
九
77.5
m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，九年级在70分以上的有 　 　人；
（2）表中m的值为 　 　；
（3）在这次测试中，七年级学生甲、八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校九年级学生有450人，假设全部参加此次测试，请估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数．

21．（10分）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣4），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．

22．（12分）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
23．（12分）如图，以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作DG⊥AC于点G，延长CA交⊙O于点E，连接DE，交AB于点F．
（1）求证：DG是圆O的切线；
（2）若EA＝EF＝1，求圆O的半径．

24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．

25．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°．P，Q分别是AC，CD上的动点，且满足，E是射线AD上一点，AP＝EP，设DQ＝x，AP＝y．

（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当△PQE中有一条边与AC垂直时，求DQ的长．
（3）如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F．连结FQ，以FQ，PQ为边作平行四边形PQFG．
①当GF所在直线经过点D时，求平行四边形PQFG的面积；
②当点G在△ABC的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围．

山东省德州市江山实验学校2023年九年级第一次练兵模拟练习数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）在实数﹣4，7，﹣，，0.131131113…中，有理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据有理数的定义进行解答即可．
【解答】解：有理数有：﹣4，7，三个数，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的定义，解题的关键是熟记整数与分数统称有理数．
2．（4分）下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】题目中的四个图形都是轴对称图形，据此即可作出判断．
【解答】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对称图形的性质，正确理解题目中各个图形之间的关系是解题关键．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣1）2023＝﹣2023 B．﹣32＝9
C． D．（a3）2＝a6
【分析】根据有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A．（﹣1）2023＝﹣1，故本选项不符合题意；
B．﹣32＝﹣9，故本选项不符合题意；
C．＝2，故本选项不符合题意；
D．（a3）2＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方等知识点，能熟练掌握有理数的乘方，算术平方根和幂的乘方是解此题的关键，①（am）n＝amn，②当a≥0时，＝a．
4．（4分）有一个几何体如图所示，该几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示．
【解答】解：从上面可看，左上有一条横向的实线．
∴俯视图是
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键．
5．（4分）某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差为，则ab的值是（　　）
A．48 B．50 C．64 D．68
【分析】根据某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．这组数据的平均数为8，方差为，可以列出关于a、b的方程组，然后求出a、b的值，即可得到ab的值．
【解答】解：∵某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．这组数据的平均数为8，方差为，
∴，
解得，
∴ab＝64，
故选：C．
【点评】本题考查算术平均数、方差，解答本题的关键是明确算术平均数和方差的计算方法．
6．（4分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）

A．28° B．38° C．52° D．42°
【分析】根据垂直的定义可得∠COE＝90°，根据平角的定义求解即可．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣52°＝38°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线的定义、平角的定义等知识点，根据图形明确各角的关系是解题的关键．
7．（4分）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（　　）

A． B．20tan37° C． D．20sin37°
【分析】直接利用正弦定义求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝37°，BC＝20米，
∵tanC＝，
∴AB＝20tan37°．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握在直角三角形中，正弦等于对边比斜边、余弦等于邻边比斜边、正切等于对边比邻边是解答本题的关键．
8．（4分）如图，点P是反比例函数y＝图象上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，若△POD的面积为m，则函数y＝mx﹣1的图象为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义，求出m的值等于1，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点（0，﹣1）（1，0），即可确定选项．
【解答】解：设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限且在函数y＝的图象上，
∴S△POD＝×2＝1，即m＝1．
∴一次函数y＝mx﹣1的解析式为：y＝x﹣1，
∴一次函数的图象是经过点（0，﹣1），（1，0）的直线．
故选：A．
【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特点及一次函数的图象，解答此题的关键是根据反比例函数系数k的几何意义求出m的值，再根据一次函数解析式确定一次函数的图象与坐标轴的交点．
9．（4分）为守住国家耕地底线，确保粮食安全，某地区积极相应国家“退林还耕”号召，将该地区一部分林地改为耕地，改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的30%．设改变后耕地面积为x亩，林地面积为y亩，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，林地面积是耕地面积的30%”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵改变后，耕地面积和林地面积共有2000亩，
∴x+y＝2000；
∵改变后，林地面积是耕地面积的30%，
∴y＝x•30%．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】先根据SAS证出△AED≌△CED，可得∠EAD＝∠ECD，根据正方形的对角线性质以及∠BCE＝70°可求∠BEC的度数，再根据三角形外角与内角的关系可求∠ECD的度数，最终可求出∠EAD的度数．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故选：C．
【点评】本题主要考查正方形对角线平分对角的性质，解题的关键还需要借助三角形外角与内角的关系，再灵活运用三角形全等进行转化．
11．（4分）如图，已知正方形的顶点A（2，0），C（0，2），D是AB的中点，以顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OC，OD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为（　　）

A．（4﹣，2） B．（3﹣，2） C．（，2） D．（﹣1，2）
【分析】延长AB交射线OG于点I，由勾股定理可得OD，由∠DOI＝∠DIO可得DI，进而可得IB，由△COH∽△BIH，可得＝，再解关于CH的分式方程便可解答．
【解答】解：如图，延长AB交射线OG于点I，

∵正方形的顶点A（2，0），C（0，2），
∴AO＝OC＝AB＝BC＝2，∠A＝90°，AB∥OC，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD＝1，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝，
由题意可得：AG平分∠COD，
∴∠COG＝∠IOD，
∵AB∥OC，
∴∠COG＝∠DIO，
∴∠DIO＝∠IOD，
∴DI＝DO＝，
∴BI＝﹣1，
∵AB∥OC，
∴△COH∽△BIH，
∴＝，
∴＝，
解得CH＝﹣1．
经检验CH＝﹣1是原分式方程的解，且符合题意，
∴H（﹣1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，坐标与图形性质，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识；根据相似三角形的性质列方程是解题关键．
12．（4分）如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点E在BC延长线上，CE＝BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点P，记△BEF的面积为S，若S＝+12，则△CEP的面积是（　　）

A．2+2 B．2﹣2 C．+2 D．﹣2
【分析】如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA＝b，OB＝a．首先利用全等三角形的性质求出D、C两点坐标，再证明a＝b，再构建方程求出a、k，再求出直线EF的解析式，利用方程组确定点P坐标即可解决问题；
【解答】解：如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA＝b，OB＝a．

∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
易证△AOB≌△BNC≌△DMA，
∴DM＝OA＝BN＝b，AM＝OB＝CN＝a，
∴D（b，a+b），C（a+b，a），
∵点C，D恰好都落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴b（a+b）＝a（a+b），
∵a+b≠0，
∴a＝b，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝45°，∠EBF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵BC＝EC，
∴可得E（3a，2a），F（5a，0），
∴×4a×2a＝+12，
∵D（a，2a），
∴2a2＝k，
∴a＝2，k＝8，
∴E（6，4），F（10，0），
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+10，
由，解得或，
∴p（5+，5﹣），
∴PE＝﹣，
∴S△ECP＝•EC•EP＝•（﹣）×2＝2﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象的点的特征，正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）将数字4040000用科学记数法表示为 　 　．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：4040000＝4.04×106，
故答案为：4.04×106．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．
14．（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出1﹣3x≥0，再求出答案即可．
【解答】解：要使在实数范围内有意义，必须1﹣3x≥0，
解得：x≤．
故答案为：x．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中a≥0是解此题的关键．
15．（4分）一个不透明的袋子中装有3个小球，其中2个红球、1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是 　 　．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：从袋子中随机摸出一个小球共有3种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有2种结果，
∴摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
16．（4分）已知x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两根，则的值为 　 　．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得到的值．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两根，
∴，x1+x2＝﹣3，
∴
＝2﹣3x1+2x1﹣x2
＝2﹣x1﹣x2
＝2﹣（x1+x2）
＝2﹣（﹣3）
＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的解，合并同类项，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．
17．（4分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I，过点I的直线分别与AB，AC边相交于点M，N，若△AMN是直角三角形，则线段CN的长为 　 　．

【分析】先由勾股定理证明∠ACB＝90°，再分两种情况：①当∠ANM＝90°时，②当∠AMN＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：∵AC2+BC2＝42+32＝25，AB2＝52＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
分两种情况：①当∠ANM＝90°时，过点I作ID⊥CD于D，IE⊥AB于E，连接AI，

∵∠ACB＝∠INC＝∠IDC＝90°
∴四边形IDCN为矩形，
∵CI平分∠ACB，ID⊥CD，IN⊥AC，
∴ID＝IN，
∴四边形IDCN为正方形，
∴CD＝CN，
∵IB平分∠ABC，
∴∠IBD＝∠IBE，
在△IBD与△IBE中，
，
∴△IBD≌△IBE（AAS），
∴BD＝BE，
同理可得AE＝AN，
∴2CN＝CN+CD＝AC﹣AN+BC﹣BD＝AC﹣AE+BC﹣BE＝AC+BC﹣（AE+BE）＝AC+BC﹣AB＝4+3﹣5＝2，
∴CN＝1；
②当∠AMN＝90°时，过点I作ID⊥CD于D，IE⊥AC于E，连接AI，

由（1）可得CE＝IE＝IM＝ID＝1，
∴AE＝AM＝AC﹣CE＝4﹣1＝3，
∵∠AMN＝∠IEN＝90°，∠ANM＝∠INE
∴△AMN∽△IEN
∴，即，
解得：，，
∴．
综上，线段CN的长为1或，
故答案为：1或．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，角平分线的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 　 　．

【分析】如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．证明△ADF≌△TBE（SAS），推出AF＝ET，AE+AF＝AE+ET，根据AE+ET≥AT求解即可．
【解答】解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，
∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，
∴△ADF≌△TBE（SAS），
∴AF＝ET，
∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，
∴AT＝＝＝，
∴AE+AF＝AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥，
∴AE+AF的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（8分）（1）计算：．
（2）化简：．
【分析】（1）先利用负整数指数幂及算术平方根的意义、计算乘方和开方，再化简绝对值和计算乘法，最后算加减；
（2）按同分母分式加减法法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝﹣
＝
＝
＝m+2．
【点评】本题考查了实数的混合运算和分式的加减，掌握实数的运算法则、运算顺序及分式的加减法法则是解决本题的关键．
20．（10分）某校为了七、八、九年级学生对“创建文明城市”知识的掌握情况，从七、八、九年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．九年级成绩频数分布直方图
b．九年级成绩在70≤x＜80这一组的是：71 73 74 74 75 75 76 76 76 77 78
c．七、八、九年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
75.9
77
八
77.2
78.5
九
77.5
m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，九年级在70分以上的有 　 　人；
（2）表中m的值为 　 　；
（3）在这次测试中，七年级学生甲、八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校九年级学生有450人，假设全部参加此次测试，请估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数．

【分析】（1）由九年级成绩频数分布直方图即可计算出人数；
（2）把数据按大小排列，中间两位数是第25、26两个数据，分别为76、77，则可求得中位数m；
（3）根据两位同学所在年级的中位数即可作出判断；
（4）由样本估计总体，求得九年级成绩超过平均数77．（5分）所占的百分比，即可求得．
【解答】解：（1）在这次测试九年级在70分以上（含70分）的有11+15+8＝34（人）；
故答案为：34；
（2）九年级50人成绩的中位数按从小到大排列是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为76、77，
∴
故答案为：76.5；
（3）甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩高于中位数7，
所以其名次在该年级抽查的学生数的25名及以前，
八年级学生乙的成绩小于中位数78．其名次在该年级抽查的学生数的26名及以后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数为（人）．
答：估计九年级成绩超过平均数77.5分的人数是216人．
【点评】本题考查频率分布直方图，统计图表的综合，考查了平均数、中位数及众数，根据中位数作出判断，样本估计总体等知识，读懂图表是解题的关键．
21．（10分）如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣4），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．

【分析】（1）将D（2，﹣4）代入，即可求出反比例函数解析式；根据点B为AD的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点D（2，﹣4），求出B点坐标为（0，﹣2），再利用待定系数法即可作答；
（2）联立，求出C的坐标（﹣4，2）．再利用即可作答；
（3）根据图象，数形结合即可作答．
【解答】解：（1）将D（2，﹣4）代入，
得：，
解得k2＝﹣8，
即反比例函数解析式为：；
∵点B为AD的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点D（2，﹣4），
∴B点坐标为（0，﹣2），
将B（0，﹣2）、D（2，﹣4）代入一次函数y1＝k1x+b，
得：，
解得：，
即一次函数解析式为：y1＝﹣x﹣2；
（2）∵B（0，﹣2），
∴OB＝2，
联立，
解得，，
即C的坐标（﹣4，2）．
又∵D（2，﹣4），
则△COD的面积是，
即所求面积为6；
（3）y1＞y2时自变量x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围，如图，

结合图象可得：x＜﹣4或者0＜x＜2．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出点C的坐标是解（2）（3）的关键．
22．（12分）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
【分析】（1）设第一次购进了这种服装x件，根据关键描述语“第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元”列出方程并解答；
（2）设销售价为t元/件，则每天销售量为（件），根据利润，销售数量以及销售价格的关系列出方程并解答．
【解答】解：（1）设第一次购进了这种服装x件，
由题意可得：．
解之得x＝200，经检验x＝200是方程的解，并符合题意．
则48000÷200＝240．
答：第一次购进了这种服装200件，每件进价240元；
（2）设销售价为t元/件，则每天销售量为：（件）．
则由题意可得：（t﹣250）×（680﹣2t）＝3600，
整理，得t2﹣590t+86800＝0，
解得t1＝280，t2＝310．
∵让利促销，
∴t2＝310（舍去），取t1＝280．
答：销售价定为280元/件．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程．
23．（12分）如图，以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作DG⊥AC于点G，延长CA交⊙O于点E，连接DE，交AB于点F．
（1）求证：DG是圆O的切线；
（2）若EA＝EF＝1，求圆O的半径．

【分析】（1）如图所示，连接OD，先根据等边对等角证明∠C＝∠ODB，即可证明OD∥AC，再由DG⊥AC，得到DG⊥OD，由此即可证明DG是圆O的切线；
（2）如图所示，连接AD，先根据等边对等角得到∠EFA＝∠EAF，再由平行线的性质推出∠DOF＝∠DFO，则OD＝FD，设OD＝OA＝FD＝r，则DE＝r+1，再证明∠E＝∠C，得到CD＝DE＝r+1；又三线合一定理得到BD＝CD＝r+1，进一步证明∠BFD＝∠BDF，得到BF＝BD＝r+1，则AF＝r﹣1，OF＝1；证明△ODF∽△AEF，得到，解得，则圆O的半径为．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，

∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴DG⊥OD，
又∵OD为半径，
∴DG是圆O的切线；

（2）解：如图所示，连接AD，

∵EF＝EA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥AE，
∴∠DOF＝∠EAF，
又∵∠DFO＝∠EFA，
∴∠DOF＝∠DFO，
∴OD＝FD，
设OD＝OA＝FD＝r，
∴DE＝FD+EF＝r+1，
∵∠B＝∠E，∠B＝∠C，
∴∠E＝∠C，
∴CD＝DE＝r+1，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝r+1，
又∵∠BFD＝∠EFA，∠EAF＝∠BDF，∠EFA＝∠EAF，
∴∠BFD＝∠BDF，
∴BF＝BD＝r+1，
∴AF＝AB﹣DF＝r﹣1，
∴OF＝1；
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，即，
解得，
∴圆O的半径为．
【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．

【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）作点B关于对称轴对称的点B′，连接B′C交对称轴于一点即为Q；
（3）当△PCD与△ACO相似时，则△PCD∽△CAO或△PCD∽△ACO，故分分类讨论即可：①若△PCD∽△CAO，则∠PCD＝∠CAO，可推出点P的纵坐标与点C的纵坐标相同，由点P为AC上方抛物线上的动点，得关于x的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若△PCD∽△ACO，则∠PCD＝∠ACO，＝，过点A作AC的垂线，交CP的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴于点H，判定△GAC∽△PDC，△GHA∽△AOC，由相似三角形的性质得比例式，解得点G的坐标，从而可得直线CG的解析式，求得直线CG与抛物线的交点横坐标，再代入直线CG的解析式求得其纵坐标，即为此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）存在，如图：因为A，B关于对称轴对称，AC与对称轴的交点即为所求：

由（1）可知，对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣，C（0，2），
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴AC所在直线解析式为：y＝x+2，
令x＝﹣，y＝×+2＝，
∴Q（﹣，）；
（3）∵点A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
在抛物线y＝﹣x2﹣x+2中，当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
∴AC＝＝＝2．
∵PD⊥AC，
∴∠PDC＝90°＝∠AOC，
∴当△PCD与△ACO相似时，则△PCD∽△CAO或△PCD∽△ACO，
①若△PCD∽△CAO，则∠PCD＝∠CAO，

∴CP∥AO，
∵C（0，2），
∴点P的纵坐标为2，
∵点P为AC上方抛物线上的动点，
∴2＝﹣x2﹣x+2，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣3，
∴此时点P的坐标为（﹣3，2）；
②若△PCD∽△ACO，则∠PCD＝∠ACO，＝，
∴＝＝2，
过点A作AC的垂线，交CP的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴于点H，如图：

∵PD⊥AC，GA⊥AC，
∴GA∥PD，
∴△GAC∽△PDC，
∴，
∴＝2，
∵GA⊥AC，GH⊥x轴，
∴∠GAC＝∠GHA＝90°，
∴∠AGH+∠GAH＝90°，∠GAH+∠CAO＝90°，
∴∠AGH＝∠CAO，
∵∠GHA＝∠AOC＝90°，
∴△GHA∽△AOC，
∴，
即，
∴GH＝8，AH＝4，
∴HO＝AH+OA＝8，
∴G（﹣8，8），
设直线CG的解析式为y＝﹣x+2，
令﹣x+2＝﹣x2﹣x+2，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣，
把x＝﹣代入y＝﹣x+2得：y＝﹣x+2＝﹣×（﹣）+2＝，
∴此时点P的坐标为（﹣，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣3，2）或（﹣，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、“一线三直角“模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．
25．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°．P，Q分别是AC，CD上的动点，且满足，E是射线AD上一点，AP＝EP，设DQ＝x，AP＝y．

（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当△PQE中有一条边与AC垂直时，求DQ的长．
（3）如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F．连结FQ，以FQ，PQ为边作平行四边形PQFG．
①当GF所在直线经过点D时，求平行四边形PQFG的面积；
②当点G在△ABC的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）利用∠ACB＝30°，AB＝4得到AC＝2AB＝8，求出CP＝8﹣y，代入比例即可得到函数解析式；
（2）分情况：（ⅰ）当PQ⊥AC时，（ⅱ）当QE⊥AC时，（ⅲ）由∠AEP＝∠CAD＝30°，得PE不可能垂直于AC，依次分析求解；
（3）①由DG∥PQ，得到，得CQ＝4﹣2＝2，PF＝FC﹣CP＝．过点Q作QH⊥PC，则．利用S平行四边形PQFG＝2S△FQP求出答案；②当点G落在AB边上时，证明△AFG≌△CQP，得AF＝CP，即，求得．当点G落在BC边上时，作QN∥AD交AC于点N，作NM⊥AD于点M，得△QNF≌△GCP，即，求得，即可得到x的取值范围．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝4．
∵∠ACB＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8．
∵AP＝y，
∴CP＝8﹣y．
∵，
∴．
∴．

（2）（ⅰ）当PQ⊥AC时，
∵DQ＝x，AP＝y，
∴CQ＝4﹣x，CP＝8﹣Y．
∵，
∴，
解得，即．
（ⅱ）当QE⊥AC时，
延长EQ交AC于点H．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠ACD＝80°．
∵AP＝PE，
∴∠EPA＝2∠EAC＝60°，
∴△KPC是等边三角形．
∴，
∴．
在Rt△DEK中，，
在Rt△DEQ中，，
∴，即，
解得x＝2，即DQ＝2．

（ⅲ）∵∠AEP＝∠CAD＝30°，
∴∠APE＝120°，
综上，DQ的值为或2；
∴PE不可能垂直于AC．
（3）当x＝4时，，即，
∴．
①在平行四边形PQFG中，DG∥PQ，
∴，即＝，
解得x＝2，
∴CQ＝4﹣2＝2，PF＝FC﹣CP＝．
过点Q作QH⊥PC，则．
∴S平行四边形PQFG＝2S△FQP＝PF•QH＝．

②．
提示：当点G落在AB边上时，

∵FG∥QP，
∴∠GFP＝∠QPF，
∴∠AFG＝∠QPC．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA．
∵FG＝PQ，
∴△AFG≌△CQP（AAS）．
∴AF＝CP，即，
解得．
当点G落在BC边上时，

作QN∥AD交AC于点N，作NM⊥AD于点M，
则MN＝DQ＝x，QN∥BC，
∴AN＝2x，NF＝．∠QNF＝∠BCP，
∵四边形PQFG是平行四边形，
∴QF＝PG，∠QFP＝∠GPF，
∴∠QFN＝∠GPC，
∴△QNF≌△GCP（AAS），
∴NF＝CP，即，
解得，
∴．
【点评】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，求函数解析式，综合掌握各知识点是解题的关键．
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