第8章 幂的运算（压轴30题专练）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第8章幂的运算（压轴30题专练）

一．选择题（共5小题）
1．下列运算中，正确的是（　　）
A．x6÷x2＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2 C．3x3﹣2x2＝x D．（x3）2•x＝x7
【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方及合并同类项法则计算．
【解答】解：A、错误，应为x6÷x2＝x6﹣2＝x4；
B、错误，应为（﹣3x）2＝9x2；
C、错误，3x3与2x2不是同类项，不能合并；
D、（x3）2•x＝x6•x＝x7，正确．
故选：D．
【点评】本题考查涉及到同底数幂的乘法、除法，幂的乘方、积的乘方等幂的相关运算，学生易于混淆这几个幂的运算的法则，把同底数幂的除法，指数相除，错误的选择A．积的乘方，却把每个因式与指数相乘了，而错误的选择了B．
2．计算：（ab3）2＝（　　）
A．a2b2 B．a2b3 C．a2b6 D．ab6
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算，然后再选取答案．
【解答】解：（ab3）2＝a2•（b3）2＝a2b6．
故选：C．
【点评】本题考查积的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．一种细胞的直径约为1.56×10﹣6米，那么它的一百万倍相当于（　　）
A．玻璃跳棋棋子的直径 B．数学课本的宽度
C．初中学生小丽的身高 D．五层楼房的高度
【分析】绝对值＜1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：1.56×10﹣6米×106＝1.56米，相当于初中学生小丽的身高．
故选：C．
【点评】用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
注意它的一百万倍即乘上106．
4．求1+2+22+23+…+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（　　）
A．52012﹣1 B．52013﹣1 C． D．
【分析】根据题目提供的信息，设S＝1+5+52+53+…+52012，用5S﹣S整理即可得解．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52012，则5S＝5+52+53+54+…+52013，
因此，5S﹣S＝52013﹣1，
S＝．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，读懂题目提供的信息，是解题的关键，注意整体思想的利用．
5．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（　　）
A．52013﹣1 B．52013+1 C． D．
【分析】根据题目所给计算方法，令S＝1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．
【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52012，
则5S＝5+52+53+…+52012+52013，
5S﹣S＝﹣1+52013，
4S＝52013﹣1，
则S＝．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
6．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第一个月他们就募集到资金1万元．随着影响的扩大，第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次完成突破10万元时，相应的n的值为　14　．（参考数据：1.25≈2.5，1.26≈3.0，1.27≈3.6）
【分析】由题意得第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金1（1+20%）万元，第三个月募集到资金1（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金1（1+20%）n﹣1万元，根据1.26×1.27＝10.8＞10，可得n﹣1＝6+7，解得n＝14．
【解答】解：第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金1（1+20%）万元，第三个月募集到资金1（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金1（1+20%）n﹣1万元，由题意得：
1（1+20%）n﹣1＞10，
1.2n﹣1＞10，
∵1.26×1.27＝10.8＞10，
∴n﹣1＝6+7＝13，
n＝14，
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了增长率问题，以及同底数幂的乘法，关键是根据题意列出第n个月募集到资金，再根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
7．计算：（2a2）3•a4＝　8a10　．
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算即可．
【解答】解：（2a2）3•a4，
＝8a6•a4，
＝8a10．
故答案为：8a10．
【点评】本题考查积的乘方的性质，同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
8．为了求1+2+22+23+…+22010的值，可令S＝1+2+22+23+…+22010，则2S＝2+22+23+24+…+22011，因此2S﹣S＝22011﹣1，所以1+2+22+23+…+22010＝22011﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52010的值可得　（52011﹣1）　．
【分析】依照上述推理，即可得到结果．
【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52010，
则5S＝5+52+53+…+52011，
∴5S﹣S＝4S＝5+52+53+…+52011﹣（1+5+52+53+…+52010）＝52011﹣1，
则S＝1+5+52+53+…+52010＝（52011﹣1）．
故答案为：（52011﹣1）
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的推理是解本题的关键．
9．（2019春•溧水区期中）计算：22018•（﹣）2019＝　﹣　．
【分析】（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）；（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）．
【解答】解：原式＝22018•（﹣）2018•（﹣）
＝[2×]2018
＝（﹣1）2018
＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练运用公式是解题的关键．
三．解答题（共21小题）
10．（2021春•宝应县月考）阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，则a，b的大小关系是a　＞　b（填“＜”或“＞”）．
解：因为a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，
所以a＞b．
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质 　C　
A．同底数幂的乘法
B．同底数幂的除法
C．幂的乘方
D．积的乘方
（2）已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．
【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可；
（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．
【解答】解：∵a15＝（a3）5＝25＝32，b15＝（b5）3＝33＝27，32＞27，所以a15＞b15，
所以a＞b，故答案为：＞；
（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方，故选C；
（2）∵x63＝（x7）9＝29＝512，y63＝（y9）7＝37＝2187，2187＞512，
∴x63＜y63，
∴x＜y．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．
11．（2020春•相城区期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝　3　，（4，1）＝　0　（2，0.25）＝　﹣2　；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；
（2）根据已知得出3a＝5，3b＝6，3c＝30，求出3a×3b＝30，即可得出答案．
【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：3，0，﹣2；
（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算等知识点，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键．
12．（2019春•泉山区校级期中）基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x＝222，得出1+7x＝22，求解即可；
②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x＝4，求解即可．
【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，
∴1+7x＝22，
∴x＝3；
②∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
13．（2018春•东海县期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（5，25）＝　2　，（5，1）＝　0　，（3，）＝　﹣2　．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），
（3）小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
试解决下列问题：
①计算（8，1000）﹣（32，100000）
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）
【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
【解答】解：（1）∵52＝25，∴（5，25）＝2；
∵50＝1，∴（5，1）＝0；
∵3﹣2＝，∴（3，）＝﹣2；
故答案为2，0，﹣2；
（3）①（8，1000）﹣（32，100000）
＝（23，103）﹣（25，105）
＝（2，10）﹣（2，10）
＝0；
②设3x＝4，3y＝5，则3x•3y＝3x+y＝4×5＝20，
所以（3，4）＝x，（3，5）＝y，（3，20）＝x+y，
∴（3，20）﹣（3，4）
＝x+y﹣x
＝y
＝（3，5），
即：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）
【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方根式是解题的关键．
14．（2018春•新区期中）已知常数a、b满足3a×32b＝27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝1，求a2+4b2的值．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵3a×32b＝27，
∴3a+2b＝33，
故a+2b＝3，
∵（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝1，
∴52a+4b÷53ab＝1，
∴2a+4b﹣3ab＝0，
∵a+2b＝3，
∴6﹣3ab＝0，
则ab＝2，
∴a2+4b2＝（a+2b）2﹣4ab
＝32﹣4×2
＝1．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
15．（2018春•兴化市期中）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若9×27x＝317，求x的值；
（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；
（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，请比较x与y的大小．
【分析】（1）首先利用幂的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则求出答案；
（2）根据同底数幂的除法法则解答；
（3）利用作差法比较大小．
【解答】解：（1）∵9×27x＝317，
∴33x+2＝317，
∴3x+2＝17，
∴x＝5；
（2）∵ax＝﹣2，ay＝3，
∴a3x﹣2y＝（a3x）÷（a2y）＝（ax）3÷（ay）2＝（﹣2）3÷32＝﹣8÷9＝﹣；
（3）令5m＝t，则25m＝（52）m＝（5m）2＝t2，
∴x＝×25m+×5m+＝，y＝，
∴y﹣x＝＝＞0，
∴x＜y．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
16．（2017春•鼓楼区校级期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）若3x×9x×27x＝312，求x的值．
（2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【分析】（1）由3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x＝312得出6x＝12，即可得出答案；
（2）将5m＝x+3代入y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2可得答案．
【解答】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x．
∵36x＝312，
∴6x＝12，
∴x＝2．
（2）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
17．（2017春•东台市月考）阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的偶数次幂都等于1；③任何不等于零的数的零次幂都等于1．
试根据以上材料探索：等式（x+3）x+2016＝1成立的x的值．
【分析】根据零指数幂的运算法则、有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解：当x＝﹣2时，（﹣2+3）﹣2+2016＝12014＝1，
当x＝﹣4时，（﹣4+3）﹣4+2016＝（﹣1）2012＝1，
当x＝﹣2016时，（﹣2016+3）﹣2016+2016＝1．
【点评】本题考查的是零指数幂、有理数的乘方，掌握1的任何次幂都等于、1的偶数次幂都等于1、任何不等于零的数的零次幂都等于1是解题的关键．
18．（2017春•高新区校级月考）已知32m＝a，27n＝b．求：
（1）34m的值；
（2）33n的值；
（3）34m﹣6n的值．
【分析】（1）34m＝（32m）2，然后代入计算即可；
（2）27n变形为底数为3的幂的形式即可；
（3）逆用同底数幂的除法公式进行计算即可．
【解答】解：（1）34m＝（32m）2＝a2．
（2）∵27n＝b，
∴33n＝b．
（3）34m﹣6n＝34m÷36n＝a2÷b2＝．
【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关法则是解题的关键．
19．（2017春•锡山区校级月考）（1）已知x2n＝2，求（2x3n）2﹣（3xn）2的值
（2）已知x3•xa•x2a+1＝x31，求a的值．
【分析】（1）先算乘方，再变形，最后代入求出即可；
（2）先根据同底数幂的乘法进行计算，即可得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵x2n＝2，
∴（2x3n）2﹣（3xn）2
＝4x6n﹣9x2n
＝4×23﹣9×2
＝14；
（2）∵x3•xa•x2a+1＝x31，
∴x3+a+2a+1＝x31，
∴3+a+2a+1＝31，
解得：a＝9．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键．
20．（2017春•惠山区期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝　3　，（5，1）＝　0　，（2，）＝　﹣2　．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【解答】解：（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
∵50＝1，
∴（5，1）＝0；
∵2﹣2＝，
∴（2，）＝﹣2；
（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，
则3x＝4，3y＝5，
∴3x+y＝3x•3y＝20，
∴（3，20）＝x+y，
∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
故答案为：3，0，﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
21．（2017春•铜山区期中）已知：3a＝4，3b＝10，3c＝25．
（1）求32a的值；
（2）求3c+b﹣a的值；
（3）试说明：2b＝a+c．
【分析】（1）根据幂的乘方运算可得32a＝（3a）2，52a﹣b＝（5a）2÷5b，再代入求值即可；
（2）根据同底数幂的乘除法得到3c+b﹣a＝3c•3b÷3a，再代入计算即可求解；
（3）分别计算根据出32b、3a+c的值，即可得2b＝a+c．
【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；
（2）3c+b﹣a＝3c•3b÷3a＝25×10÷4＝62.5；
（3）∵32b＝（3b）2＝102＝100，
3a+c＝3a×3c＝4×25＝100，
∴32b＝3a+c，
∴2b＝a+c．
【点评】本题主要考查幂的运算，熟悉幂的四则运算法则是基本，根据不同题目对法则的灵活运用是关键．
22．（2017春•沛县校级月考）计算：
（1）x•x3•x4+（x2）4﹣（﹣2x4）2
（2）314×（﹣）7．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）x•x3•x4+（x2）4﹣（﹣2x4）2
＝x8+x8﹣4x8
＝﹣2x8；
（2）314×（﹣）7
＝﹣314×（）14
＝﹣（3×）14
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了幂的乘方以及积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
23．（2017春•姜堰区月考）小明学习了“第八章 幂的运算”后做这样一道题：“已知：（2x﹣5）x+4＝1，求x的值．”，他解出来的结果为x＝2，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？请你写出完整的解答过程．
【分析】根据1的任何次幂都等于1，﹣1的偶次幂等于1，非零的零次幂等于1，可得答案．
【解答】解：2x﹣5＝1时，即x＝3时，（2x﹣5）x+4＝1，
2x﹣5＝﹣1时，即x＝2时（2x﹣5）x+4＝1，
x+4＝0时，即x＝﹣4时（2x﹣5）x+4＝1，
（2x﹣5）x+4＝1的解为x＝3或2或﹣4．
【点评】本题考查了零指数幂，利用1的任何次幂都等于1，﹣1的偶次幂等于1，非零的零次幂等于1是解题关键．
24．（2017春•句容市月考）小明学习了“第八章 幂的运算”后做这样一道题：若（2x﹣1）2x+2＝1，求x的值，他解出来的结果为x＝1，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？小明解答过程如下：
解：因为1的任何次幂为1，所以2x﹣1＝1．即x＝1．故（2x﹣1）2x+2＝14＝1，所以x＝1．
你的解答是：
　∵（2x﹣1）2x+2＝1，
∴当①2x﹣1＝1，
解得：x＝1，此时（2x﹣1）2x+2＝14＝1，
故x＝1；
②当2x+2＝0，
解得：x＝﹣1，
则（2x﹣1）2x+2＝（﹣2）0＝1；
③当x＝0时，原式＝（﹣1）2＝1，
故x＝0；
综上所述：x＝﹣1或x＝0或x＝1．　．
【分析】分别利用零指数幂的性质和有理数的乘方分别讨论得出答案．
【解答】解：∵（2x﹣1）2x+2＝1，
∴当①2x﹣1＝1，
解得：x＝1，此时（2x﹣1）2x+2＝14＝1，
故x＝1；
②当2x+2＝0，
解得：x＝﹣1，
则（2x﹣1）2x+2＝（﹣2）0＝1；
③当x＝0时，原式＝（﹣1）2＝1，
故x＝0；
综上所述：x＝﹣1或x＝0或x＝1．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质和有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．
25．（2017春•江阴市校级月考）求值：
（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．
（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．
（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂乘、除法的运算法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂乘法的运算法则进行计算即可；
（3）根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3×9m÷27m＝316，
∴31+2m﹣3m＝316，
∴1﹣m＝16，
∴m＝﹣15；
（2）∵2x+5y﹣3＝0，
∴2x+5y＝3，
∴4x•32y＝22x+5y＝23＝8；
（3）∵x2n＝4，
∴xn＝2，
∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n
＝9×26﹣4×24
＝24×25
＝29．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂乘除法的逆运算是解题的关键．
26．（2017春•东台市月考）已知2m＝3，2n＝5．求
（1）2m﹣n；
（2）4m+2n．
【分析】（1）原式利用同底数幂的除法法则变形，将已知等式的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将已知等式的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵2m＝3，2n＝5，
∴原式＝2m÷2n＝；
（2）∵2m＝3，2n＝5，
∴原式＝22m+4n＝（2m）2×（2n）4＝9×625＝5625．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算下列各对数的值：log24＝　2　；log216＝　4　；log264＝　6　．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．
【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．
（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．
（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；
（4）首先可设设M＝am，N＝an，再根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明结论．
【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，
故答案为：2；4；6；

（2）∵4×16＝64，
∴log24+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝logaMN；
（4）设M＝am，N＝an，
∵＝m，＝n，
＝m+n，
∴+＝，
∴+＝logaMN．
【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
28．（2015秋•厦门期末）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．
（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；
（2）当q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据已知条件可得a3＝2，代入可求p﹣q的值；
（2）根据作差法得到p﹣（a3+）＝2﹣n﹣，分三种情况：当n＝1时；当n＝2时；当n≥3时进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵a3+a﹣3＝p①，a3﹣a﹣3＝q②，
∴①+②得，2a3＝p+q＝4，
∴a3＝2；
①﹣②得，p﹣q＝2a﹣3＝＝1．
（2）∵q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整数），
∴q2＝（2n﹣2﹣n）2，
∴q＝2n﹣2﹣n，
又由（1）中①+②得2a3＝p+q，a3＝（p+q），
①﹣②得2a﹣3＝p﹣q，a﹣3＝（p﹣q），
∴p2﹣q2＝4，
p2＝q2+4＝（2n+2﹣n）2，
∴p＝2n+2﹣n，
∴a3+a﹣3＝2n+2﹣n③，
a3﹣a﹣3＝2n﹣2﹣n④，
∴③+④得2a3＝2×2n，
∴a3＝2n，
∴p﹣（a3+）＝2n+2﹣n﹣2n﹣＝2﹣n﹣，
当n＝1时，p＞a3+；
当n＝2时，p＝a3+；
当n≥3时，p＜a3+．
【点评】考查了负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．
29．（2016春•东台市期中）已知3x+2•5x+2＝153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值．
【分析】首先由3x+2•5x+2＝153x﹣4，可得3x+2•5x+2＝（15）x+2＝153x﹣4，即可得方程x+2＝3x﹣4，解此方程即可求得x的值，然后化简（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4，再将x＝3代入，即可求得答案．
【解答】解：∵3x+2•5x+2＝（15）x+2＝153x﹣4，
∴x+2＝3x﹣4，
解得：x＝3，
∴（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4
＝x2﹣2x+1﹣3x2+6x﹣4
＝﹣2x2+4x﹣3
＝﹣2×9+4×3﹣3
＝﹣9．
【点评】此题考查了积的乘方的性质与化简求值问题．此题难度适中，注意由3x+2•5x+2＝153x﹣4，得到方程x+2＝3x﹣4是解此题的关键．
30．（2007•双柏县）阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算以下各对数的值：
log24＝　2　，log216＝　4　，log264＝　6　．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN＝　loga（MN）　；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明上述结论．
【分析】首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．
（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16＝64，log24+log216＝log264；
（3）由特殊到一般，得出结论：logaM+logaN＝loga（MN）；
（4）首先可设logaM＝b1，logaN＝b2，再根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明结论．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；
（2）4×16＝64，log24+log216＝log264；

（3）logaM+logaN＝loga（MN）；
（4）证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，
则＝M，＝N，
∴MN＝，
∴b1+b2＝loga（MN）即logaM+logaN＝loga（MN）．
【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．