第11章 一元一次不等式（压轴30题专练）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第11章一元一次不等式（压轴30题专练）

一．选择题（共1小题）
1．（2020春•润州区期末）已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③
【分析】根据题目中的方程组可以判断各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：当a＝1时，，解得，，∴x+y＝0≠2﹣1，故①错误，
当a＝﹣2时，，解得，，则x+y＝6，此时x与y不是互为相反数，故②错误，
∵，解得，，
∵x≤1，则≤1，得a≥0，
∴0≤a≤1，则1≤≤，即1≤y≤，故③错误，
∵，解得，，当x＝＝4时，得a＝，y＝，故④错误，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程（组）的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和不等式的性质解答．
二．填空题（共3小题）
2．（2020•港南区三模）已知关于x的不等式组的整数解有且只有2个，则m的取值范围是 　﹣5≤m＜﹣4　．
【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数的个数，确定整数解，从而确定m的范围．
【解答】解：，
解①得x＜﹣，
解②得x＞m，
则不等式组的解集是m＜x＜﹣．
不等式组有2个整数解，则整数解是﹣3，﹣4．
则﹣5≤m＜﹣4．
故答案是：﹣5≤m＜﹣4．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
3．（2018•南岸区校级模拟）藏族小伙小游到批发市场购买牛肉，已知牦牛肉和黄牛肉的单价之和为每千克44元，小游准备购买牦牛肉和黄牛肉总共不超过120千克，其中黄牛肉至少购买30千克，牦牛肉的数量不少于黄牛肉的2倍，粗心的小游在做预算时将牦牛肉和黄牛肉的价格弄对换了，结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了224元，若牦牛肉、黄牛肉的单价和数量均为整数，则小游实际购买这两种牛肉最多需要花费 　2752　元．
【分析】设牦牛肉和黄牛肉的单价分别为每千克x元和（44﹣x）元，购买牛肉牦牛肉和黄牛肉的数量分别为m千克和n千克；题意：mx+n（44﹣x）﹣[m（44﹣x）+nx]＝224，可得x（m﹣n）＝22（m﹣n）+112，
实际购买这两种牛肉的价格＝mx+n（44﹣x）＝x（m﹣n）+44n＝22（m+n）+112，根据一次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：设牦牛肉和黄牛肉的单价分别为每千克x元和（44﹣x）元，购买牛肉牦牛肉和黄牛肉的数量分别为m千克和n千克；
由题意：mx+n（44﹣x）﹣[m（44﹣x）+nx]＝224，
∴x（m﹣n）＝22（m﹣n）+112，
∵实际购买这两种牛肉的价格＝mx+n（44﹣x）＝x（m﹣n）+44n＝22（m+n）+112，
∵m+n≤120，
∴当m+n＝120时，22（m+n）+112有最大值，最大值＝2752（元），
答：小游实际购买这两种牛肉最多需要花费2752元．
【点评】本题考查一元一次不等式、一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，学会利用一次函数的性质解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．有人问一位老师，他教的班级有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还有不足6位学生正在操场踢足球．”因此，这个班一共有学生　28　人．
【分析】一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还有不足6位学生正在操场踢足球，即踢足球的学生人数大于0并且小或等于5．设这个班一共有学生x人，根据这个不等关系就可以列出不等式．
【解答】解：不足6位学生说明剩下人数在1和5之间．
设有x人，则1≤x﹣x﹣x﹣x≤5
1≤x﹣0.5x﹣0.25x﹣x≤5
解得9≤x≤46这些整数里，
∵x，，都表示学生人数，
∴必须为整数，
∴学生总数应为28的倍数，
∴只有28能被28整除．
∴这个班一共有学生28人．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，理解：不足6位学生正在操场踢足球的含义，找到符合题意的不等关系．
三．解答题（共26小题）
5．（2022春•临川区校级月考）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：

A种产品
B种产品
成本（万元/件）
2
5
利润（万元/件）
1
3
（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
【分析】（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件，列出方程即可解决．
（2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，列出不等式组解决问题．
（3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解．
【解答】解：（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件，
由题意，x+3（10﹣x）＝14，
解得x＝8，
∴10﹣x＝2，
∴A种产品应生产8件，B种产品应生产2件．

（2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，
由题意得，
解这个不等式组，得2≤m＜5，
∵m为正整数，m可以取2或3或4；
∴生产方案有3种：
①生产A种产品2件，B种产品8件；
②生产A种产品3件，B种产品7件．
③生产A种产品4件，B种产品6件．

（3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，
则利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30，
则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大，
所以当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
6．（2021•聊城二模）某工程队现有大量的沙石需要运输．工程队下属车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．
（1）求该车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
（2）随着工程的进展，车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．
【分析】（1）根据车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石，分别得出等式组成方程组，求出即可；
（2）利用车队需要一次运输沙石165吨以上，得出不等式求出购买方案即可．
【解答】解：（1）设该车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，
根据题意得：，
解之得：．
答：该车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；

（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，
依题意得：8（5+z）+10（7+6﹣z）＞165，
解之得：z＜，
∵z＞0且为整数，
∴z＝1，2；
∴6﹣z＝5，4．
∴车队共有2种购车方案：
①载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；
②载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键．
7．（2021春•盘龙区期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；
（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的值，再根据a为整数，即可得出答案．
【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．
依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，
解得：a≤37．
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．

（3）根据题意得：
（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，
解得：a＞35，
∵a≤37，且a应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
【点评】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
8．（2021春•柘城县期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足不等式组，则m的取值范围是什么？
【分析】将方程组两方程相加减可得x+y、x﹣y，代入不等式组可得关于m的不等式组，求解可得．
【解答】解：在方程组中，
①+②，得：3x+3y＝3+m，即x+y＝，
①﹣②，得：x﹣y＝﹣1+3m，
∵，
∴，
解得：0＜m＜3．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键．
9．（2021春•海淀区校级期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数．
【分析】根据题意设安排住宿的房间为x间，并用含x的代数式表示学生人数，根据“每间住4人，则还余20人无宿舍住和；每间住8人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答．
【解答】解：设安排住宿的房间为x间，则学生有（4x+20）人，
根据题意，得
解之得5.25≤x≤6.25
又∵x只能取正整数，
∴x＝6
∴当x＝6，4x+20＝44．（人）
答：住宿生有44人，安排住宿的房间6间．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．要根据人数为正整数，推理出具体的人数．
10．（2021•江都区校级模拟）已知方程的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围．
【分析】本题可对一元二次方程运用加减消元法解出x、y关于a的式子，然后根据x≤0和y＞0可分别解出a的值，然后根据两个都小于则小于小的，两个都大于则大于大的，或夹在较小的和较大的数之间三种情况判断a的取值．
【解答】解：，
得，．
∵，
∴．
解得﹣2＜a≤3．
【点评】解：本题考查了二元一次方程的解法和一元一次不等式的性质．根据运算可将x、y化为关于a的式子，然后计算出a的取值．
11．（2020春•句容市期末）2020年2月初，由于新型冠状病毒（COVID﹣19）的传播，消毒剂市场出现热卖，某旗舰网店用60000元购进一批甲种品牌的免洗手消毒液和乙种品牌的75%酒精消毒纸巾，销售完后共获利9000元，进价和售价如下表：

甲种免洗手消毒液（元/瓶）
乙种75%酒精消毒纸巾（元/袋）
进价
30
42
售价
35
48
（1）求该网店购进甲种消毒液和乙种消毒纸巾分别是多少？
（2）该网店第二次以原价购进上述甲、乙两种物品，购进乙种物品袋数不变，而购进甲种物品的数量是第一次的2倍．甲种物品按原售价出售，而乙种物品让利销售．若两种物品销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于7600元，乙种物品每袋最低售价为每袋多少元？
【分析】（1）分别根据旗舰网店用60000元购进进一批甲种品牌的免洗手消毒液和乙种品牌的75%酒精消毒纸巾，销售完后共获利9000元，得出等式组成方程求出即可；
（2）根据购进甲种物品的数量是第一次的2倍，要使第二次销售活动获利不少于7600元，得出不等式求出即可．
【解答】解；（1）设网店购进甲种消毒液x瓶，乙种消毒纸巾y袋，
根据题意，得，
解得：，
答：网店购进甲种消毒液600瓶，乙种消毒纸巾1000袋；

（2）设乙种物品每袋售价为每袋a元，根据题意得出：
600×2×（35﹣30）+1000×（a﹣42）≥7600，
解得：a≥43.6，
答：乙种物品每袋最低售价为每袋43.6元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．
12．（2020春•锡山区期末）新冠肺炎疫情期间，某口罩厂为生产更多的口罩满足疫情防控需求，决定拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台．两种型号口罩机的单价和工作效率分别如表：

单价/万元
工作效率/（只/h）
A种型号
16
2500
B种型号
20
3000
（1）求购进A，B两种型号的口罩机各多少台；
（2）现有200万只口罩的生产任务，计划安排新购进的口罩机共15台进行生产．若工厂的工人每天工作10h，则至少购进B种型号的口罩机多少台才能在5天内完成任务？
【分析】（1）设购进A种型号的口罩生产线x台，B种型号的口罩生产线y台，根据财政拨款560万元购进A，B两种型号的口罩机共30台，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据工作总量＝工作效率×时间结合在5天内完成200万只口罩的生产任务，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】（1）设购进A型号口罩机x台，B型号口罩机y台，
．
解之得．
答：购进A型号口罩机10台，B型号口罩机20台；

（2）设购进B型口罩机m台，则5×10×[2500（15﹣m）+3000m]≥2000000．
解之得m≥5．
答：至少购进B型号口罩机5台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
13．（2020春•姜堰区期末）某物流公司安排A、B两种型号的卡车向灾区运送抗灾物资，装运情况如下：
装运批次
卡车数量
装运物资重量
A种型号
B种型号
第一批
2辆
4辆
56吨
第二批
4辆
6辆
96吨
（1）求A、B两种型号的卡车平均每辆装运物资多少吨；
（2）该公司计划安排A、B两种型号的卡车共15辆装运150吨抗灾物资，那么至少要安排多少辆A种型号的卡车？
【分析】（1）设A种型号的卡车平均每辆装运物资x吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资y吨，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设要安排m辆A种型号的卡车，根据“该公司计划安排A、B两种型号的卡车共15辆装运150吨抗灾物资”即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种型号的卡车平均每辆装运物资x吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资y吨，
根据题意，得．
解得．
答：A种型号的卡车平均每辆装运物资12吨，B种型号的卡车平均每辆装运物资8吨；

（2）设要安排m辆A种型号的卡车，则需要安排（15﹣m）辆B种型号的卡车，
根据题意，得12m+8（15﹣m）≥150
解得m≥7.5．
由于m是正整数，
所以m最小值是8．
答：至少要安排8辆A种型号的卡车．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
14．（2020•荣昌区模拟）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}＝＝，min{﹣1，2，a}＝．
（1）请填空：max{c﹣1，c，c+1}＝　c+1　；若m＜0，n＞0，min{3m，（n+3）m，﹣mn}＝　（n+3）m　；
（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（3）若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值．
【分析】（1）三个数c﹣1，c，c+1最大的数是c+1，三个数3m，（n+3）m，﹣mn中，m＜0，n＞0，最小的数是（n+3）m；
（2）三个数2，2x+2，4﹣2x中最小的数是2；
（3）三个数2，x+1，2x的平均数与最小数相等．
【解答】解：（1）max{c﹣1，c，c+1}＝c+1．
∵m＜0，n＞0，
∴3m＜0，（n+3）m＝mn+3m＜0，﹣mn＞0，
∴﹣mn＞3n＞（n+3）m，
∴min{3m，（n+3）m，﹣mn}＝（n+3）m．
故答案是：c+1，（n+3）m；

（2）根据题意得；
解得 0≤x≤1．

（3）∵＝1+x，
则．
解得 x＝1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用．解题的关键是弄清新定义运算的法则．
15．（2020秋•红谷滩区校级月考）阅读下列材料：
解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，又∵x＞1，∴y+2＞1，y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a﹣b＝4，且b＜2，a+b的取值范围；
（3）已知a﹣b＝m（m是大于0的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）
【分析】（1）先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可；
（2）分别求a、b的取值，相加可得结论；
（3）先化为a＝b+m，代入2a+b中，并根据b≤1，可得最大值．
【解答】解：（1）解这个方程组的解为：，
由题意，得 ，
则原不等式组的解集为a＞1；
（2）∵a﹣b＝4，a＞1，
∴a＝b+4＞1，
∴b＞﹣3，
∴a+b＞﹣2；
又∵a+b＝2b+4，b＜2，
∴a+b＜8．
故﹣2＜a+b＜8；
（3）∵a﹣b＝m，
∴a＝b+m．
由∵b≤1，
∴2a+＝2（b+m）+b≤2m+ b．
∴2a+b的最大值为2m+．
【点评】本题考查了不等式组的解的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
16．（2020春•长安区校级期末）某公司准备把240吨白砂糖运往A、B两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖，相关数据见表：

载重量
运往A地的费用
运往B地的费用
大车
15吨/辆
630元/辆
750元/辆
小车
10吨/辆
420元/辆
550元/辆
（1）求大、小两种货车各用多少辆？
（2）如果安排10辆货车前往A地，其中大车有m辆，其余货车前往B地，且运往A地的白砂糖不少于130吨．
①求m的取值范围；
②请设计出总运费最少的货车调配方案，并求最少总运费．
【分析】（1）设大车货x辆，则小货车（20﹣x）辆，根据“大车装的货物数量+小车装的货物数量＝240吨”作为相等关系列方程即可求解；
（2）①调往A地的大车m辆，小车（10﹣m）辆；调往B地的大车（8﹣m）辆，小车（m+2）辆，根据“运往A地的白砂糖不少于130吨”列关于m的不等式求出m的取值范围，
②设总运费为W元，根据运费的求算方法列出关于运费的函数关系式W＝10m+11300，再结合一次函数的单调性得出w的最小值即可求解．
【解答】解：（1）设大货车x辆，则小货车有（20﹣x）辆，
15x+10（20﹣x）＝240，
解得：x＝8，
20﹣x＝20﹣8＝12（辆），
答：大货车用8辆．小货车用12辆；

（2）①调往A地的大车有m辆，则到A地的小车有（10﹣m）辆，由题意得：
15m+10（10﹣m）≥130，
解得：m≥6，
∵大车共有8辆，
∴6≤m≤8；

②设总运费为W元，
∵调往A地的大车有m辆，则到A地的小车有（10﹣m）辆，
∴到B的大车（8﹣m）辆，到B的小车有[12﹣（10﹣m）]＝（2+m）辆，
W＝630m+420（10﹣m）+750（8﹣m）+550（2+m），
＝630m+4200﹣420m+6000﹣750m+1100+550m，
＝10m+11300．
又∵W随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w最小．
当m＝6时，W＝10×6+11300＝11360．
因此，应安排6辆大车和4辆小车前往A地，安排2辆大车和8辆小车前往B地，最少运费为11360元．
【点评】本题考查了一元一次方程、一次函数和一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出相关的式子是解题的关键．注意本题中所给出的相等关系和不等关系关键语句“现用大，小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖”“运往A地的白砂糖不少于130吨”等．
17．（2020春•沭阳县期末）为了更好地保护环境，治理水质，我区某治污公司决定购买12台污水处理设备，现有A、B两种型号设备，A型每台m万元； B型每台n万元，经调查买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元．
（1）求m、n的值．
（2）经预算，该治污公司购买污水处理器的资金不超过158万元．该公司A型设备最多能买台？
【分析】（1）根据：“买一台A型设备比买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元”列方程组求解可得；
（2）根据：“购买污水处理器的资金不超过158万元”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：，
解得：，
答：m的值为14，n的值为11；

（2）设A型设备买x台，
根据题意，得：14x+11（12﹣x）≤158，
解得：x≤8，
答：A型设备最多买8台．
【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意，将相等关系或不等关系转化为方程或不等式是关键．
18．（2020春•雅安期末）北京奥运会期间，某旅行社组团去北京观看某场足球比赛，入住某宾馆．已知该宾馆一楼房间比二楼房间少5间，该旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间住4人，房间不够，每间住5人，有房间没住满．若全部安排在二楼，每间住3人，房间不够，每间住4人，则有房间没住满．你能根据以上信息确定宾馆一楼有多少房间吗？

【分析】本题可设1楼有x间房，则2楼有x+5间房，再根据题意可列出不等式：4x＜48，5x＞48，且3（x+5）＜48，4（x+5）＞48，再分别计算出x的取值，在数轴上表示出来，看相交的部分有哪些即为答案．
【解答】解：
设1楼有x间房，则2楼有x+5间房，
根据题意有：4x＜48，x＜12，
5x＞48，x＞9.6，
且3（x+5）＜48，即x＜11，
4（x+5）＞48，x＞7．
在数轴上可表示为：

所以9.6＜x＜11
因此x＝10
答：一楼有10间房．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要结合数轴来判断．
19．（2019秋•唐河县期中）甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同．甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%收取；乙商场规定：凡超过500元的电器，超出的金额按95%收取．某顾客购买的电器价格是x元．
（1）当x＝850时，该顾客应选择在　乙　商场购买比较合算．
（2）当x＞1700时，分别用含x的代数式表示在两家商场购买电器所需付的费用．
（3）当x＝1700时，该顾客应选择哪一家商场购买比较合算？说明理由．
【分析】（1）当x＝850时，在甲商场没有优惠，在乙商场有优惠，故在乙商场买合算；
（2）当x＞1000时：在甲商场的费用是：1000+超过1000元的部分×90%；在乙商场的费用是：500+超过500元的部分×95%＝0.95x+25；
（3）把x＝1700代入（2）中的代数式计算出结果进行比较即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：当x＝850时，在甲商场没有优惠，在乙商场有优惠，费用是：500+（850﹣500）×95%＝8332.5（元），
故在乙商场买合算；
故答案为：乙
（2）当x＞1000时：在甲商场的费用是：1000+（x﹣1000）×90%＝0.9x+100；
在乙商场的费用是：500+（x﹣500）×95%＝0.95x+25；
（3）把x＝1700代入（2）中的两个代数式：
0.9x+100＝0.9×1700+100＝1630，
0.95x+25＝0.95×1700+25＝1640，
∵1640＞1630，
∴选择甲商场合算．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，分清两个商场的收费方式．
20．（2019春•阜平县期末）解决问题．
学校要购买A，B两种型号的足球，按体育器材门市足球销售价格（单价）计算：若买2个A型足球和3个B型足球，则要花费370元，若买3个A型足球和1个B型足球，则要花费240元．
（1）求A，B两种型号足球的销售价格各是多少元/个？
（2）学校拟向该体育器材门市购买A，B两种型号的足球共20个，且费用不低于1300元，不超过1500元，则有哪几种购球方案？
【分析】（1）设A，B两种型号足球的销售价格各是a元/个，b元/个，由若买2个A型足球和3个B型足球，则要花费370元，若买3个A型足球和1个B型足球，则要花费240元列出方程组解答即可；
（2）设购买A型号足球x个，则B型号足球（20﹣x）个，根据费用不低于1300元，不超过1500元，列出不等式组解答即可．
【解答】解：（1）设A，B两种型号足球的销售价格各是a元/个，b元/个，由题意得

解得
答：A，B两种型号足球的销售价格各是50元/个，90元/个．
（2）设购买A型号足球x个，则B型号足球（20﹣x）个，由题意得
，
解得7.5≤x≤12.5
∵x是整数，
∴x＝8、9、10、11、12，
有5种购球方案：
购买A型号足球8个，B型号足球12个；
购买A型号足球9个，B型号足球11个；
购买A型号足球10个，B型号足球10个；
购买A型号足球11个，B型号足球9个；
购买A型号足球12个，B型号足球8个．
【点评】此题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的实际运用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
21．（2019春•思明区校级期中）一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m3的土方，在前两天共完成了120m3后，接到要求要提前2天完成挖掘任务，问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方？
【分析】设以后几天内，平均每天要挖掘xm3土方，根据题意可知原定在10天，已经干了两天，还要求提前2天，即为要6天至少挖掘（600﹣120）m3的土方，根据题意可得不等式（10﹣2﹣2）x≥600﹣120，解不等式即可．
【解答】解：设以后几天内，平均每天要挖掘xm3土方，由题意得：
（10﹣2﹣2）x≥600﹣120，
解得：x≥80，
即以后几天内，平均每天要挖掘80m3土方，
答：以后几天内，平均每天要挖掘80m3土方．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，清楚600m3的土方到底要用几天干完．
22．（2019春•盱眙县期末）阅读下列材料：
解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，又∵x＞1，∴y+2＞1y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a﹣b＝4，且b＜2，求a+b的取值范围；
（3）已知a﹣b＝m（m是大于0的常数），且b≤1，求最大值．（用含m的代数式表示）
【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a+b的取值范围；
（3）根据（1）的解题过程求得a、b取值范围；结合限制性条件得出结论即可．
【解答】解：（1）解这个方程组的解为 ，
由题意，得 ，
则原不等式组的解集为a＞1；
（2）∵a﹣b＝4，a＞1，
∴a＝b+4＞1，
∴b＞﹣3，
∴a+b＞﹣2，
又∵a+b＝2b+4，b＜2，
∴a+b＜8．
故﹣2＜a+b＜8；
（3）∵a﹣b＝m，
∴a＝b+m．
由∵b≤1，
∴＝2（b+m）+b≤2m+．
最大值为2m+．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
23．（2018春•宿豫区期末）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得①或②
解①得：x＞解②得：x＜﹣3
∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．
请仿照上述方法求不等式（2x﹣4）（x+1）＜0的解集．
【分析】先根据异号两数相乘，积为负得出两个不等式组，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：根据“异号两数相乘，积为负”
可得：①或②，
解①得：﹣1＜x＜2，
解②得：不等式组无解
∴原不等式的解集为：﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据异号两数相乘，积为负得出两个不等式组是解此题的关键．
24．（2018春•相城区期末）某商场购进A、B两种型号的智能扫地机器人共60个，这两种机器人的进价、售价如表所示．
类型
价格
A型
B型
进价（元/个）
2000
2600
售价（元/个）
2800
3700
（1）若恰好用掉14.4万元，那么这两种机器人各购进多少个？
（2）在每种机器人销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批智能扫地机器人的总利润不少于53000元，问至少需购进B型智能扫地机器人多少个？
【分析】（1）设购进A型智能扫地机器人x个，购进B型智能扫地机器人y个，根据总价＝单价×数量结合购进A、B两种型号的智能扫地机器人60个共花费14.4万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B型智能扫地机器人m个，则购进A型智能扫地机器人（60﹣m）个，根据总利润＝单台利润×购进数量结合总利润不少于53000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中最小的整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A型智能扫地机器人x个，购进B型智能扫地机器人y个，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A型智能扫地机器人20个，购进B型智能扫地机器人40个．
（2）设购进B型智能扫地机器人m个，则购进A型智能扫地机器人（60﹣m）个，
根据题意得：（3700﹣2600）m+（2800﹣2000）（60﹣m）≥53000，
解得：m≥．
∵m为整数，
∴m≥17．
答：至少需购进B型智能扫地机器人17个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（2018春•江都区期末）已知方程的解x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式2ax+x＜2a+1的解为x＞1，求整数a的值．
【分析】（1）先解方程组求出x、y，再根据x为非正数，y为负数列出不等式组，求解即可得到a的取值范围；
（2）根据不等式的解法，不等式两边都除以2a+1，不等号的方向改变，2a+1＜0，列式求解即可．
【解答】解：（1），
①+②得，2x＝﹣6+2a，
解得：x＝a﹣3，
①﹣②得，2y＝﹣8﹣4a，
解得y＝﹣2a﹣4，
∵x为非正数，y为负数，
∴，
由①得，a≤3，
由②得，a＞﹣2，
所以a的取值范围是﹣2＜a≤3；

（2）∵2ax+x＜2a+1的解为x＞1，
∴2a+1＜0，
∴a＜﹣，
又∵﹣2＜a≤3，
∴整数a的值为﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式的解法，先把a看作常数，表示出x、y是解题的关键．
26．（2019•武汉模拟）某校两次购买足球和篮球的支出情况如表：

足球（个）
篮球（个）
总支出（元）
第一次
2
3
310
第二次
5
2
500
（1）求购买一个足球、一个篮球的花费各需多少元？（请列方程组求解）
（2）学校准备给帮扶的贫困学校送足球、篮球共计60个，恰逢市场对两种球的价格进行了调整，足球售价提高了10%，篮球售价降低了10%，如果要求一次性购得这批球的总费用不超过4000元，那么最多可以购买多少个足球？
【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，根据题意列出不等式解答即可
【解答】解：（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球的花费需要y元，
根据题意，得，
解得：．
答：购买一个足球和一个篮球的花费各需要80和50元；

（2）设购买a个足球，根据题意，得：
（1+10%）×80a+（1﹣10%）×50（60﹣a）≤4000，
解得：a≤，
又∵a为正整数，
∴a的最大值为30．
答：最多可以购买30个足球．
【点评】本题考查了二元一次方程组的一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
27．（2019春•姑苏区期末）有这样的一列数a1、a2、a3、…、an，满足公式an＝a1+（n﹣1）d，已知a2＝97，a5＝85．
（1）求a1和d的值；
（2）若ak＞0，ak+1＜0，求k的值．
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即a2＝a1+（2﹣1）d，a5＝a1+（5﹣1）d根据这两个等量关系分别求得a1和d的值；
第二问中求k的值，用到一元一次不等式，分别两个不等式，求得k的取值范围，最后求得k的值．
【解答】解：（1）依题意有：
解得：

（2）依题意有：
解得：，
∵k取整数，∴k＝26．
答：a1和d的值分别为101，﹣4；k的值是26．
【点评】解答本题的关键是先根据二元一次方程组求出a1和d的值，再根据公式列一元一次不等式组求得k的值．
28．（2018春•江都区期末）为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师所在的学校需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：

足球数量（个）
篮球数量（个）
总费用（元）
第一次
6
5
750
第二次
3
7
780
第三次
7
8
742
（1）张老师是第　三　次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；
（2）求足球和篮球的标价；
（3）如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，张老师决定从该商场一次性购买足球和篮球50个，且总费用不能超过2200元，那么最多可以购买多少个篮球．
【分析】（1）根据图表可得按打折价购买足球和篮球是第三次购买；
（2）设足球的标价为x元，篮球的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值；
（3）设购买a个篮球，根据从该商场一次性购买足球和篮球50个，且总费用不能超过2200元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．
理由：∵张老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买，
且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，
∴按打折价购买足球和篮球是第三次购买；
故答案为：三；

（2）设足球的标价为x元，篮球的标价为y元．
根据题意，得，
解得：．
答：足球的标价为50元，篮球的标价为90元；

（3）设购买a个篮球，依题意有
0.6×50（50﹣a）+0.6×90a≤2200，
解得a≤29．
故最多可以买29个篮球．
【点评】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
29．（2018春•姜堰区期末）某学校为了改善办学条件，计划购置一批A型电脑和B型电脑．经投标发现，购买1台A型电脑比购买1台B型电脑贵500元；购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13500元．
（1）购买1台A型电脑和1台B型电脑各需多少元？
（2）根据学校实际情况，需购买A、B型电脑的总数为50台，购买A、B型电脑的总费用不超过145250元．
①请问A型电脑最多购买多少台？
②从学校教师的实际需要出发，其中A型电脑购买的台数不少于B型电脑台数的3倍，该校共有几种购买方案？试写出所有的购买方案．
【分析】（1）设购买1台A型电脑需要x元，购买1台B型电脑需要y元，根据“购买1台A型电脑比购买1台B型电脑贵500元；购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13500元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买A型电脑m台，则购买B型电脑（50﹣m）台，根据总价＝单价×数量结合购买A、B型电脑的总费用不超过145250元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可得出结论；
②设购买A型电脑m台，则购买B型电脑（50﹣m）台，根据A型电脑购买的台数不少于B型电脑台数的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合①的结论即可找出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买1台A型电脑需要x元，购买1台B型电脑需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买1台A型电脑需要3000元，购买1台B型电脑需要2500元．
（2）①设购买A型电脑m台，则购买B型电脑（50﹣m）台，
根据题意得：3000m+2500（50﹣m）≤145250，
解得：m≤40.5，
∵m为整数，
∴m≤40．
答：A型电脑最多购买40台．
②设购买A型电脑m台，则购买B型电脑（50﹣m）台，
根据题意得：m≥3（50﹣m），
解得：m≥37.5，
∵m为整数，
∴m≥38．
∴有3种购买方案，方案一：购买A型电脑38台，B型电脑12台；方案二：购买A型电脑39台，B型电脑11台；方案三：购买A型电脑40台，B型电脑10台．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
30．（2018春•迁安市期末）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年5月1日起对居民生活用电试行新的“阶梯电价”收费，具体收费标准如表：
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过150千瓦时的部分
a
超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分
b
超过300千瓦时的部分
a+0.5
2016年5月份，该市居民甲用电200千瓦时，交费170元；居民乙用电400千瓦时，交费400元．
（1）求上表中a、b的值：
（2）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.85元？
【分析】（1）利用居民甲用电200千瓦时，交电费170元；居民乙用电400千瓦时，交电费400元，列出方程组并解答；
（2）根据当居民月用电量0≤x≤150时，0.8x≤0.85x，当居民月用电量x满足150＜x≤300时，150×0.8+x﹣150≤0.85x，当居民月用电量x满足x＞300时，150×0.8+300×1+（x﹣300）×1.3≤0.85x，分别得出即可．
【解答】解：（1）依题意得出：，
解得：．
故：a＝0.8；b＝1．

（2）设试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电x千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.85元．
当居民月用电量0＜x≤150时，
0.8x≤0.85x，故x≥0，
当居民月用电量x满足150＜x≤300时，
150×0.8+x﹣150≤0.85x，
解得：150≤x≤200，
当居民月用电量x满足x＞300时，
150×0.8+150×1+（x﹣300）×1.3≤0.85x，
解得：x≤，不符合题意．
综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过200千瓦时时，其月平均电价每千瓦时不超过0.85元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及分段函数的应用，根据自变量取值范围不同得出x的取值是解题关键．