第10章 二元一次方程组（基础30题专练）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第10章二元一次方程组（基础30题专练）

一．选择题（共15小题）
1．（2021春•广陵区校级期中）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．x+y+z＝1 B．x2＝4 C．x﹣3＝5 D．2x+y＝8
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【解答】解：A．x+y+z＝1是三元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2＝4是一元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．x﹣3＝5是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．2x+y＝8是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．
2．（2021春•金坛区期末）若是方程ax﹣2y＝6的解，则a的值是（　　）
A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣3
【分析】把方程的已知解代入ax﹣2y＝6中，得到一个含有未知数a的一元一次方程，然后就可以求出a的值．
【解答】解：把代入二元一次方程ax﹣2y＝6中，
可得：2a﹣2＝6，
解得：a＝4，
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，解题关键是把二元一次方程的已知解代入二元一次方程，使原方程转化为以系数m为未知数的方程，然后解此方程即可．
3．（2021春•高邮市期末）唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》一书中有这样一道题：“今有三十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”你求得的结果有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
【分析】设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，根据一共有30只鹿进圈舍列出方程并解答．注意：x、y都是非负整数．
【解答】解：设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，
由题意，得6x+4y＝30．
整理，得y＝．
因为 15﹣3x＞0，且x、y都是非负整数，
所以 0≤x＜5．
故x可以取0，1，2，3，4，5，
当x＝0时，y＝7.5（舍去）
当x＝1时，y＝6．
当x＝2时，y＝4.5（舍去）
当x＝3时，y＝3．
当x＝4时，y＝1.5（舍去）
当x＝5时，y＝0．
综上所述，只有3种情况符合题意．
故选：C．
【点评】考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答，求解时，注意x、y的取值范围．
4．（2021春•灌云县期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．它不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
C．是分式方程组，不是整式方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义是解此题的关键．
5．（2021秋•高新区期末）在下列各组数中，是方程组的解的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【解答】解：，
②×2，得2x+4y＝6③，
③﹣①得，7y＝14，
解得y＝2，
将y＝2代入②得，x＝﹣1，
∴方程组的解为，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
6．（2021秋•甘州区校级期末）已知二元一次方程组的解是，则m+2n的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】根据二元一次方程组的解的定义把把代入方程组求出m和n的值，然后进行m+2n．
【解答】解：把代入方程组得，解得，
所以m+2n＝2+2×（﹣1）＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
7．（2021春•宿城区校级月考）关于x、y的两个方程组和具有相同的解，则a+b的值是（　　）
A．﹣1 B．5 C．6 D．不能确定
【分析】先联立不含a，b的两个方程，解方程组求出x，y的值，再代入含a，b的两个方程联立的方程组中，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
②﹣①得：x＝4，
把x＝4代入①中得：8﹣y＝7，
解得：y＝1，
∴原方程组的解为：，
把代入方程组中可得：
，
①×3得：12a﹣6b＝6③，
③﹣②得：﹣b＝﹣3，
解得：b＝3，
把b＝3代入①中得：4a﹣6＝2，
解得：a＝2，
∴此方程组的解为：，
∴a+b＝2+3＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程组是解题的关键．
8．（2021春•邗江区期中）已知是二元一次方程组的解，则3m﹣n的值为（　　）
A．7 B．4 C．2 D．9
【分析】首先将x，y的值代入方程组得到关于m、n的方程组，解方程组即可求出答案．
【解答】解：由题意可得：
，
解得：，
故3m﹣n＝9﹣2＝7．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确解方程组是解题关键．
9．（2021春•海陵区校级期末）已知方程组，则（x+y）（2x﹣2y）的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】两方程相加得x+y的值，两式相减得2x﹣2y的值，再整体代入计算可得答案．
【解答】解：，
①+②，得4x+4y＝8，即x+y＝2，
①﹣②得，2x﹣2y＝﹣2，
∴（x+y）（2x﹣2y）＝2×（﹣2）＝﹣4．
故选：D．
【点评】此题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法是解决此题的关键．
10．（2021春•溧阳市期末）已知关于x、y的方程组的解是，则a，b的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将代入方程组，得到方程组，再由代入消元法解方程组即可．
【解答】解：将代入方程组，
得，
将①代入②，得7+3（1﹣3a）＝a，
解得a＝1，
将a＝1代入①得，b＝﹣2，
∴方程组的解为，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
11．（2021春•灌云县期末）已知是方程组的解，则3﹣a﹣b的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】将代入方程组得到方程组，直接将此方程组中的两个方程相加可得到a+b＝1，再求解即可．
【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
①+②得，5a+5b＝5，
∴a+b＝1，
∴3﹣a﹣b＝3﹣（a+b）＝2，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
12．（2021秋•薛城区期末）由方程组消去m，可得x与y的关系式是（　　）
A．2x﹣5y＝5 B．2x+5y＝﹣1 C．﹣2x+5y＝5 D．4x﹣y＝13
【分析】方程组消去m即可得到x与y的关系式．
【解答】解：，
①×3﹣②，得2x﹣5y＝5，
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13．（2021•淮安）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．
【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得：，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
14．（2021春•越秀区期末）用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“长方形的长比宽长10cm”可得到一个关于长和宽的方程，再根据长方形周长公式可得另一个关于长的宽的方程，从而确定方程组．
【解答】解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
15．（2021春•海陵区期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+2，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（　　）
A．8，2，7 B．7，8，2 C．8，7，2 D．7，2，8
【分析】根据“明文a，b，c，对应密文a+2，﹣a+2b+4，b+3c+9”，结合收到的密文9，13，23，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出密文对应的明文．
【解答】解：依题意得：，
解得：．
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
16．（2021秋•高州市期末）已知2xn﹣3﹣y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，则nm＝　1　．
【分析】直接利用二元一次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：∵2xn﹣3﹣y2m+1＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴n﹣3＝1，2m+1＝1，
解得：n＝4，m＝0，
故nm＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确得出n，m的值是解题关键．
17．（2021秋•大名县期末）将方程2x+3y＝6写成用含x的代数式表示y，则y＝　　．
【分析】将x看作已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x+3y＝6，
解得：y＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
18．（2021春•滨海县月考）已知2x﹣y＝﹣6，且x、y互为相反数，则3x﹣4y＝　﹣14　．
【分析】利用相反数的性质列出方程，与已知方程联立求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：x+y＝0，
联立得：，
①+②得：3x＝﹣6，
解得：x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得：﹣4﹣y＝﹣6，
解得：y＝2，
则3x﹣4y＝3×（﹣2）﹣4×2＝﹣6﹣8＝﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】此题考查了解二元一次方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19．（2021春•宿城区校级月考）若方程组的解是，则方程组的解为 　　．
【分析】利用解方程中整体的思想可得，然后进行计算即可解得．
【解答】解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中整体的思想是解题的关键．
20．（2021•徐州模拟）已知方程组的解也是方程4x﹣3y+k＝0的解，则k的值为 　﹣5　．
【分析】先用加减消元法解方程组，再把x、y的值代入方程求出k的值．
【解答】解：，
①×2得2x﹣2y＝10③，
③﹣②得x＝﹣10，
把x＝﹣10代入①得y＝﹣15，
∴此方程组的解；
把x＝﹣10，y＝﹣15，代入4x﹣3y+k＝0得，
4×（﹣10）﹣3×（﹣15）+k＝0，
解得k＝﹣5；
故答案为：﹣5
【点评】题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
21．（2021春•江都区校级月考）已知a，b满足方程组，若a+b＜3，则t的取值范围为 　t＜2　．
【分析】方程组两方程相加求出a+b＝t+1，由a+b＜3得出关于t的不等式，解不等式即可．
【解答】解：，
①+②得：4a+4b＝4t+4，
则a+b＝t+1，
∵a+b＜3，
∴t+1＜3，
∴t＜2，
故答案为t＜2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
22．（2021春•金坛区期末）若2x+y+z＝10，3x+y+z＝12，则x+y+z＝　8　．
【分析】联立已知两个方程组成方程组，利用加减消元法得到x和y+z的值，即可确定出x+y+z的值．
【解答】解：联立得：，
②﹣①得：x＝2，
①+②得：5x+2y+2z＝22③，
∴y+z＝＝6，
∴x+y+z＝2+6＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
三．解答题（共8小题）
23．（2021春•广陵区校级月考）若是二元一次方程组的解，求（a+3b）（5a﹣b）的值．
【分析】把x＝2，y＝1，代入方程组，然后求a+3b和5a﹣b的值．
【解答】解：把x＝2，y＝1代入方程组，得：，
①﹣②，得：a+3b＝3，
①+②，得：5a﹣b＝7，
∴（a+3b）（5a﹣b）＝3×7＝21．
【点评】本题主要考查学生对方程的解得理解和整体思想的掌握情况，解题过程中需注意，代入x、y的值后所得的关于a、b的二元一次方程组可以用整体思想直接求出a+3b和a﹣b的值．
24．（2021秋•甘州区校级期末）解方程组
（1）
（2）
【分析】（1）利用代入消元法求出解即可；
（2）先将原方程组整理，再利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1），
由①得：x＝2y③，
将③代入②，得 4y+3y＝21，即 y＝3，
将 y＝3 代入①，得 x＝6，
∴方程组的解为；
（2）将整理得：
，
①+②得：9a＝18，
∴a＝2③，
把③代入①得：3×2+2b＝7，
∴2b＝1，
∴b＝，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
25．（2021秋•峄城区期末）解方程组
【分析】先将方程①化简，再利用加减法解答．
【解答】解：方程①化简为2x﹣5y＝﹣17③，（1分）
将③和②组成方程组得，
，
②×5+③，
解出x＝﹣1，（1分）
将x＝﹣1代入②得，
解出y＝3，（1分）
方程组的解为．（1分）
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
26．（2021春•宿城区校级月考）解下列方程组：
（1）用代入法解方程组：；
（2）用加减法解方程组：；
（3）．
【分析】（1）将①变形为y＝2﹣2x，再代入②即可解得x的值，从而可得到方程组的解；
（2）将①×2+②×5可消去y，解得x的值，解可解得方程组的解；
（3）将原方程组变形，再消去x，求出y的值，从而可解得方程组的解．
【解答】解：（1），
将①变形得：y＝2﹣2x③，
把③代入②得：3x﹣2（2﹣2x）＝10，
解得x＝2，
把x＝2代入③得y＝2﹣2×2＝﹣2，
∴原方程组的解是；
（2），
①×2+②×5得：31x＝62，
解得x＝2，
把x＝2代入①得3×2﹣5y＝11，
∴y＝﹣1，
∴原方程组的解为；
（3）将原方程组变形为：，
①+②×5得：44y＝22，
解得y＝，
把y＝代入①得：5x﹣＝12，
∴x＝，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是用代入法或加减法，将“二元”转化为“一元”．
27．（2021秋•锡山区期末）某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．
（1）甲、乙两种商品每件进价各名少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
【分析】（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件y元．根据总进价3800元列出方程即可解决问题．
（2）求出甲、乙两种商品的利润和即可．
（3）根据第二次的利润1000+160＝1160元，列出方程即可．
【解答】解：（1）设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价20元；
（2）（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润＝40×（20﹣15）+160×（25﹣20）＝1000元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1000元的利润．
（3）由题意40×[20（1+a%）﹣15]+160×[25（1﹣a%）﹣（20﹣3）]＝1000+160，
解得a＝10．
答：a的值是10．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意、搞清楚进价、销售量、利润之间 的关系，属于中考常考题型．
28．（2021秋•乾县期末）将一批抗疫物资运往武汉，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：

甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
总量（吨）
第一次
4
5
31
第二次
3
6
30
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？请全部设计出来．
【分析】（1）设每辆甲种货车能装货x吨，每辆乙种货车能装货y吨，根据第一次及第二次租用两种货车的运货情况，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，根据要一次运送45吨物质，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．
【解答】解：（1）设每辆甲种货车能装货x吨，每辆乙种货车能装货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨．
（2）设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，
依题意，得：4m+3n＝45，
∴n＝15﹣m，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，方案1：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
29．（2021秋•百色期末）甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机．
（1）在这个问题中，1小时20分＝　　小时；
（2）相向而行时，汽车行驶　　小时的路程+拖拉机行驶　　小时的路程＝160千米；同向而行时，汽车行驶　　小时的路程＝拖拉机行驶　　小时的路程；
（3）全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
【分析】（1）由1小时＝60分钟可得出1小时20分＝小时；
（2）分析全程中两个路程相等的量，即可得出结论；
（3）设汽车的速度为x千米/小时，拖拉机的速度为y千米/小时，由路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用路程＝速度×时间可分别求出汽车、拖拉机全程行驶的路程．
【解答】解：（1）1小时20分＝小时．
故答案为：．
（2）相向而行时，汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程＝160千米；同向而行时，汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶（1+）＝小时的路程．
故答案为：；；；．
（3）设汽车的速度为x千米/小时，拖拉机的速度为y千米/小时，
依题意，得：，
解得：．
全程汽车行驶的路程为（+）x＝（+）×90＝165（千米）；
全程拖拉机行驶的路程为（+1+）y＝（+1+）×30＝85（千米）．
答：汽车全程行驶了165千米，拖拉机全程行驶了85千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
30．（2020春•港闸区期中）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②×5得：13x＝26，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝1，
则方程组的解为；
（2），
①+②得：3x+4y＝24④，
②+③得：6x﹣3y＝15，即2x﹣y＝5⑤，
④+⑤×4得：11x＝44，
解得：x＝4，
把x＝4代入④得：y＝3，
把x＝4，y＝3代入②得：z＝8，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．