第7章 平面图形的认识（二）（压轴30题专练）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第7章平面图形的认识（二）（压轴30题专练）

一．选择题（共8小题）
1．如果一个正多边形的一个内角是140°，那么这个正多边形的边数是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：设这个正多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝140°•n，
解得n＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．
2．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中四边形ACED的面积为（　　）

A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定
【分析】根据平移的基本性质，及三角形的面积公式可知．
【解答】解：根据题意，△ABC沿着BC方向平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
又平移距离是边BC长的两倍，即BE＝2BC＝2CE，
连接AE，
∴S△ABC＝S△ACE，即S△ABE＝2S△ABC，
又S△ABE＝S△ADE，又S△ABC＝12cm2，
∴S四边形ACED＝3S△ABC＝36cm2．
故选：B．

【点评】本题结合图形的平移考查三角形面积的有关知识．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且相等的性质．
3．如图，直线l1∥l2，AB与直线l1垂直，垂足为点B，若∠ABC＝37°，则∠EFC的度数为（　　）

A．127° B．133° C．137° D．143°
【分析】根据垂线的性质以及“两直线平行，同位角相等”可以推知∠EFC的补角∠BFG的度数，进而可以求得∠EFC的度数．
【解答】解：∵AB与直线l1垂直，垂足为点B，∠ABC＝37°，
∴∠CBD＝90°﹣∠ABC＝53°；
又∵直线l1∥l2，
∴∠CBD＝∠BFG＝53°（两直线平行，同位角相等），
∴∠EFC＝180°﹣∠BFG＝127°；
故选：A．

【点评】本题考查了平行线的性质、垂线的性质．本题通过相交线、垂线、角平分线的组合图形来检查同学们观察、分析图形的能力．
4．如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠ECD＝70°，∠E的大小是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据平行线的性质，三角形外角和定理解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠EAB＝70°，
∵∠1是△ABE的一个外角，
∴∠1＝∠EAC+∠E＝110°，
∴∠E＝110°﹣70°＝40°．
故选：B．
【点评】解答此题要用到以下知识：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）两直线平行，同位角相等．
5．在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（　　）

A．先向下移动1格，再向左移动1格
B．先向下移动1格，再向左移动2格
C．先向下移动2格，再向左移动1格
D．先向下移动2格，再向左移动2格
【分析】根据题意，结合图形，由平移的概念求解．
【解答】解：根据平移的概念，图形先向下移动2格，再向左移动1格或先向左移动1格，再向下移动2格．结合选项，只有C符合．
故选：C．
【点评】本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后物体的位置．
6．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题需先分别求出S△ABD，S△ABE再根据S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE即可求出结果．
【解答】解：∵S△ABC＝12，
EC＝2BE，点D是AC的中点，
∴S△ABE＝＝4，
S△ABD＝＝6，
∴S△ABD﹣S△ABE，
＝S△ADF﹣S△BEF，
＝6﹣4，
＝2．
故选：B．

【点评】本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键．
7．用三个边长相等的不同的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x，y，z，则++的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．
【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，
已知正多边形的边数为x、y、z，
那么这三个多边形的内角和可表示为：++＝360，
两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣＝2，
两边都除以2得，++＝．
故选：C．
【点评】解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．
8．如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动（　　）

A．8格 B．9格 C．11格 D．12格
【分析】根据题意，结合图形，求得结果．注意正确的计数，查清方格的个数．
【解答】解：如图所示：将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，
至少需要移动4+3+2＝9格．
故选：B．

【点评】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
二．填空题（共14小题）
9．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝　36　度．

【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
10．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　4　．

【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】方法1
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案为4．
方法2
设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②
由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积＝△BGD的面积＝△CGD的面积，△AGF的面积＝△AGE的面积＝△CGE的面积．
11．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积　7　．

【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1＝S△ABC＝1，
S△A1AB1＝S△ABB1＝1，
∴S△A1BB1＝S△A1AB1+S△ABB1＝1+1＝2，
同理：S△B1CC1＝2，S△A1AC1＝2，
∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝2+2+2+1＝7．
故答案为：7．

【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
12．如图，一块试验田的形状是三角形（设其为△ABC），管理员从BC边上的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体转过　360　°．

【分析】根据题意，管理员转过的角度正好等于三角形的外角和，然后根据三角形的外角和等于360°进行解答．
【解答】解：∵管理员走过一圈正好是三角形的外角和，
∴从出发到回到原处在途中身体转过360°．
故答案为：360．
【点评】本题主要考查了三角形的外角和等于360°，判断出走过一圈转过的度数等于三角形的外角和是解题的关键．
13.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为　7　．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝2×360°+180°，
n＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角，熟记多边形的内角和公式与外角和定理是解题的关键，需要注意，任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．
14．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为　1　．

【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE计算即可得解．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△AEC＝S△ABC＝×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△ACD＝S△ABC＝4，
∴S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE＝4﹣3＝1，
即S1﹣S2的值为1．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．
15．小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此反复，小林共走了108米回到点P，则角α的度数为　40°　．

【分析】先求出多边形的边数，再利用多边形的外角和求出答案即可．
【解答】解：∵108÷12＝9，
∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个九边形，
∴α＝360°÷9＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．
16．一个机器人从点O出发，每前进1米，就向右转体a°（1＜a＜180），照这样走下去，如果他恰好能回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于　120　．
【分析】根据多边形的外角和等于360°，用360°÷a°，所得最小整数就是多边形的边数，然后再求出a即可．
【解答】解：根据题意，机器人所走过的路线是正多边形，
∴边数n＝360°÷a°，
走过的路程最短，则n最小，a最大，
n最小是3，a°最大是120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查了多边形的外角与边数的关系，判断出机器人走过的路线是正多边形并知道边数最少的多边形是三角形是解题的关键．
17．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是　n2+2n　．

【分析】第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n2+2n．
【解答】解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，
…
第 n个是n•（n+2）＝n2+2n
故答案为：n2+2n．
【点评】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．
18．如图所示，已知O是四边形ABCD内一点，OB＝OC＝OD，∠BCD＝∠BAD＝75°，则∠ADO+∠ABO＝　135　度．

【分析】由线段相等可得相应的角相等，那么可得∠CDO＝∠DCO，∠OCB＝∠OBC，可得这四个角的和；根据四边形ABCD的内角和为360°减去已知角的度数即为所求的度数．
【解答】解：∵OB＝OC＝OD，
∴∠CDO＝∠DCO，∠OCB＝∠OBC，
∵∠DCO+∠BCO＝75°，
∴∠CDO+∠DCO+∠OCB+∠OBC＝150°，
∴∠ADO+∠ABO＝360°﹣∠BAD﹣（∠CDO+∠DCO+∠OCB+∠OBC）＝135°．
故答案为：135．
【点评】用的知识点为：等边对等角；四边形的内角和为360°．
19．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝　25　度．

【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB＝AD＝DC可得∠DAC＝∠C，易求解．
【解答】解：∵∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，
∴∠ABD＝∠ADB＝50°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC＝180°﹣∠ADB＝130°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝（180°﹣∠ADC）＝25°，
∴∠C＝25°．
【点评】此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解．
20．如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则有∠BEC＝　95　度．

【分析】两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，在作辅助线后，根据这两条性质即可解答．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，由平行线的传递性可得EF∥CD
∵EF∥AB，
∵∠FEB＝180°﹣∠ABE＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠FEC＝∠DCE＝35°，
∴∠BEC＝∠FEB+∠FEC＝95°．

【点评】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补及内错角相等．
21．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°+；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C＝　60°+α　；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2，…，On﹣1，如图（3），则∠BOn﹣1C＝　+　（用含n和α的代数式表示）．

【分析】根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB），在△On﹣1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线，
∴∠O2BC+∠O2CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝120°﹣α；
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α；

在△ABC中，∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵On﹣1B和On﹣1C分别是∠B、∠C的n等分线，
∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝﹣．
∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB）＝180°﹣（﹣）＝+．
故答案为：60°+α；+．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
22．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2006，最少经过　4　次操作．

【分析】根据题意分析可得：每次操作后，△CC1B1、△A1B1B、△AA1C1边长变为△ABC边长的2倍，故△A1B1C1面积变大为△ABC面积的7倍；即第n次操作后，面积变为7n；故要使得到的三角形的面积超过2006，最少经过4次操作．
【解答】解：由题意可得规律第n次操作后，面积变为7n，则7n≥2006，解得n最小为4．
故最少经过4次操作．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三．解答题（共8小题）
23．（2021•饶平县校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．
（1）∠1与∠2有什么关系，为什么？
（2）BE与DF有什么关系？请说明理由．

【分析】（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC＝180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；
（2）由互余可得∠1＝∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．
【解答】解：（1）∠1+∠2＝90°；
∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°；

（2）BE∥DF；
在△FCD中，∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠2＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠DFC，
∴BE∥DF．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
24．（2021春•常州期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　35　°；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　　；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．

【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【分析】利用三角形外角的性质，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F＝∠FBE﹣∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB．
【解答】解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝．
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝＝．
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑战：如图4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝，．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝
＝90°﹣．

【点评】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
25．（2021春•高新区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE平分∠DAC，∠B＝50°，求∠BAD和∠AEC的度数．

【分析】先由三角形内角和定理求出∠C的度数，再由直角三角形的性质即可求出∠BAD的度数；在△ADC中，由
∠ADC＝90°，∠C＝40°可得出∠DAC的度数，再由角平分线的性质即可求出∠DAE的度数，再由直角三角形的性质求出∠AED的度数，由两角互补的性质即可得出∠AEC的度数．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝40°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝40°；
在△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝40°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝25°，
在△DAE中，
∵∠ADE＝90°，∠DAE＝25°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝65°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣65°＝115°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的性质及两角互补的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
26．（2021春•嵩县期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 　15　度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．

【分析】（1）通过画图，即可求解；
（2）分①当0°＜α≤45°，45°＜α≤90°、α＞90°时3种情况，画图计算即可；
（3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC四种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC，
图形如下：

故答案为15；
（2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，
①如上图，当0°＜α≤45°时，
α+β＝90°，α+γ＝45°，
故β﹣γ＝45°；
②当45°＜α≤90°时，
同理可得：γ+β＝45°，
③当90°＜α＜180°时，
同理可得：γ﹣β＝45°；

（3）①当AD∥BC时，α＝15°，t＝3；
②当DE∥AB时，α＝45°，t＝9；
③当DE∥BC时，α＝105°，t＝21；
④当DE∥AC时，α＝135°，t＝27；
⑤当AE∥BC时，α＝150°，t＝30；
综上，t＝3或9或21或27或30．
【点评】解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏．
27．（2020春•玄武区期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）

【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣60°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝150°．
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）β＝2α﹣180°，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）
＝180°﹣（2∠2+2∠3）
＝180°﹣2（∠2+∠3）
＝180°﹣2（180°﹣α）
＝2α﹣180°；
（3）90°+m或150°．
理由如下：①当n＝3时，如下图所示：

∵∠BEG＝∠1＝m，
∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝120°，
则∠GHC＝30°，
由△GCH内角和，得γ＝90°+m．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如下图所示：

根据三角形外角定义，得
∠G＝γ﹣60°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝γ﹣60°＝90°，
则γ＝150°．
综上所述：γ的度数为：90°+m或150°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
28．（2007•青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝AD时（如图②）：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　S△PBC＝S△DBC+S△ABC　；
（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　S△PBC＝S△DBC+S△ABC．　．
【分析】（2）仿照（1）的方法，只需把换为；
（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；
（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；
（5）利用（4），得到更普遍的规律．
【解答】解：（2）∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC

（3）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；

（4）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC
问题解决：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．
【点评】注意总结相应规律，类似问题通常采用类比的方法求解．
29．（2016春•扬州校级期末）如图（1），由线段AB、AM、CM、CD组成的图形像英文字母M，称为“M形BAMCD”．
（1）如图（1），M形BAMCD中，若AB∥CD，∠A+∠C＝50°，则∠M＝　50°　；
（2）如图（2），连接M形BAMCD中B、D两点，若∠B+∠D＝150°，∠AMC＝α，试探求∠A与∠C的数量关系，并说明理由；
（3）如图（3），在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．

【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可；
【解答】解：（1）过M作MN∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，
∴∠AMC＝∠1+∠2＝∠A+∠C＝50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C＝30°+α，
延长BA，DC交于E，

∵∠B+∠D＝150°，
∴∠E＝30°，
∵∠BAM+∠DCM＝360°﹣（∠EAM+∠ECM）＝360°﹣（360°﹣∠E﹣∠M）＝30°+α；
即∠A+∠C＝30°+α；
（3）①如下图所示：

延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D＝150°，∠AMC＝α，∴∠E＝30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1＝30°+∠2
∠2＝∠3+α
∴∠1＝30°+∠3+α
∴∠1﹣∠3＝30°+α
即：∠A﹣∠C＝30°+α．
②如图所示，210﹣∠A＝（180°﹣∠DCM）+α，即∠A﹣∠DCM＝30°﹣α．

综上所述，∠A﹣∠DCM＝30°+α或30°﹣α．
【点评】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．
30．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【分析】（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED＝∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD＝∠B+∠D；
（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；
（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．
【解答】解：（1）不成立．结论是∠BPD＝∠B+∠D
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD
∴∠B＝∠BED
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D．

（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．

（3）连接EG并延长，
根据三角形的外角性质，∠AGB＝∠A+∠B+∠E，
又∵∠AGB＝∠CGF，
在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．

【点评】本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．