云南省曲靖市重点中学2023届高三下学期教学质量监测（五）数学试卷(含答案)

云南省曲靖市重点中学2023届高三下学期教学质量监测（五）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，.则(   )

A. B. C. D.

2、已知复数z在复平面内对应的点为，则(   )

A. B. C. D.

3、下列说法正确的是(   )

A.将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，平均数和方差都不变

B.设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强

C.在一个列联表中，由计算得的值，则的值越小，判断两个变量有关的把握越大

D.若，，则

4、中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，，则该曲池的体积为(   )

A. B. C. D.

5、将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为(   )

A. B.2 C.3 D.

6、某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有(   )

A.72种 B.81种 C.144种 D.192种

7、已知双曲线的左、右焦点分别为，，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为(   )

A. B. C. D.

8、设，，则(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列选项中正确的是(   )

A.若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为

B.设向量，，若，共线，则

C.若，，则在方向上的投影向量的坐标为

D.若平面向量，满足，则的最大值是5

10、过点的直线l与圆交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且，则(   )

A.的最小值为 B.面积的最大值为

C.面积的最大值为8 D.的最小值为

11、如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是(   )

A.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段

B.存在点Q，使得平面

C.当且仅当点Q落在处时，三棱锥的体积最大

D.若，那么点Q的轨迹长度为

12、已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则(   )

A.是偶函数

B.

C.当A，B是锐角的内角时，

D.当，且，时，

三、填空题

13、若，则_________.

14、已知AB是圆锥底面圆的直径，圆锥的母线，，则此圆锥外接球的表面积为__________.

15、已知，则函数的最大值为__________.

16、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则_____________；设点M是抛物线C上的任意一点，点N是C的对称轴与准线的交点，则的最大值为_________.

四、解答题

17、设为数列的前n项和，且满足：.

(1)设，证明是等比数列；

(2)求.

18、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.且.

(1)求B；

(2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长度.

19、如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点，平面与棱交于点E.

(1)求证；

(2)若平面平面，，判断在线段AC上是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由.

20、北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；

(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X为选出“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望；

(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试?

21、在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设曲线C的左、右两个顶点分别为，，T为直线上的动点，且T不在x轴上，直线与C的另一个交点为M，直线与C的另一个交点为N，F为曲线C的左焦点，求证：的周长为定值.

22、已知函数(，e为自然对数的底数)，.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)若不等式对，恒成立，求实数b的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：因为，，

所以或，所以.

故选B.

2、答案：A

解析：因为复数z在复平面内对应的点为，

所以，则，

所以.

故选：A.

3、答案：D

解析：对于A，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，但平均数变化，故A错误，

对于B，具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，故B错误，

对于C，在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量有关的把握越大，故C错误，

对于D，，

.故D正确.

4、答案：D

解析：设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，

弧AD长度是弧BC长度的3倍，，即，

，解得：，，

该曲池的体积.故选：D.

5、答案：B

解析：函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，

则，

又因为在上为增函数，

所以，且，

解得：，故的最大值为2.

故选：B.

6、答案：D

解析：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，

若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，

由间接法可知，满足条件的排法种数为种.

故选：D.

7、答案：C

解析：设，则点M位于第四象限，

由双曲线定义知：，；

设过点且与l平行的直线的倾斜角为，则，，

；

在中，由余弦定理得：，

即，整理可得：，.故选：C.

8、答案：A

解析：设.

因为，

所以当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以当，且时，，即.

所以，，所以最小，

又因为，所以.综上可知，.

故选：A.

9、答案：BCD

解析：A选项，由，以及，可得，则，即，又，所以夹角.

对于B，因为，，且，共线，

则解得.所以B正确.

C选项，在方向上的投影向量为

，故C正确，

对于D，因为，所以

，

所以的最大值是5，所以D正确.

10、答案：ABD

解析：即，圆心，半径，在圆C内，，

设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得，

，，故A正确；

，当时，，故B正确，C错误，

取MN的中点E，则，又，则，

点E的轨迹是以为圆心，半径为3的圆.

因为，且，

所以的最小值为，故D正确.

故选：ABD.

11、答案：ACD

解析：取、中点E、F，连接、、、，由且知是平行四边形，

，平面，平面，

平面，同理可得平面，

，

平面平面，则Q点的轨迹为线段EF，A选项正确；

如图，建立空间直角坐标系，则，，，

设，，，则，，.

设为平面的一个法向量，

则即得.取，则.

若平面，则，即存在，使得，则，

解得，故不存在点Q使得平面，B选项错误；

的面积为定值，当且仅当Q到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大.

，

①，，则当时，d有最大值1；

②，，则当时，d有最大值；

综上，当，即Q和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确；

平面，，

，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确.

故选：ACD.

12、答案：BCD

解析：令，则，所以为奇函数，故A错误.

令，得，故B正确.

任取，且，则.

因为，

所以，所以.

因为，，所以，，

即在上单调递增.

因为A，B是锐角的内角，所以，所以，

所以.

因为，，所以，故C正确.

因为，且，所以.

令，则，

令，则，所以.

因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故D正确.

故选：BCD.

13、答案：34

解析：依题意，

令，得，

令，得.

故.

14、答案：

解析：如图所示，连接PO，则，解得，

即，此圆锥外接球的球心为O，半径为2，表面积为.

15、答案：

解析：，，

令，

因为，所以，

所以，所以，

所以，对称轴，

所以在单调递增，

所以当时，，

即当，时，有最大值.故答案为：.

16、答案：；

解析：设过点的直线l为，，，

联立方程消去x得，可得，

，则可得：，可得，解得，

过点M作准线的垂线，垂足为D，则可得，

若取到最大值即最小，此时直线MN与抛物线C相切，

，即，则，

设，则切线斜率，切线方程为，

切线过，代入得，解得，即，

则，，即

则的最大值为，

故答案为：；.

17、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)因为①，

故②，

②-①可得.

整理可得，即，().

因为，.故是等比数列.

(2)当时，，解得，又，

.

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)因为，

由正弦定理，可得，

即，

所以.

因为，所以，即.

因为，所以，

所以，即.

(2)法一：因为点D在AC边上，满足，

所以，

所以，

因为，，，

所以，

即，解得，即.

法二：由已知得，设，.

，

，

，即①，

又，

，即，

由方程①②解得，即.

19、答案：(1)证明见解析

(2)上不存满足题意的点，理由见解析

解析：(1)，且平面，平面，

平面，又平面，且平面平面，

；

(2)连结，取AC中点O，连结，，

在菱形中，，

是等边三角形，又O为AC中点，，

平面平面，

平面平面，平面，且，

平面，平面，，

又，，

以点O为原点，，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

假设存在点D，满足题意，设，

，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，则，，

故，

设平面的法向量为，

，，

，，令，则，，故，

，解，

所以点D在点C的位置时，平面与平面所成锐角为.

由于D不与A、C重合，故上不存满足题意的点.

20、答案：(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

(3)至少要进行11轮测试

解析：(1)由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，

参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，

其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，

且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，

记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，

“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，

则，，

所以.

(2)参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0，1，2，3，

所以，，

，，

所以X的分布列如下表：

所以.

(3)记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C，

则，

由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，

由题意列式，得，

因为，所以n的最小值为11，故至少要进行11轮测试.

21、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为，

由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.

动圆P与圆内切，且与圆外切，

，

动圆P的圆心的轨迹C是以，为焦点的椭圆，设其方程为：，

其中，，，，从而轨迹C的方程为：.

(2)由题意可知，，，设，，

如图所示，直线的方程为，直线的方程为，

联立方程，消去y得，，即，

则，

，

联立方程，消去y得，

，即，

则，

，，

直线MN的方程为，

即，，

故直线MN过定点，所以的周长为定值8，

当时，，或，，

过焦点，此时的周长为定值，

综上所述，的周长为定值8.

22、答案：(1)

(2)实数a的取值范围为

(3)实数b的取值范围为

解析：(1)，，，，

又，在处的切线方程为.

(2)有两个零点，关于x的方程有两个相异实根，

，，有两个零点即有两个相异实根.

令，则，

得，得，

在单调递增，在单调递减，

，又，

当时，，当时，，当时，，

有两个零点时，实数a的取值范围为；

(3)，，所以，

原命题等价于对一切恒成立，

对一切恒成立，

令，，

，令，，

则，在上单增，

又，，

使，即①，

当时，，即在递减，

当时，，即在递增，，

由(1)知，

，

函数在单调递增，

即，

，，

实数b的取值范围为.