第10章 二元一次方程组（典型30题专练）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第10章二元一次方程组（典型30题专练）

一．选择题（共8小题）
1．（2021秋•扶风县期末）已知是二元一次方程5x+3y＝1的一组解，则m的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．
【解答】解：把代入二元一次方程5x+3y＝1得：
10+3m＝1，
解得：m＝﹣3，
故选：B．
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数m为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．
2．（2021•无锡）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将两个方程相加，可消去y，得到x的一元一次方程，从而解得x＝4，再将x＝4代入①解出y的值，即得答案．
【解答】解：，
①+②得：2x＝8，
∴x＝4，
把x＝4代入①得：4+y＝5，
∴y＝1，
∴方程组的解为．
故选：C．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法．
3．（2021秋•烈山区期末）已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把代入方程组得，于是得到结论．
【解答】解：把代入得，
∴m﹣n＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
4．（2021•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2021春•越秀区期末）用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“长方形的长比宽长10cm”可得到一个关于长和宽的方程，再根据长方形周长公式可得另一个关于长的宽的方程，从而确定方程组．
【解答】解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
6．（2021•襄州区模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
7．（2021•苏州）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据“甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”列出方程组，此题得解．
【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系．
8．（2021春•江都区校级期中）若a+2b﹣3c＝3，5a﹣6b+7c＝5，则a﹣6b+8c的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
【分析】先把方程a+2b﹣3c＝3的左右两边同乘以3得到3a+6b﹣9c＝9，然后再同方程5a﹣6b+7c＝5相减即可得到答案．
【解答】解：∵a+2b﹣3c＝3，
∴3a+6b﹣9c＝9①，
又∵5a﹣6b+7c＝5②，
∴②﹣①得：2a﹣12b+16c＝﹣4．
∴a﹣6b+8c＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是观察给出的方程与要求得的方程之间的关系．
二．填空题（共7小题）
9．（2021秋•渭滨区期末）已知是方程3x﹣my＝7的一个解，则m＝　﹣　．
【分析】把方程的解代入方程可得到关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：
∵是方程3x﹣my＝7的一个解，
∴把代入方程可得3×2﹣3m＝7，解得m＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查方程解的定义，掌握方程的解满足方程是解题的关键．
10．（2021秋•高州市期末）已知2xn﹣3﹣y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，则nm＝　1　．
【分析】直接利用二元一次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵2xn﹣3﹣y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴n﹣3＝1，2m+1＝1，
解得：n＝4，m＝0，
故nm＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确得出n，m的值是解题关键．
11．（2021秋•大名县期末）将方程2x+3y＝6写成用含x的代数式表示y，则y＝　　．
【分析】将x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x+3y＝6，
解得：y＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
12．（2021秋•凤翔县期末）如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s、n为未知数的二元一次方程为　s＝3n﹣3　．

【分析】由图可知：
第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s＝3×2﹣3；
第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s＝3×3﹣3；
第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s＝3×4﹣3；
…
由此可知以s，n为未知数的二元一次方程为s＝3n﹣3．
【解答】解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．
所以s＝3n﹣3．
故答案为：s＝3n﹣3．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．
13．（2021春•饶平县校级期末）定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y＝ax+bxy，其中a，b为常数，且1⊕2＝4，2⊕（﹣1）＝5，则a+b＝　3.5　．
【分析】首先根据题意，可得：，应用加减消元法，求出方程组的解是多少；然后把求出的a、b的值相加即可．
【解答】解：∵x⊕y＝ax+bxy，其中a，b为常数，且1⊕2＝4，2⊕（﹣1）＝5，
∴，
①+②，可得3a＝9，
解得a＝3，
把a＝3代入①，解得b＝0.5，
∴原方程组的解是，
∴a+b＝3+0.5＝3.5．
故答案为：3.5．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
14．（2021•通辽）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 　　．
【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，
依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2021春•莘县期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则a2020+（）2021＝　0　．
【分析】将代入第二个方程求得b，将代入第一个方程求得a，再利用幂的运算性质化简即可．
【解答】解：∵由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，
∴是4x﹣by＝﹣2的解．
∴﹣3×4﹣b＝﹣2．
∴b＝﹣10．
∵乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，
∴是方程ax+5y＝15的解．
∴5a+20＝15．
∴a＝﹣1．
∴a2020+（）2021＝（﹣1）2020+（﹣1）2021＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组．利用方程组的解的意义求得a，b的值是解题的关键．
三．解答题（共15小题）
16．（2021春•武安市期末）解二元一次方程组．
（1）有同学这么做：由②，得x＝2y+12．③
将③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5，
将y＝﹣5代入③，得x＝2，所以这个方程组的解为．该同学解这个方程组的过程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程组转化为 　一元一次方程　．
（2）请你用加减消元法解该二元一次方程组．
【分析】（1）通过代入消元法，把含x，y的方程组转化成只含y的一元一次方程；
（2）把①乘以2，使y得系数变成2，而②中y的系数为﹣2，相加即可消去y，求得x的值，把x的值代入①中求得y的值即可得到方程组的解．
【解答】解：（1）原方程组中有两个未知数x，y，把③代入①后，得到一个关于y的一元一次方程．
故答案为：一元一次方程．
（2），
①×2得：6x+2y＝2③，
②+③得：7x＝14，
x＝2，
把x＝2代入①中得：
3×2+y＝1，
6+y＝1，
y＝1﹣6，
y＝﹣5．
∴方程组的解为．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解法，考核学生的计算能力，解题的关键是通过消元把方程转化为一元一次方程．
17．（2021春•清河县期末）疫情初期，武汉物资告急，全国一心，各地纷纷运送物资到武汉．已知3辆大货车与2辆小货车可以一次运货17吨，5辆大货车与4辆小货车可以一次运货29吨，则2辆大货车与1辆小货车可以一次运货多少吨？
【分析】设1辆大货车一次运货x吨，1辆小货车一次运货y吨，根据“3辆大货车与2辆小货车可以一次运货17吨，5辆大货车与4辆小货车可以一次运货29吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，将其代入（2x+y）中即可求出结论．
【解答】解：设1辆大货车一次运货x吨，1辆小货车一次运货y吨，
依题意，得：，
解得：，
∴2x+y＝11．
答：2辆大货车与1辆小货车可以一次运货11吨．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（2020秋•鼓楼区期末）阅读下面材料
两位同学在用标有数字1，2，…，9的9张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片B上的数字，把最后得到的数M的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦!”
乙同学：“这么神奇？我不信”
……
试验一下：
（1）如果乙同学抽出的卡片A上的数字为2，卡片B上的数字为5，他最后得到的数M＝　39　；
（2）若乙同学最后得到的数M＝57，则卡片A上的数字为　4　，卡片B上的数字为　3　．
解密：
请你说明：对任意告知的数M，甲同学是如何猜到卡片的．
【分析】（1）根据游戏规则计算M的值即可；
（2）根据游戏规则表示M，为一个二元一次方程，取整数解即可；
解密：
设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，则M＝2（5x+7）+y＝（10x+y）+14，M﹣14＝10x+y，可得结论．
【解答】解：（1）M＝（2×5+7）×2+5＝39，
故答案为：39；
（2）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，
则（5x+7）×2+y＝57，
10x+14+y＝57，
10x+y＝43，
∵x、y都是1至9这9个数字，
∴x＝4，y＝3，
故答案为：4，3；
解密：
设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y（其中x、y为1，2，…，9这9个数字），
则M＝2（5x+7）+y＝（10x+y）+14，
得：M﹣14＝10x+y，其中十位数字是x，个位数字是y，
所以由给出的M的值减去14，所得两位数十位上的数字为卡片A上的数字x，个位数上的数字为卡片B上的数字y．
【点评】本题是阅读型问题，考查了学生有理数的加法和乘法，及规律计算问题，注意理解材料中M的由来．
19．（2021春•饶平县校级期末）已知关于x、y的方程组与有相同的解，求a、b的值．
【分析】根据已知条件，知x，y的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得x，y的值后，再联立解方程组，从而求解．
【解答】解：根据题意得，
解得，
把代入含有a，b的两个方程得，
解得．
【点评】考查了二元一次方程组的解，此题首先联立方程组求得x，y的值，再进一步得到关于a，b的方程组计算求解．
20．（2021春•建湖县月考）已知|y﹣x﹣3|+（4x+2y）2＝0，求﹣（x+y）2020的值．
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出x+y的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵|y﹣x﹣3|+（4x+2y）2＝0，
∴，
①+②得：3x+3y＝3，即x+y＝1，
则原式＝﹣1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（2021•吴兴区二模）解方程组：．
【分析】解此题时先找出某个未知数系数的最小公倍数，用加减消元法进行解答．
【解答】解：原方程组变形为：，
（1）﹣（2）得：y＝﹣，
代入（1）得：x＝6．
所以原方程组的解为．
【点评】此题较简单，只要明白二元一次方程及方程组的解法就可．
22．（2021•商河县校级模拟）某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，后再到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示：
品名
猕猴桃
芒果
批发价（元/千克）
20
40
零售价（元/千克）
26
50
（1）他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？
（2）如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？
【分析】（1）设购进猕猴桃x千克，购进芒果y千克，由总价＝单价×数量结合老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据利润＝销售收入﹣成本，即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进猕猴桃x千克，购进芒果y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克．
（2）26×20+50×30﹣1600＝420（元）．
答：如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚420元钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
23．（2021春•柳南区校级期中）解方程组
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）直接把两个方程相减消元求解即可；
（3）方程组化简后，利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②，得2x+3（3x﹣6）＝15，解得x＝3，
把x＝3代入①，得y＝9﹣6＝3，
故方程组的解为；
（2），
②﹣①，得5y＝﹣3，解得，
把代入①，得，解得，
故方程组的解为；
（3）原方程组化简得，
①+②×2，得5x＝10，解得x＝2，
把x＝2代入②，得4﹣y＝1，解得y＝3，
故方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用加减消元或代入消元法把二元一次方程转化为一元一次方程求解．
24．（2021秋•乾县期末）将一批抗疫物资运往武汉，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：

甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第一次
4
5
31
第二次
3
6
30
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？请全部设计出来．
【分析】（1）设每辆甲种货车能装货x吨，每辆乙种货车能装货y吨，根据第一次及第二次租用两种货车的运货情况，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，根据要一次运送45吨物质，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．
【解答】解：（1）设每辆甲种货车能装货x吨，每辆乙种货车能装货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨．
（2）设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，
依题意，得：4m+3n＝45，
∴n＝15﹣m，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，方案1：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25．（2021•娄星区模拟）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．
（1）求A，B两种品牌的足球的单价．
（2）该校打算通过“京东商城”网购20个A品牌的足球和3个B品牌的足球，“五一”期间商城打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？

【分析】（1）设A品牌的足球的单价为x元/个，B品牌的足球的单价为y元/个，根据“购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，列式计算，即可求出结论．
【解答】解：（1）设A品牌的足球的单价为x元/个，B品牌的足球的单价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：A品牌的足球的单价为40元/个，B品牌的足球的单价为100元/个．

（2）20×40×（1﹣0.8）+3×100×（1﹣0.9）＝190（元）．
答：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了190元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据总价＝单价×数量，列式计算．
26．（2021秋•辛集市期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．
②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 　2或6　元．
【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．根据买钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元建立方程，求出其解即可；
（2）①根据第一问的结论设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了；
②设单价为21元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，签字笔的单价为a元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．由题意得：
30x+45（x+4）＝1755，
解得：x＝21，
∴毛笔的单价为：x+4＝25．
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．

（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意，得
21y+25（105﹣y）＝2447．
解之得：y＝44.5 （不符合题意）．
∴陈老师肯定搞错了．
②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得
21z+25（105﹣z）＝2447﹣a．
∴4z＝178+a，
∵a、z都是整数，
∴178+a应被4整除，
∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数，
∴a可能为2、4、6、8．
当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意；
当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意；
当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意；
当a＝8时，4z＝186，z＝46.5，不符合题意．
所以签字笔的单价可能2元或6元．
故答案为：2元或6元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键．
27．（2021•扬州）已知方程组的解也是关于x、y的方程ax+y＝4的一个解，求a的值．
【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：方程组，
把②代入①得：2(y﹣1)+y＝7，
解得：y＝3，代入①中，
解得：x＝2，
把x＝2，y＝3代入方程ax+y＝4得，2a+3＝4，
解得：a＝．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
28．（2012•黔东南州）解方程组．
【分析】利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行解答．
【解答】解：
③+①得，3x+5y＝11④，
③×2+②得，3x+3y＝9⑤，
④﹣⑤得2y＝2，y＝1，
将y＝1代入⑤得，3x＝6，
x＝2，
将x＝2，y＝1代入①得，z＝6﹣2×2﹣3×1＝﹣1，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，得到由另外两个未知数组成的二元一次方程组．
29．（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知x、y、z，满足试求z的值．
【分析】（1）将②变形后代入方程解答即可；
（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．
【解答】解：（1）
将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④
将①代入④得
3×7+4y＝11
y＝
把y＝代入①得，
∴方程组的解为
（2）
由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③
由②得2（x+4y）+z＝36 ④
③×2﹣④×3得z＝2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
30．（2021春•姑苏区期末）阅读以下内容：
已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值，
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：先解方程组，再求k的值
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变．
【分析】（1）①+②可得17（m+n）＝11k﹣3，因为m+n＝5，整体代入求出k即可；
（2）①×3+②消去a即可判断；
【解答】解：（1），
①+②得到，17（m+n）＝11k﹣3，
∵m+n＝5，
∴17×5＝11k﹣3
解得k＝8．

（2）
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴不论a取什么实数，x+y的值始终不变．
【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用整体的思想考虑问题，属于中考常考题型．