第08讲 乘法公式（核心考点讲与练)-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第08讲乘法公式（核心考点讲与练)

一．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
二、完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形

（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
三．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
四．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
五．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．

（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．

一．完全平方公式（共7小题）
1．（2021秋•崇川区期末）若x+4＝2y，则代数式x2﹣4xy+4y2的值为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【分析】利用配方法将原代数式转化为（x﹣2y）2，再根据已知条件求值即可．
【解答】解：∵x+4＝2y，
∴x﹣2y＝﹣4，
∴x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2＝（﹣4）2＝16．
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式以及因式分解的应用，关键是将原代数式准确配方．
2．（2021秋•通州区期末）已知（x+y）2＝18，xy＝5，则x2+y2的值为 　8　．
【分析】根据完全平方公式解决此题．
【解答】解：∵（x+y）2＝18，xy＝5，
∴x2+y2+2xy＝x2+y2+10＝18．
∴x2+y2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
3．（2021秋•大连期末）若a+b＝5，ab＝3，则a2﹣ab+b2＝　16　．
【分析】首先把等式a+b＝5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2＝25，然后根据题意即可得解．
【解答】解：∵a+b＝5，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝19，
∴a2﹣ab+b2＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查完全平方公式，解题的关键在于把等式a+b＝5的等号两边分别平方．
4．（2021秋•连江县期末）若a+＝3，则a2+＝　7　．
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【解答】解：∵a+＝3，
∴＝32
a2+2+＝9
∴＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
5．（2021春•高邮市期中）（1）已知（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，求a2+b2与ab的值；
（2）已知a+b＝8，a2b2＝9，求a2+b2的值．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形：a2+2ab+b2＝6①，a2﹣2ab+b2＝2②，①+②、①﹣②即可得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形：a2+2ab+b2＝64，ab＝±3，代入计算得出答案．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，
∴a2+2ab+b2＝6①，a2﹣2ab+b2＝2②，
∴①+②得：
a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝8，
则a2+b2＝4；
①﹣②得：
4ab＝4，
则ab＝1；
（2）∵a+b＝8，a2b2＝9，
∴（a+b）2＝64，ab＝±3，
∴a2+2ab+b2＝64，
∴a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×3＝58，或a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×（﹣3）＝70，
即a2+b2的值是58或70．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题的关键．
6．（2021秋•黄石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；
①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（2021春•仪征市期中）阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，
a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，
（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80，
解决问题：
（1）若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝2．则（50﹣x）2+（x﹣40）2＝　96　；
（2）若x满足（x﹣2021）2+（x﹣2018）2＝2000，求（x﹣2021）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为80平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　176　平方单位．

【分析】（1）设50﹣x＝a，x﹣40＝b，由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可求得结果；
（2）设x﹣2021＝a，x﹣2018＝b，由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，得ab＝可求得结果；
（3）由题意得CE＝6﹣x，CF＝10﹣x，又（6﹣x）（10﹣x）＝80，则图中阴影部分的面积和（6﹣x）2+（10﹣x）2可利用完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2变形得，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab进行计算．
【解答】解：（1）设50﹣x＝a，x﹣40＝b，由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，得
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝[（50﹣x）+（x﹣40）]2﹣2×2
＝102﹣4
＝100﹣4
＝96，
故答案为：96；
（2）设x﹣2021＝a，x﹣2018＝b，由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，得
ab＝
＝
＝
＝
＝；
（3）由题意得CE＝6﹣x，CF＝10﹣x，又（6﹣x）（10﹣x）＝80，
则由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得
a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，
∴图中阴影部分的面积和为[（6﹣x）﹣（10﹣x）]2+2×80
＝（﹣4）2+160
＝16+160
＝176，
故答案为：176．
【点评】此题考查了数形结合发理解并应用完全平方公式的能力，解题关键是能对完全平方公式变式应用．
二．完全平方公式的几何背景（共3小题）
8．（2021秋•绿园区期末）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．
（1）图2中间空白的部分的面积是 　（a﹣b）2　；
（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式 　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　；
（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．

【分析】（1）由图形面积间和差关系可得此题结果为（a﹣b）2；
（2）由图形面积间关系可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）题关系式可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，就能求得最后结果．
【解答】解：（1）由题意得，图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2，
故答案为：（a﹣b）2；
（2）由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）题关系式可得，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4
∴x﹣y＝±2，
即x﹣y的值是±2．
【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形得到整式间关系式，并能运用关系式解决新问题．
9．（2021秋•鲤城区期末）阅读理解：整体代换是一种重要的数学思想方法．
例如：计算2（2m+n）﹣5（2m+n）+（2m+n）时可将（2m+n）看成一个整体，合并同类项得﹣2（2m+n），再利用分配律去括号得﹣4m﹣2n．
（1）若已知2m+n＝2，请你利用整体思想求代数式1﹣6m﹣3n的值；
（2）一正方形边长为2m+n，将此正方形的边长增加1之后，其面积比原来正方形的面积大9，求2m+n的值．
【分析】（1）把2m+n看作一个整体，将1﹣6m﹣3n化简为1﹣3（2m+n），然后代入计算；
（2）将2m+n看成一个整体，将[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9进行求解即可．
【解答】解：（1）∵1﹣6m﹣3n＝1﹣3（2m+n），
∴当2m+n＝2时，
原式＝1﹣3×2＝1﹣6＝﹣5，
∴代数式1﹣6m﹣3n的值为﹣5；
（2）由题意得，[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9，
∴（2m+n）2+2（2m+n）+1﹣（2m+n）2＝9，
解得：2m+n＝4，
∴2m+n的值为4
【点评】此题考查了运用整体思想进行代数求解，关键是能把题目中的算式变形为能代入的整体形式．
10．（2021秋•如皋市期末）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　）

A．x+y＝8 B．x﹣y＝3 C．4xy+9＝64 D．x2+y2＝25
【分析】根据拼图可知大正方形的边长为8，小正方形的边长为3，进而得出x+y，x﹣y，x2+y2的值，对选项A、B、D作出判断，再根据面积之间的关系对选项C作出判断即可．
【解答】解：∵该图案的面积为64，小正方形的面积为9，
∴大正方形的边长为8，小正方形的边长为3，
∴x+y＝AQ+DQ＝AD＝8，因此选项A不符合题意；
x﹣y＝HP﹣EP＝HE＝3，因此选项B不符合题意；
由于一个长方形的面积为4xy，因为4个长方形的面积与小正方形的面积和为大正方形的面积，所以有4xy+9＝64，因此选项C不符合题意；
∵x+y＝8，x﹣y＝3，
∴（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝9，即x2+2xy+y2＝64，x2﹣2xy+y2＝9，
∴x2+y2＝，
因此选项D符合题意；
故选：D．

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的几个特征是正确判断的前提，用代数式表示图形的面积、边长是解决问题的关键．
三．完全平方式（共4小题）
11．（2021秋•路北区期末）已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　1或﹣1　；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可；
（2）根据题意可得（m+1）2+n2＝0，再根据实数的非负性解答即可；
（3）可得B﹣A＝（x﹣1）2+2n2+2，再根据实数的非负性解答即可．
【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：1或﹣1；

（2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；

（3）B＞A．
理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
∵（x+1）2≥0，2n2≥0，
∴（x+1）2+2n2+2＞0，
∴B＞A．
【点评】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
12．（2021秋•科左中旗期末）如果x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是（　　）
A．3 B．±6 C．6 D．±3
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴k＝±6．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（2021秋•平罗县期末）若（其中k为常数）是一个完全平方式，则k的值是　±1　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2+kx+是一个完全平方式，
∴k＝±1，
故答案为：±1
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．（2021春•宽城县期末）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝　﹣　；
（2）代数式为完全平方式，则k＝　±3　；
（3）解方程：＝6x2+7．
【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；
（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
＝﹣6÷4
＝﹣．
故答案为：﹣；

（2）
＝[x2+（3y）2]+xk•2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案为：±3；

（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
四．平方差公式（共2小题）
15．（2021秋•常宁市期末）（1﹣2x）（1+2x）的计算结果是（　　）
A．4x2+1 B．1﹣4x2 C．4x2 D．﹣4x2﹣1
【分析】根据平方差公式求出即可．
【解答】解：（1﹣2x）（1+2x）
＝12﹣（2x）2
＝1﹣4x2，
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的特点是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
16．（2021秋•崇川区期末）计算：（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）．
【分析】分别根据完全平方公式和平方差公式计算即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝9a2+6ab+b2﹣a2+b2
＝8a2+6ab+2b2．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关公式是解答本题的关键．
五．平方差公式的几何背景（共2小题）
17．（2021秋•东莞市期末）如图甲，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形如图乙，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）

A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】分别求得两幅图形中阴影部分的面积，然后依据阴影部分的面积相等可得到答案．
【解答】解：图甲的面积＝大正方形的面积﹣空白处正方形的面积＝a2﹣b2；
图乙中矩形的长＝a+b，宽＝a﹣b，图乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，依据两个图形中阴影部分面积相等求解是解题的关键．
18．（2021秋•南阳期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 　B　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算：．
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；
（2）①把9x2﹣4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把3x+2y＝6代入即可求解；
②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
∴24＝6（x﹣2y）
得：3x﹣2y＝4；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+），
＝×××××…××××，
＝×，
＝．
【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．

分层提分

题组A 基础过关练
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•林芝市期末）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　）

A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2 m+6
【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
【解答】解：依题意得，剩余部分为：
（m+3）2﹣m2＝m2+6m+9﹣m2＝6m+9，
而拼成的矩形一边长为3，
∴另一边长是（6m+9）÷3＝2m+3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．
2．（2021春•广陵区校级期中）若（a+b）2＝10，a2+b2＝4，则ab的值为（　　）
A．14 B．7 C．6 D．3
【分析】根据完全平方公式的变形公式得到：ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]．
【解答】解：∵（a+b）2＝10，a2+b2＝4，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（10﹣4）＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
3．（2021•江西模拟）如图，长方形A的周长为a，面积为b，那么从正方形中剪去两个长方形A后得到的阴影部分的面积为（　　）

A．﹣2b B．a2﹣2b C．4a2﹣2b D．（a+b）2﹣2b
【分析】设长方形A的长为m，宽为n，则2（m+n）＝a，mn＝b，由题意得从正方形中剪去两个长方形A后得到的阴影部分的面积为（）²﹣2b＝﹣2b．
【解答】解：设长方形A的长为m，宽为n，则2（m+n）＝a，mn＝b，
∴该正方形的边长为m+n＝，
∴从正方形中剪去两个长方形A后得到的阴影部分的面积为
（）²﹣2b＝﹣2b．
故选：A．
【点评】此题考查了数形结合解决数学问题的能力，关键是能根据图形找出相关数量关系进行列式计算．
4．（2021春•江都区校级期末）若二次三项式x2﹣mx+4是一个完全平方式，则字母m的值是（　　）
A．±2 B．﹣2 C．±4 D．2
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+4＝x2﹣mx+22，
∴﹣mx＝±2•x•2，
解得m＝±4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
5．（2021春•江宁区月考）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A．（x2﹣y）（x+y2） B．（x+1）（1+x）
C．（﹣a+b）（a﹣b） D．
【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．
【解答】解：选项A、（x2﹣y）（x+y2）中x2与x、y与y2分别不相等，不能运用平方差公式，故不符合题意；
选项B、（x+1）（1+x）中两项均为x+1，不能运用平方差公式，故不符合题意；
选项C、（﹣a+b）（a﹣b）中每个多项式中的两项均互为相反数，不能运用平方差公式，故不符合题意；
选项D、（a+b）（b﹣a）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．（2021春•徐州期末）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2+2ab﹣b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，其面积可表示为（a﹣b）2，也可以看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，进而得出结论．
【解答】解：阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此其面积为（a﹣b）2，
阴影部分也可以看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，即a2﹣2ab+b2，
因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．
7．（2021秋•麦积区期末）若x2+（a﹣1）x+25是一个完全平方式，则a值为（　　）
A．﹣9 B．﹣9或11 C．9或﹣11 D．11
【分析】根据完全平方公式的结构a2±2ab+b2，即可求解．
【解答】解：x2+（a﹣1）x+25＝x2+（a﹣1）x+52是完全平方式，则（a﹣1）x＝±2•x•5，
解得：a＝﹣9或11．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
8．（2021秋•江陵县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　）
A．56 B．66 C．76 D．86
【分析】利用“神秘数”定义判断即可．
【解答】解：∵76＝202﹣182，
∴76是“神秘数”，
故选：C．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2021秋•香坊区校级期末）若a﹣b＝8，ab＝2，则a2+b2的值为　68　．
【分析】利用完全平方公式，把a2+b2化为（a﹣b）2+2ab求解即可．
【解答】解：∵a﹣b＝8，ab＝2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝64+4＝68．
故答案为：68．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
10．（2020秋•朝阳区期末）如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab　．

【分析】根据图形可以得到：两个正方形的面积和有两种计算方法，一种是根据正方形的面积等于边长的平方计算；另一种方法是图形中大正方形面积减去两个长方形的面积的和，即可得到等式．
【解答】解：①两个阴影部分正方形的面积和为：a2+b2，
②两个阴影部分正方形的面积和为：（a+b）2﹣2ab，
∴可以得到等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
【点评】此题考查完全平方公式的几何背景，利用面积、边的关系建立等量关系是解决问题的关键．
11．（2021秋•丹棱县期末）若x2+mx+16是完全平方式，则m＝　±8　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【解答】解：∵x2+mx+16是完全平方式，
∴m＝±8．
故答案为：±8．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．（2021春•淮阴区期末）已知a＞0，b＞0，（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，则a+b＝　10　．
【分析】根据平方差公式得出（3a+3b）2＝900，再由a＞0，b＞0，可求出3a+3b＝30，进而求出a+b＝10．
【解答】解：∵（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，
∴（3a+3b）2﹣1＝899，
即（3a+3b）2＝900，
又∵（±30）2＝900，a＞0，b＞0，
∴3a+3b＝30，
即a+b＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是正确解答的关键．
13．（2021春•海陵区期末）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为　8a+16　．

【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：拼成的长方形的面积为（a+4）2﹣a2＝8a+16，
故答案为：8a+16．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
三．解答题（共8小题）
14．（2021•盐城一模）化简：2a（a+2b）﹣（a+2b）2．
【分析】先提取公因式a+2b，再进行运算．
【解答】解：2a（a+2b）﹣（a+2b）2
＝（a+2b）[2a﹣（a+2b）]
＝（a+2b）（2a﹣a﹣2b）
＝（a+2b）（a﹣2b）
＝a2﹣4b2．
【点评】本题主要考查平方差公式、整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．
15．（2021春•泰州期末）已知x﹣y＝3，x2+y2﹣3xy＝4．求下列各式的值：
（1）xy；
（2）x3y+xy3．
【分析】（1）第二个等式利用完全平方公式变形，把x﹣y＝3代入计算即可求出xy的值；
（2）原式提取公因式xy，利用完全平方公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵x2+y2﹣3xy＝4，
∴（x﹣y）2﹣xy＝4，
把x﹣y＝3代入得：9﹣xy＝4，
解得：xy＝5；
（2）∵xy＝5，x2+y2﹣3xy＝4，
∴x2+y2＝3xy+4＝15+4＝19，
则x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝5×19＝95．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．（2021春•建湖县月考）计算：
（1）（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x；
（2）（x﹣2y）2（x+2y）2．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法化简即可得出答案；
（2）根据积的乘方，平方差公式，完全平方公式化简即可．
【解答】解：（1）原式＝4x4+x4﹣x4
＝4x4；
（2）原式＝[（x﹣2y）（x+2y）]2
＝（x2﹣4y2）2
＝x4﹣8x2y2+16y4．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，平方差公式，完全平方公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
17．（2021秋•衡阳期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝　6　；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　17　；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．

【分析】理解题目给出得例题，再根据完全平方公式的变形应用，解决问题．
【解答】解：（1）∵x+y＝8；
∴（x+y）2＝82；
x2+2xy+y2＝64；
又∵x2+y2＝40；
∴2xy＝64﹣（x2+y2），
∴2xy＝64﹣40＝24，
xy＝12．
（2）①∵（4﹣x）+x＝4，
∴[（4﹣x）+x]2＝42
[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；
又∵（4﹣x）x＝5，
∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．
②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，
∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．
（3）由题意可得，AC+BC＝6，AC2+BC2＝18；
∵（AC+BC）2＝62，AC2+2AC•BC+BC2＝36；
∴2AC•BC＝36﹣（AC2+BC2）＝36﹣18＝18，
AC•BC＝9；
图中阴影部分面积为直角三角形面积，
∵BC＝CF
∴．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得①（4﹣x）+x＝4，②（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知选段AB+BC＝6，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到AC•BC＝9，再根据直角三角形面积公式得出答案．
18．（2020春•鼓楼区期中）要说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．
（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；
（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；
（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则解答；
（2）根据完全平方公式计算即可解答；
（3）化成边长为a+b+c的正方形，即可得出答案．
【解答】解：（1）小刚：
（a+b+c）2
＝（a+b+c）（a+b+c）
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

（2）小王：
（a+b+c）2
＝[（a+b）+c]2
＝（a+b）2+2（a+b）c+c2
＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；

（3）小丽：
如图所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，

【点评】本题考查了整式的运算法则的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，也培养了学生的动手操作能力．
19．（2019春•兴化市期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，
使A＝B2，则称A是完全平方式，例如：a4＝（a2）2，4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2．
（1）下列各式中完全平方式的编号有　①③⑤　；
①a6②x2+4x+4y2③4a2﹣2ab+b2④a2﹣ab+b2⑤x2﹣6x+9 ⑥a2+a﹣0.25
（2）若4x2+5xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，（其中m、n都是常数），求（m﹣）﹣1的值；
（3）多项式16x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的情况）
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）利用完全平方公式的结构特征确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值；
（3）利用完全平方公式的结构特征确定出所求即可．
【解答】解：（1）是完全平方式是编号有①③⑤；
故答案为：①③⑤；
（2）∵4x2+5xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，（其中m、n都是常数），
∴m＝，n＝±1，
则原式＝或；
（3）多项式16x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，
那么加上的单项式可以64x4，﹣16x2，±8x，﹣1．
【点评】此题考查了完全平方式，单项式，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20．（2021春•东海县期末）如图1，是边长分别为a和b的两种正方形纸片．
（1）若用这两种纸片各1张按照如图2方式放置，其未叠合部分（阴影部分）面积为S1，则S1＝　a²﹣b²　；（用含a，b的代数式表示）
（2）在（1）中图2的基础上，再在大正方形的右下角摆放一张边长为b的小正方形纸片（图3），两个小正方形叠合部分（阴影部分）面积为S2，试求S2．（用含a，b的代数式表示）
【分析】（1）由题意可得S1＝a²﹣b²；
（2）由题意得S2＝2b²﹣ab．
【解答】解：（1）由题意可得，
S1是图1中两个正方形面积的差，
又∵图1中大正方形的面积为a²，小正方形的面积为b²，
∴S1＝a²﹣b²，
故答案为：a²﹣b²；
（2）由题意可得，
S2是两个小正方形在长为a，宽为b的矩形内的重叠部分，
∴S2＝b²+b²﹣ab＝2b²﹣ab．
【点评】此题考查了数形结合思想解决数学问题的能力，关键是能用代数式表示相关图形的面积．
21．（2021春•金坛区月考）如图，长方形ABCD周长为140，以AB、AD为边分别向外作正方形ABEF、正方形ADGH，并且两块正方形面积和为2500，求长方形ABCD的面积．

【分析】设AB＝a，AD＝b，根据题意可得a+b＝70，a2+b2＝2500，根据（a+b）2＝a2+2ab+b2整体代入求出ab即可．
【解答】解：设AB＝a，AD＝b，则长方形ABCD的面积为ab，正方形ABEF的面积为a2，正方形ADGH的面积为b2，
∵长方形ABCD周长为140，
∴a+b＝×140＝70，
又∵两块正方形面积和为2500，
∴a2+b2＝2500，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴4900＝2500+2ab，
∴ab＝1200，
即长方形ABCD的面积为1200．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提。

题组B 能力提升练
一．填空题（共6小题）
1．（2021秋•尚志市期末）如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是　±4　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+4是一个完全平方式，
∴m＝±4，
故答案为：±4
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．（2020秋•凉州区期末）计算：（2a+3b）2＝　4a2+12ab+9b2　．
【分析】根据完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2解答即可．
【解答】解：（2a+3b）2，
＝（2a）2+2×2a×3b+（3b）2，
＝4a2+12ab+9b2．
故答案是：4a2+12ab+9b2．
【点评】本题主要考查完全平方公式：（x±y）2＝x2±2xy+y2，熟记公式结构是解题的关键．
3．（2021春•吴江区期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝12，则阴影部分的面积为　144　．
【分析】将阴影部分的面积表示为两个正方形的面积之和减去△ABD和△BFG的面积，再利用配方法将多项式变形后，整体代入即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积为：
S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BFG
＝
＝
＝
＝
＝．
∵a+b＝18，ab＝12，
∴阴影部分的面积为：＝144．
∴阴影部分的面积为 144．
故答案为：144．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正方形，等腰直角三角形，三角形的面积，利用配方法将多项式变形，利用整体代入的思想求值是解题的关键．
4．（2021•扬州）计算：20212﹣20202＝　4041　．
【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．
【解答】解：20212﹣20202
＝（2021+2020）×（2021﹣2020）
＝4041×1
＝4041
故答案为：4041．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．
5．（2020春•邳州市期中）如果a2﹣b2＝﹣1，a+b＝，则a﹣b＝　﹣2　．
【分析】根据平方差公式，即可解答．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴﹣1＝（a﹣b），
∴a﹣b＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
6．（2021春•鼓楼区期中）如图是A型卡片（边长为a的正方形）、B型卡片（长为a、宽为b的长方形）、C型卡片（边长为b的正方形）．现有4张A卡片，11张B卡片，7张C卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是　①③④　．（只填序号）
①可拼成边长为a+2b的正方形；
②可拼成边长为2a+3b的正方形；
③可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形；
④用所有卡片可拼成一个大长方形．

【分析】①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数即为各型号卡片的个数．
④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2，将此多项式因式分解即可．
【解答】①（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，要用A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片4张，
所以可拼成边长为a+2b的正方形．
②（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，要用A型卡片4张，B型卡片12张，C型卡片9张，
因为B型卡片只有11张，C型卡片只有7张，
所以不能拼成边长为2a+3b的正方形．
③（2a+4b）（2a+b）＝4a2+2ab+8ab+4b2＝4a2+10ab+4b2，
可得A型卡片4张，B型卡片10张，C型卡片4张，
所以可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形．
④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2＝（4a+7b）（a+b）．
所以所有卡片可拼长长为（4a+7b），宽为（a+b）的长方形．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结合和熟记公式是解题的关键．
二．解答题（共14小题）
7．（2021春•阜南县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．
（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；
（2）求m2+n2的值．
【分析】（1）将原式展开后，再将m+n，mn代入即可求出答案．
（2）根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）因为m+n＝6，mn＝﹣3，
所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×6+4＝﹣11．

（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．
【点评】本题考查整式的乘法，涉及多项式乘以多项式，完全平方公式，属于基础题型．
8．（2021秋•常宁市期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝　±4　；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．

【分析】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，将x+y＝5，x•y＝代入计算即可得出答案；
（3）将等式（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【解答】解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x•y＝，
∴52﹣（x﹣y）2＝4×，
∴（x﹣y）2＝16
∴x﹣y＝±4，
故答案为：±4；
（3））∵（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1，
∴[（2019﹣m）+（m﹣2020）]2＝1，
∴（2019﹣m）2+2（2019﹣m）（m﹣2020）+（m﹣2020）2＝1，
∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，
∴2（2019﹣m）（m﹣2020）＝1﹣15＝﹣14；
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣7．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．
9．（2021春•镇江期中）把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，
2ab＝2；得a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝　±1　；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝　13　．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝4，两正方形的面积和S1+S2＝12，求图中阴影部分面积．

【分析】（1）根据完全平方公式的变形为xy＝代入计算即可；
（2）①根据（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn，再代入计算即可；
②换元后，依据（2）①的做法即可求出答案；
（3）将题意转化为：已知x2+y2＝12，x+y＝4，求xy的值，依据上述方法进行解答即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝6，
∴（x+y）2＝36，
即x2+2xy+y2＝36，
又∵x2+y2＝20，
∴20+2xy＝36，
∴xy＝8；
（2）①∵2m+n＝3，mn＝1，
∴（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn
＝32﹣1＝1，
∴2m﹣n＝±1，
②设A＝4﹣m，B＝5﹣m，
则A•B＝6，A﹣B＝﹣1，
∴A2+B2＝（A﹣B）2+2AB
＝1+12
＝13，
即（4﹣m）2+（5﹣m）2＝13；
故答案为：①±1，②13；
（3）设AC＝x，BC＝y，则S1＝x2，S2＝y2，
∵S1+S2＝12，
∴x2+y2＝12，
又∵AB＝4＝x+y，
∴S阴影＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]
＝（42﹣12）
＝2，
答：图中阴影部分面积为2．
【点评】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，掌握多项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式的结构特征是解决问题的前提．
10．（2020•唐山三模）张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
①32﹣12＝8×1
②52﹣32＝8×2
③72﹣52＝8×3
（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式；
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；
（3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？
【分析】（1）根据已知算式写出符合题意的答案；
（2）利用平方差公式计算得出答案；
（3）利用举例法分析得出答案．
【解答】解：（1）92﹣72＝8×4，112﹣92＝8×5；

（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），
则它们的平方差是8的倍数；
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．

（3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？
不正确．
解法一：举反例：42﹣22＝12，
因为12不是8的倍数，故这个结论不正确．
解法二：设这两个偶数为2n和2n+2，（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2﹣2n）（2n+2+2n）＝8n+4
因为8n+4不是8的倍数，故这个结论不正确．
【点评】此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
11．（2021春•南京期中）探究活动：

（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：
（4）计算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）；
（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）．
【分析】（1）图①的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；
（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b）可表示面积；
（3）由（1）（2）所表示的面积相等，可得等式；
（4）应用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），所以面积为（a+b）（a﹣b）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]
＝（a+b）2﹣（2c）2
＝a2+2ab+b2﹣4c2；
（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）
＝[b+（2a﹣3c）][b﹣（2a﹣3c）]
＝b2﹣（2a﹣3c）2
＝b2﹣4a2+12ac﹣9c2．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
12．（2021春•高明区校级期末）（1）如图1，阴影部分的面积是　a2﹣b2　．（写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是　（a﹣b）（a+b）　．（写成多项式相乘的积形式）
（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：　（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2　．
（4）应用公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．

【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；
（2）根据矩形的面积公式，可得答案；
（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；
（4）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，
则其面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（4）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）
＝××××…××
＝×
＝．
【点评】本题考查的是平方差公式的推导和运用，灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键．
13．（2020秋•南通期中）阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝　x﹣1　，DF＝　x﹣3　；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．

【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF；
②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
14．（2020春•吴江区期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【分析】（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出a、b的值，然后利用三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4
＝x2﹣2xy+y2+y2+4y+4
＝（x﹣y）2+（y+2）2
＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
解得x＝﹣2，y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2＝；

（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
即（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得a＝5，b＝4，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9．
【点评】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键．
15．（2020春•天桥区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为　（b﹣a）2　；
②观察图2请你写出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则（x﹣y）2＝　16　；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是　（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2　．

【分析】①表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；
②根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；
③将（x﹣y）2变形为（x+y）2﹣4xy，再代入求值即可；
④根据大长方形的面积等于各部分的面积之和列式整理即可．
【解答】解：①（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③当x+y＝5，x•y＝时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝52﹣4×
＝16；
④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：①（b﹣a）2；②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；③16；④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，此类题目关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．
16．（2019秋•江阴市期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 　m﹣n　；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法①　（m﹣n）2　；
方法②　（m+n）2﹣4mn　；
（3）观察图②，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a﹣b＝6，ab＝5，求（a+b）2．
【分析】（1）依据小长方形的边长，即可得到图②中的阴影部分的正方形的边长；
（2）依据正方形的面积计算公式以及间接法，即可表示出图②中阴影部分的面积；
（3）依据（2）中的结论，即可得到（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；
（4）运用（3）中的关系式，即可得到（a+b）2的值．
【解答】解：（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；
故答案为：m﹣n；
（2）图②中阴影部分的面积：（m﹣n）2；
图②中阴影部分的面积：（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；
（3）根据图②，可得（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为：
（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）∵a﹣b＝6，ab＝5，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝62+4×5＝36+20＝56．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是通过几何图形面积之间的数量关系对公式做出几何解释．
17．关于x的二次三项式：x2+2mx+4﹣m2是一个完全平方式，求m的值．
【分析】这里首末两项是x和m这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和m积的2倍．
【解答】解：∵x2+2mx+4﹣m2是完全平方式，
∴4﹣m2＝（）2，
∴m＝±，
即m1＝，m2＝﹣．
【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
18．（2019秋•高县期中）探索题：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1…
根据前面的规律，回答下列问题：
（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1）＝　xn+1﹣1　．
（2）当x＝3时，（3﹣1）（32015+32014+32013+…+33+32+3+1）＝　32016﹣1　．
（3）求：22014+22013+22012+…+23+22+2+1的值．（请写出解题过程）．
【分析】（1）每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1；
（2）根据规律得结果；
（3）将x＝2代入可得结果．
【解答】解：（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1）＝xn+1﹣1；
故答案为：xn+1﹣1；
（2）当x＝3时，（3﹣1）（32015+32014+32013+…+33+32+3+1）＝32016﹣1；
故答案为：32016﹣1；
（3）当x＝2时，（2﹣1）（22014+22013+22012+…+23+22+2+1）＝22015﹣1，
∴22014+22013+22012+…+23+22+2+1＝（22015﹣1）÷（2﹣1）＝22015﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
19．（2018春•太仓市期中）你能求（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，
从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
……
由此我们可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝　x100﹣1　
请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：
（1）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1
（2）若x3+x2+x+1＝0，求x2019的值
【分析】先根据规律计算：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的结果；
（1）根据规律确定：x﹣1，就是﹣2﹣1，得原式＝（﹣2﹣1）•，根据公式可得结论；
（2）根据（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，代入已知可得x的值，根据x3+x2+x+1＝0，x2≥0，得x＜0，可得x＝﹣1，代入可得结论．
【解答】解：由题意得：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝x100﹣1，（2分）
故答案为：x100﹣1；
（1）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1，
＝（﹣2﹣1）•，
＝，
＝；（5分）
（2）∵（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，x3+x2+x+1＝0，
∴x4＝1，
则x＝±1，
∵x3+x2+x+1＝0，
∴x＜0，
∴x＝﹣1，（6分）
∴x2019＝﹣1．（8分）
【点评】此题考查多项式乘多项式、数字类的规律问题，同时也考查学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
20．（2012春•吴中区期末）乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　a﹣b　，长是　a+b　，面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　；
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.2×9.8，②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．

【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；
（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．
【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；

（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；

（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；

（4）①解：原式＝（10+0.2）×（10﹣0.2），
＝102﹣0.22，
＝100﹣0.04，
＝99.96；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]，
＝（2m）2﹣（n﹣p）2，
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
【点评】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观．