江苏七年级数学下学期期中精选50题（压轴版）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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江苏七年级数学下学期期中精选50题（压轴版）

一．选择题（共2小题）
1．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
2．（2014•邹城市校级模拟）为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（　　）
A．52013﹣1 B．52013+1 C． D．
【分析】根据题目所给计算方法，令S＝1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．
【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52012，
则5S＝5+52+53+…+52012+52013，
5S﹣S＝﹣1+52013，
4S＝52013﹣1，
则S＝．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
3．（2021秋•河东区校级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是　α+β　．

【分析】利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题即可．
【解答】解：∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（α+β），
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（α+β）]＝α+β﹣90°，
∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α+β
故填α+β．

【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件，同时考查了四边形内角和定理．垂直和直角总是联系在一起．
4．（2021春•高邮市期中）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A4B4C4，则其面积S4＝　194（或130321）　．

【分析】根据等底的三角形高的比等于面积比推出△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，则△A1B1B的面积是△A1BC面积的3倍…，以此类推，得出可得到△A4B4C4的面积．
【解答】解：连接A1C，根据A1B＝2AB，得到：AB：A1A＝1：3，

因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，
因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，
设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，
同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，
则△A1B1B的面积是6a，
同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，
△A1B1C1的面积是19a，
即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，
同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，
即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192，
依此类推，△A4B4C4面积S4＝194．
故答案为：194 （或130321）．
【点评】考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键，本题的难度较大．
5．（2021春•姑苏区期中）图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…依此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　180﹣　（用含a和n的代数式表示）

【分析】由折叠的性质折叠n次可得∠RnBnRn+1，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案．
【解答】解：由折叠的性质折叠n次可得∠RnBnRn+1＝＝
在四边形内有四边形的内角和为360°知：∠BRnN＝360＝180
∴∠ARnN＝∠BRnN﹣∠RnRn+1B＝180°﹣﹣＝180﹣．
故答案为：180﹣．
【点评】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键．
6．（2020秋•龙岗区期末）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En＝1度，那∠BEC等于　2n　度．

【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE；先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；同理可得∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C＝∠BEC；…据此得到规律∠En＝∠BEC，最后求得∠BEC的度数．
【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；
…
以此类推，∠En＝∠BEC．
∴当∠En＝1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．


【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
7．（2019春•溧水区期中）计算：22018•（﹣）2019＝　﹣　．
【分析】（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）；（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）．
【解答】解：原式＝22018•（﹣）2018•（﹣）
＝[2×]2018
＝（﹣1）2018
＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练运用公式是解题的关键．
8．（2021秋•龙凤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 　等腰三角形　．
【分析】把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b＝c，才能说明这个三角形是等腰三角形．
【解答】解：b2+2ab＝c2+2ac，
a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，
（a+b）2＝（a+c）2，
a+b＝a+c，
b＝c，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点评】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键．
三．解答题（共42小题）
9．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．
【分析】（1）作PH∥AB，又AB∥CD，根据平行线的性质、对顶角相等解答；
（2）根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算；
（3）利用（2）的结论、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）作PH∥AB，又AB∥CD，
则PH∥CD，
∴∠PFD＝∠MPH，∠AEM＝∠HPM，
∵∠MPN＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠PFD＝∠PHB，
∵∠PHB﹣∠PEB＝90°，∠PEB＝∠AEM，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）由（2）得，∠PFD＝90°+∠PEH＝120°，
∴∠N＝180°﹣∠DON﹣∠PFD＝45°．


【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用、三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、正确作出辅助性是解题的关键．
10．（2021春•广陵区校级期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】
（1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝　40　°；
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　75°或90　°；
（3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（4）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
【分析】（1）分为两种情况：当BD是“邻AB三分线”时，当BD′是“邻BC三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可；
（2）求出∠PBC+∠PCB＝90°，根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线求出∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，求出∠ABC+∠ACB＝135°，再求出∠A即可；
（3）画出符合的所有情况，①当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，②当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，③当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，④当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，
∴∠ABD＝∠DBE＝∠EBC＝ABC＝60°＝20°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DAE＝20°+20°＝40°，
故答案为：40；
（2）如图，

当BD是“邻AB三分线”时，
∵∠A＝60°，∠ABC＝45°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝60°+×45°＝75°；
当BD′是“邻BC三分线”时，
∵∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠BDC′＝∠A+∠ABD′＝60°+×45°＝90°；
综上所述，∠BDC＝75°或90°，
故答案为：75或90；


（2）如图，

∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°；

（3）分为四种情况：
情况一：如图1，

当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可得：∠PCD＝∠ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m°+n°）﹣n°＝m°；
情况二：如图2，

当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可知：∠PCD＝∠ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m°+n°）﹣n°＝；
情况三、

当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
当m°＞n°时，如图3，
由外角可得：∠PCD＝ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m°+n°）﹣n°＝；
当α＜β时，如图4，

由外角及对顶角可得：∠DCE＝∠PCB＝∠ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠FBC﹣∠PCB＝n°﹣（m°+n°）＝；
情况四、如图5，

当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
由外角可得：∠PCD＝ACD＝（m°+n°），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m°+n°）﹣n°＝m°；
综合上述：∠BPC的度数是m°或或或或m°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，分类讨论思想的运用是解题的关键．
11．（2021春•满洲里市期末）完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD
证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝　∠PEF　（　两直线平行，内错角相等　）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝　90°　（　垂直的定义　）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝　∠QEF　
∴EF∥　CD　（　内错角相等，两直线平行　）
∴AB∥CD（　平行于同一直线的两直线互相平行　）

【分析】根据平行线的性质得到∠APE＝∠PEF，根据余角的性质得到∠EQC＝∠QEF根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝∠PEF（两直线平行，内错角相等）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝∠QEF
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），
故答案为：∠PEF，两直线平行，内错角相等，90°，∠QEF，内错角相等，两直线平行，CD，平行于同一直线的两直线互相平行．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
12．（2021春•射洪市期末）∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　135　°；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝　45　°；
②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）①当∠EAF＝3∠E时，②当∠EAF＝3∠F时，③当∠F＝3∠E时，④当∠E＝3∠F时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠ABN＝150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE＝135°，
∴，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°；
②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°，
此时∠ABO＝120°＞90°，舍去；
③当∠F＝3∠E时，得，
此时∠ABO＝45°；
④当∠E＝3∠F时，得，
此时∠ABO＝135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
13．（2021春•青龙县期末）如图①，∠MON＝80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分线交于点C．

（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
（3）若∠MON＝n，请直接写出∠ACB＝　90°+　；∠E＝　　．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠CAB+∠CBA的度数，再根据三角形内角和是180°即可求解；
（2）根据AD是∠MAB的平分线，AC平分∠OAB．可知∠CAD＝90°，∠CAE＝90°，再根据三角形内角和是180°即可求解
（3）仿照（1）（2）中的计算方法即可得到∠ACB＝90°+，∠E＝．
【解答】解：（1）∠ACB的大小不变．
在△AOB中，由∠AOB＝80°，得∠OAB+∠OBA＝100°，
因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB＝∠OAB，∠CBA＝∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA＝（∠OAB+∠OBA）＝×100°＝50°，
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣50°＝130°；

（2）∠E的大小不变．
证明：因为AC、AD分别平分∠OAB和∠BAM，
所以∠CAB＝∠OAB，∠DAB＝∠BAM，
所以∠CAB+∠DAB＝（∠OAB+∠BAM）＝×180°＝90°，
即∠CAD＝90°，
所以∠CAE＝90°，
又由（1）可知∠ACB＝130°，
所以∠ACE＝50°，
在△AEC中，由∠CAE＝90°，∠ACE＝50°，得
∠E＝180°﹣90°﹣50°＝40°；

（3）∠ACB＝90°+，∠E＝．
理由：因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB＝∠OAB，∠CBA＝∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA＝（∠OAB+∠OBA），
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（180°﹣∠AOB）＝90°+∠AOB＝90°+；
因为BC、AD分别平分∠OBA和∠BAM，
所以∠ABE＝∠OBA，∠DAB＝∠BAM，
因为∠BAM是△ABO的外角，
所以∠O＝∠BAM﹣∠ABO，
∵∠DAB是△ABE的外角，
∴∠E＝∠DAB﹣∠ABE＝∠BAM﹣∠OBA＝（∠BAM﹣∠ABO）＝∠O＝n．
故答案为：90°+，．

【点评】本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质的运用，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°．
14．（2020春•相城区期中）如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝　3　，（4，1）＝　0　（2，0.25）＝　﹣2　；
（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．
【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可；
（2）根据已知得出3a＝5，3b＝6，3c＝30，求出3a×3b＝30，即可得出答案．
【解答】解：（1）（3，27）＝3，（4，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2，
故答案为：3，0，﹣2；

（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的混合运算等知识点，能灵活运用同底数幂的乘法法则进行变形是解此题的关键．
15．（2019春•泉山区校级期中）基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x＝222，得出1+7x＝22，求解即可；
②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x＝4，求解即可．
【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，
∴1+7x＝22，
∴x＝3；

②∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
16．（2017春•惠山区期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）＝　3　，（5，1）＝　0　，（2，）＝　﹣2　．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【解答】解：（1）∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
∵50＝1，
∴（5，1）＝0；
∵2﹣2＝，
∴（2，）＝﹣2；
（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，
则3x＝4，3y＝5，
∴3x+y＝3x•3y＝20，
∴（3，20）＝x+y，
∴（3，4）+（3，5）＝（3，20）．
故答案为：3，0，﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
17．（2021秋•沛县期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．
（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是 　630　，S1﹣S2的值为 　63　；
（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S1﹣S2的值；
（3）若AB长度保持不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，当a、b满足什么关系时，S1﹣S2的值与AD的长度无关？

【分析】（1）根据长方形的面积公式，直接计算即可；求出S1和S2的面积，相减即可；
（2）用含a、b的式子表示出S1和S2的面积，即可求得结论；
（3）用含a、b、AD的式子表示出S1﹣S2，根据S1﹣S2的值与AD的值无关，整理后，让AD的系数为0即可．
【解答】解：（1）长方形ABCD的面积为30×（4×3+9）＝630；
S1﹣S2＝（30﹣9）×4×3﹣（30﹣3×3）×9＝63；
故答案为：630，63；
（2）S1﹣S2＝4b（40﹣a）﹣a（40﹣3b）
＝160b﹣4ab﹣40a+3ab
＝160b﹣ab﹣40a；
（3）∵S1﹣S2＝4b（AD﹣a）﹣a（AD﹣3b），
整理，得：S1﹣S2＝（4b﹣a）AD﹣ab，
∵S1﹣S2的值与AD的值无关，
∴4b﹣a＝0，
解得：a＝4b．
即a，b满足的关系是a＝4b．
【点评】此题考查了整式的混合运算，列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．
（1）举出反例说明该式不一定成立；
（2）计算（x﹣y）3；
（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．
【分析】（1）举反例x＝5，y＝2即可；
（2）运用完全平方公式计算；
（3））由（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，可知当﹣3x2y+3xy2＝0时，（x﹣y）3＝x3﹣y3，所以x＝0或y＝0或x＝y时，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立．
【解答】解：（1）当x＝5，y＝2时，
（x﹣y）3＝（5﹣2）3＝27，x3﹣y3＝53﹣23＝117，
∴（x﹣y）3＝x3﹣y3不成立．
（2）（x﹣y）3
＝（x﹣y）（x﹣y）2
＝（x﹣y）（x2﹣2xy+y2）＝x3﹣2x2y+xy2﹣x2y+2xy2﹣y3
＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3；
（3）∵（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，
∴当﹣3x2y+3xy2＝0时，（x﹣y）3＝x3﹣y3，
∴﹣3xy（x﹣y）＝0，
∴x＝0或y＝0或x＝y时，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，正确运用完全平方公式和乘法公式是解题的关键．
19．（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；
（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足　a＝2b　时，S为定值，且定值为　a2　．（用含a或b的代数式表示）

【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片5张；
（3）设DG长为x，求出S1，S2即可解决问题．
【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）如图，

（3）设DG长为x．
∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，
∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2，
由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2为定值，
故答案为：a＝2b，a2．
【点评】本题考查完全平方公式，正方形、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
20．（2021春•宽城县期末）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝　﹣　；
（2）代数式为完全平方式，则k＝　±3　；
（3）解方程：＝6x2+7．
【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；
（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
＝﹣6÷4
＝﹣．
故答案为：﹣；

（2）
＝[x2+（3y）2]+xk•2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案为：±3；

（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
21．（2020秋•南通期中）阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝　x﹣1　，DF＝　x﹣3　；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．

【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF；
②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
22．（2020春•锡山区期中）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（3a﹣b）2+5a（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣1．
【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4a2+4ab+b2﹣9a2+6ab﹣b2+5a2﹣5ab＝5ab，
当a＝1，b＝﹣1时，原式＝﹣5．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2019秋•郾城区期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　C　
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　（x﹣2）4　
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式；
（2）该同学分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解；
（3）仿照题中方法将原式分解即可．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择C，
故答案为：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x﹣2）4；
故答案为：不彻底；（x﹣2）4；
（3）原式＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
24．（2019秋•莱山区期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．
【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；
（2）根据a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．
【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，
∴（x+y）2+（y+1）2＝0，
∴x+y＝0，y+1＝0，
解得，x＝1，y＝﹣1，
∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；
（2）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得
b2+4b+c2﹣6c+13＝0，
∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，
∴b+2＝0，c﹣3＝0，
解得，b＝﹣2，c＝3，
∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，
∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．
【点评】本题考查因式分解的应用、非负数的性质﹣偶次方，解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．
25．（2020春•天桥区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
①图2中的阴影部分的面积为　（b﹣a）2　；
②观察图2请你写出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　；
③根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则（x﹣y）2＝　16　；
④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．
如图3，你发现的等式是　（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2　．

【分析】①表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；
②根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；
③将（x﹣y）2变形为（x+y）2﹣4xy，再代入求值即可；
④根据大长方形的面积等于各部分的面积之和列式整理即可．
【解答】解：①（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③当x+y＝5，x•y＝时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝52﹣4×
＝16；
④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：①（b﹣a）2；②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；③16；④（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，此类题目关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．
26．（2020春•高新区期中）阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2，
得2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014．
将下式减去上式，得2S﹣S＝22014一1
即S＝22014一1，
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014一1
仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+…+3100
（2）1++…+．
【分析】（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，两边乘以3得出3S＝3+32+33+34+35+…+3100+3101，将下式减去上式即可得出答案；
（2）设S＝1++++…+，两边乘以得出S＝++…+，将下式减去上式即可得出答案．
【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，
两边乘以3得：3S＝3+32+33+34+35+…+3100+3101，
将下式减去上式，得3S﹣S＝3101﹣1
即S＝，
即1+3+32+33+34+…+3100＝

（2）设S＝1++++…+，
两边乘以得：S＝++…+，
将下式减去上式得：﹣S＝﹣1，
解得：S＝2﹣，
即1++++…+＝2﹣．
【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，能读懂题意是解此题的关键，主要培养学生的理解能力．
27．（2019秋•平山县期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【分析】（1）根据x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程组求出即可；
（2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．
【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5

（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），
＝（x+1）（x+2）2．
解法二：把x＝﹣2代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+2）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝3，b＝2，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+2）（x2+3x+2），
＝（x+1）（x+2）2．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
28．（2020春•扬中市期中）先阅读，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式．
【分析】根据材料，找出规律，再解答．
【解答】解：x4+64，
＝x4+16x2+64﹣16x2，
＝（x2+8）2﹣16x2，
＝（x2+8）2﹣（4x）2，
＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）．
【点评】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．
29．（2019春•秦淮区期中）完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到（a+b）n（n为非负整数）的计算结果，如果将（a+b）n（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1、1；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1、2、1；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3它有四项，系数分别为1、3、3、1；
如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：
（1）尝试写出（a+b）4的结果，并验证；
（2）请直接写出（a+b）5共有　6　项，各项系数的和等于　32　；
（3）（a+b）n（n为非负整数）共有　（n+1）　项，各项系数的和等于　2n　；
（a﹣b）n（n为正整数）各项系数的和等于　0　．

【分析】（1）根据规律写出（a+b）4的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可；
（2）根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可；
（3）根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和，（a﹣b）n的各项系数的和即可．
【解答】解：（1）（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
验证：（a+b）4
＝（a+b）2（a+b）2
＝（a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）
＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．

（2）根据规律可得，（a+b）5共有6项，
各项系数分别为：1，5，10，10，5，1，
它们的和等于32；

（3）根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1＝20，
1+1＝21，
1+2+1＝22，
1+3+3+1＝23，
∴（a+b）n各项系数的和等于2n；
∵1﹣1＝0，
1﹣2+1＝0，
1﹣3+3﹣1＝0，
∴（a﹣b）n各项系数的和等于0．
故答案为：6，32；（n+1），2n；0．
【点评】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．
30．（2019秋•江阴市期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 　m﹣n　；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法①　（m﹣n）2　；
方法②　（m+n）2﹣4mn　；
（3）观察图②，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a﹣b＝6，ab＝5，求（a+b）2．
【分析】（1）依据小长方形的边长，即可得到图②中的阴影部分的正方形的边长；
（2）依据正方形的面积计算公式以及间接法，即可表示出图②中阴影部分的面积；
（3）依据（2）中的结论，即可得到（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；
（4）运用（3）中的关系式，即可得到（a+b）2的值．
【解答】解：（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；
故答案为：m﹣n；
（2）图②中阴影部分的面积：（m﹣n）2；
图②中阴影部分的面积：（m+n）2﹣4mn；
故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；
（3）根据图②，可得（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为：
（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）∵a﹣b＝6，ab＝5，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝62+4×5＝36+20＝56．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是通过几何图形面积之间的数量关系对公式做出几何解释．
31．（2018秋•伊通县期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【分析】（1）按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10．
（2x+a）（x+b）
＝2x2+2bx+ax+ab
＝2x2+（2b+a）x+ab
＝2x2﹣9x+10．
∴，
∴；
（2）（2x﹣5）（3x﹣2）
＝6x2﹣4x﹣15x+10
＝6x2﹣19x+10．
【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
32．（2019春•高淳区期中）已知x+y＝5，xy＝﹣3，求：
（1）x2+y2的值；
（2）（x﹣y）2的值．
【分析】（1）根据完全平方公式得出x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，代入求出即可；
（2）根据完全平方公式得出（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，代入求出即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝5，xy＝﹣3，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝52﹣2×（﹣3）
＝25+6
＝31；

（2）（x﹣y）2
＝（x+y）2﹣4xy
＝52﹣4×（﹣3）
＝25+12
＝37．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键，用了整体代入思想．
33．（2021秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是　20　°，当DP⊥OE时，x＝　70　；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；

（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，

∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
34．（2021春•江都区期中）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（m＞54），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
【分析】（1）根据题意可得当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；
（2）结合（1）根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，即可求∠A的度数；
（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A＝m°；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A＝m°；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，可得∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+18°；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，可得∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣18°，进而解答．
【解答】解：（1）如图，

当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝80°+15°＝95°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝80°+30°＝110°；
（2）在△BPC中，
∵∠BPC＝140°，
∴∠PBC+∠PCB＝40°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°；
（3）分4种情况进行画图计算：

情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m°；

情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠BPC＝∠A＝m°；

情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC＝∠A+∠ABC＝m°+18°；

情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
∠BPC＝∠A﹣∠ABC＝m°﹣18°；
综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°或m°+18°或m°﹣18°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键．
35．（2021春•南京期中）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD，　直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE　．
求证：　OE⊥OF　．
证明：

（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明；
（2）延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，结合（1）的方法即可证明；
（3）延长EM、FN交CD于点Q，过点O作OP∥CD交ME于点P．结合（1）的方法可得∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，再根据角平分线定义即可求出结果．
【解答】（1）已知：如图①，AB∥CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
求证：OE⊥OF；
证法1：∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠OEF+∠OFE＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝90°．
∴OE⊥OF；
证法2：如图，过点O作OP∥CD交直线MN于点P．

∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEF+∠CFE＝90°．
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
故答案为：直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE，OE⊥OF；
（2）证明：如图，延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，

∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
∵EM∥FN，
∴∠CGE＝∠CFN．
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠AEO+∠CFO＝∠AEM+∠CFN＝∠AEM+∠CGE＝90°，
∵OP∥CD，AB∥CD，
∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°．
∴OE⊥OF；
（3）解：如图，延长EM、FN交于点Q，过点O作OG∥CD交ME于点G．

∵EM∥PN，FN∥MP，
∴∠EQF＝∠EMP＝∠P＝102°，
由（1）证法2可知∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN，
∴∠EOF＝∠AEO+∠CFO
＝∠AEM+∠CFN＝×102°＝51°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
36．（2021春•高明区校级期末）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．

【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
37．（2020春•江阴市期中）初一（10）班数学学习小组“孙康映雪”在学习了第七章平面图形的认识（二）后对几何学习产生了浓厚的兴趣．请你认真研读下列三个片断，并完成相关问题．
如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．

【片断一】
（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝　180　°．
【片断二】
（2）小康说：连接BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．
【片断三】
（3）小雪说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．
【分析】（1）根据四边形的性质，可得答案；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解；
（3）根据补角的性质，可得∠CBM＝∠ODC，根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】解：（1）①由四边形内角的性质，得
∠OBC+∠ODC＝180°；
（2）∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵∠BOD＝∠C，
∴∠ODB＝∠CDB，
∴BD平分∠ODC；
（3）如图，延长DE交BF于G，
，
∵∠ODC+∠OBC＝∠CBM+∠OBC＝180，
∴∠CBM＝∠ODC，
∠CBM＝∠EBG＝∠ODC＝∠EDC．
∵∠BEG＝∠DEC，
∴△DEC∽△BEG，
∴∠BGE＝∠DCE＝90°，
∴DE垂直BF．
故答案为：180．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用相似三角形的判定与性质是解题关键；利用补角的性质得出∠NDC+∠CBM＝180°是解题关键．
38．（2015秋•厦门期末）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．
（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；
（2）当q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据已知条件可得a3＝2，代入可求p﹣q的值；
（2）根据作差法得到p﹣（a3+）＝2﹣n﹣，分三种情况：当n＝1时；当n＝2时；当n≥3时进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵a3+a﹣3＝p①，a3﹣a﹣3＝q②，
∴①+②得，2a3＝p+q＝4，
∴a3＝2；
①﹣②得，p﹣q＝2a﹣3＝＝1．

（2）∵q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整数），
∴q2＝（2n﹣2﹣n）2，
∴q＝2n﹣2﹣n，
又由（1）中①+②得2a3＝p+q，a3＝（p+q），
①﹣②得2a﹣3＝p﹣q，a﹣3＝（p﹣q），
∴p2﹣q2＝4，
p2＝q2+4＝（2n+2﹣n）2，
∴p＝2n+2﹣n，
∴a3+a﹣3＝2n+2﹣n③，
a3﹣a﹣3＝2n﹣2﹣n④，
∴③+④得2a3＝2×2n，
∴a3＝2n，
∴p﹣（a3+）＝2n+2﹣n﹣2n﹣＝2﹣n﹣，
当n＝1时，p＞a3+；
当n＝2时，p＝a3+；
当n≥3时，p＜a3+．
【点评】考查了负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．
39．（2016春•东台市期中）已知3x+2•5x+2＝153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值．
【分析】首先由3x+2•5x+2＝153x﹣4，可得3x+2•5x+2＝（15）x+2＝153x﹣4，即可得方程x+2＝3x﹣4，解此方程即可求得x的值，然后化简（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4，再将x＝3代入，即可求得答案．
【解答】解：∵3x+2•5x+2＝（15）x+2＝153x﹣4，
∴x+2＝3x﹣4，
解得：x＝3，
∴（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4
＝x2﹣2x+1﹣3x2+6x﹣4
＝﹣2x2+4x﹣3
＝﹣2×9+4×3﹣3
＝﹣9．
【点评】此题考查了积的乘方的性质与化简求值问题．此题难度适中，注意由3x+2•5x+2＝153x﹣4，得到方程x+2＝3x﹣4是解此题的关键．
40．（2021春•邗江区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝　1　．b＝　0　．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得a、b的值即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；
【解答】解：（1）∵a2+b2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a+1+b2＝0，
∴（a﹣1）2+b2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，
解得a＝1，b＝0；

（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，
∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9＝0
即：（x﹣y）2+（y+3）2＝0
则：x﹣y＝0，y+3＝0，
解得：x＝y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）﹣3＝﹣；

（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝1，b＝3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3＝7；
【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．
41．（2020秋•惠安县期中）南山植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为（x+y）米，宽为（x﹣y）米；B园区为正方形，边长为（x+3y）米．
（1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简；
（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加（11x﹣y）米，宽减少（x﹣2y）米，整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．
①求x、y的值；
②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游客的收益如表：

C
D
投入（元/平方米）
12
16
收益（元/平方米）
18
26
求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益＝收益﹣投入）
【分析】（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A、B两园区的面积，再相加即可求解；
（2）①根据等量关系：整改后A区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980米；列出方程组求出x，y的值；
②代入数值得到整改后A、B两园区的面积之和，再根据净收益＝收益﹣投入，列式计算即可求解．
【解答】解：（1）（x+y）（x﹣y）+（x+3y）（x+3y）
＝x2﹣y2+x2+6xy+9y2
＝2x2+6xy+8y2（平方米）
答：A、B两园区的面积之和为（2x2+6xy+8y2）平方米；
（2）（x+y）+（11x﹣y）
＝x+y+11x﹣y
＝12x（米），
（x﹣y）﹣（x﹣2y）
＝x﹣y﹣x+2y
＝y（米），
依题意有：
，
解得．
12xy＝12×30×10＝3600（平方米），
（x+3y）（x+3y）
＝x2+6xy+9y2
＝900+1800+900
＝3600（平方米），
（18﹣12）×3600+（26﹣16）×3600
＝6×3600+10×3600
＝57600（元）．
答：整改后A、B两园区旅游的净收益之和为57600元．
【点评】此题考查整式的混合运算，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系是解决问题的关键．
42．（2018秋•宁城县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　30　．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　156　．
【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）运用多项式乘多项式进行计算即可；
（3）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；
（4）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（5a+7b）（9a+4b）＝45a2+20ab+63ab+28b2＝45a2+28b2+83ab，即可得到x，y，z的值．
【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝102﹣2（ab+ac+bc），
＝100﹣2×35，
＝30．
故答案为：30；
（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵（5a+7b）（9a+4b），
＝45a2+20ab+63ab+28b2，
＝45a2+28b2+83ab，
∴x＝45，y＝28，z＝83．
∴x+y+z＝45+28+83＝156．
故答案为：156．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
43．（2019春•洪泽区期中）阅读并解决问题，对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了，此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”因式分解：a2﹣6a+8；
（2）若a+b＝5，ab＝6，求：a2+b2的值．
【分析】（1）首先添加9，再减去9，再把前三项利用完全平方公式进行分解，再次利用平方差进行分解即可；
（2）添加2ab，再减去2ab，再把前三项利用完全平方公式进行分解，再代入数据进行计算即可．
【解答】解：（1）a2﹣6a+8＝a2﹣6a+9﹣9+8＝（a﹣3）2﹣1＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1）＝（a﹣4）（a﹣2）；

（2）a2+b2＝a2+b2+2ab﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝25﹣12＝13．
【点评】此题主要考查了因式分解和完全平方公式，关键是正确理解题意，掌握完全平方公式．
44．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC．
【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；

（2）∠AKC＝∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC；

（3）∠AKC＝∠APC．
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，
∴∠AKC＝∠APC．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
45．（2020秋•阜平县期中）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝50°，求∠DAC及∠BOA的度数．

【分析】根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义进行解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵在△ACD中，∠C＝50°，
∴∠DAC＝90°﹣50°＝40°，
∵在△ABC中，∠C＝50°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝70°，
∵在△ABC中，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，∠FBC＝∠ABC＝35°，
∴∠BOA＝∠BEA+∠FBC＝∠C+∠EAC+∠FBC＝50°+30°+35°＝115°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
46．（2020春•东台市期中）如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′
（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是　BB′∥CC′，BB′＝CC′　
（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为　12　
（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有　10　个
（注：格点指网格线的交点）

【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；
（2）利用网格特点找出A′C′的中点D′，然后连接B′D′即可；
（3）根据平移的性质求解；
（4）利用平移的性质和平行四边形的面积公式求解；
（5）过点C作AB的平行线，然后找出此平行线上的格点即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）如图，中线B′D′为所作；
（3）BB′∥CC′，BB′＝CC′；
（4）△ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积＝4×3＝12；
（5）满足条件且异于点C的格点E共有10个．

故答案为BB′∥CC′，BB′＝CC′；12；10．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
47．（2020春•江都区期中）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；
（2）图中AC与A1C1的关系是：　平行且相等　；
（3）画出△ABC的AB边上的高CD；垂足是D；
（4）图中△ABC的面积是　8　．

【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
（2）根据平移的性质求解；
（3）利用网格特点，过点C画CD⊥AB于D；
（4）利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）AC＝A1C1，AC∥A1C1；
（3）如图，CD为所作；
（4）△ABC的面积＝5×7﹣×7×5﹣×5×1﹣×7×2＝8．
故答案为平行且相等；8．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
48．（2019秋•辽阳期末）已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．
（1）当α＝40°时，∠BPC＝　70　°，∠BQC＝　125　°；
（2）当α＝　60　°时，BM∥CN；
（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；
（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°　．

【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可；
（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数；
（4）分别∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解．
【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，
∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB＝55°，
∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB＝180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，
∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，
即（180°+α）＝180°，
解得α＝60°；
（3）∵α＝120°，
∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，
∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；
（4）∵α＞60°，
∠BPC＝90°﹣α、
∠BQC＝135°﹣α、
∠BOC＝α﹣45°．
∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．
故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
49．（2019春•高邑县期末）如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动（不与点O重合）．射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F．
（1）若∠AOB＝90°，CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，猜想：∠F的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由．
（2）若∠AOB＝α°（0＜α＜180），∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，则∠F＝　　°．（用含α、n的代数式表示）

【分析】（1）依据∠ACD是△OCD的外角，即可得到∠ACD﹣∠CDO＝∠AOB，再根据CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，可得∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，再根据∠ECD是△CDF的外角，即可得到∠F＝∠ECD﹣∠CDF，进而得到∠F的度数不变．
（2）利用（1）中的方法进行计算即可得到∠F的度数．
【解答】解：（1）∠F的度数不变．
∵∠ACD是△OCD的外角，
∴∠ACD﹣∠CDO＝∠AOB，
∵CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，
∵∠ECD是△CDF的外角，
∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF
＝∠ACD﹣∠CDO
＝（∠ACD﹣∠CDO）
＝∠AOB
＝45°，
∴∠F的度数不变．

（2）如图，∵∠ACD是△OCD的外角，
∴∠ACD﹣∠CDO＝∠AOB，
∵∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，且∠ECD是△CDF的外角，
∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF
＝∠ACD﹣∠CDO
＝（∠ACD﹣∠CDO）
＝∠AOB
＝
故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的外角的性质，以及三角形的内角和是180°的定理的运用．解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和．
50．（2019春•赣榆区期中）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝　70　°；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．

【分析】（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D＝∠AHE＝40°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°；
（2）依据AB∥CD，可得∠EAF＝∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG＝∠AED+∠EDG，即∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，进而得出∠EDK＝α﹣2°，依据∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，可得3α＝22°+2α﹣4°，求得∠EDK＝16°，即可得出∠EKD的度数．
【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AHE＝40°，
∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°，
故答案为：70；

（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．
理由：∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EHC，
∵∠EHC是△DEH的外角，
∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，
∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；

（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，
∴设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，
∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，
∴∠EDK＝α﹣2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，
即3α＝22°+2α﹣4°，
解得α＝18°，
∴∠EDK＝16°，
∴在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．