2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析--4.1 “隐圆”模型（与圆有关的模型）（精品课件）

这是一份2023年中考数学二轮复习必会几何模型剖析--4.1 “隐圆”模型（与圆有关的模型）（精品课件），共33页。PPT课件主要包含了定点定长型，定边对定角，定角夹定高，四点共圆，OAOBOC，定边对直角，设半径为r，∵OBOC，∴∠BOE60º，∴OE05r等内容，欢迎下载使用。

在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一---求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 本节课我们继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.
A、B、C,在以O为圆心,OA为半径的圆上.
到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆；
有几个点到同一个点的距离相等时,这儿就隐藏着一个圆,要想到构造圆.
【例1】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=50º,则∠CBD=_____.
原理：弦AB所对同侧圆周角相等.
条件：固定线段AB所对动角∠P为定值.
备注：点P在优弧,劣弧上皆可.
结论：点P运动轨迹为过A,B,P三点的圆.
定边对定角：固定的线段对应的角度固定叫定边对定角,也叫定弦定角,那么这个角的顶点轨迹为圆(一部分)．(1)如图,在⊙O中,若弦AB长度固定,则弦AB所对的圆周角都相等；
(2)有一固定线段AB及线段AB所对的∠P大小固定,根据圆的知识可知P点并不是唯一固定的点,至于点C是优弧还是劣弧取决于∠P的大小,小于90º,则P在优弧上运动；等于90º,则P在半圆上运动；大于90º则P在劣弧上运动.
【例2-1】如图,AC为边长为4的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60º.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA运动.连接AM和BN,交于点P,则PC长的最小值为_____.
如图,∠AOB=45º,边OA、OB上分别有两个动点C、D,连接CD,以CD为 直角边作等腰Rt△CDE,且CD=CE,当CD长保持不变且等于2cm时,则OE长的最大值为________cm.
条件：AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与A,B两端形成的张角为直角(即∠ACB=90º),
结论：点C在以AB为直径的圆上运动. (不与A,B重合).
【例2-2】在正方形ABCD中,AD=2,E,F分别为边DC,CB上的点,且始终保持DE=CF,连接AE和DF交于点P,则线段CP的最小值为_____
3.如图,已知在Rt△ABC中,AC＝5,BC＝12,∠ACB＝90º,P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点,且∠CPQ＝90º,求线段CQ的取值范围____________.4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,若AD=2,BC=4,则四边形ABCD面积的最大值是___.
【题型背景】在一些最值问题中,给定一个角,并且过定角的顶点作对边的垂线为定值时,也存在最值问题,面对这种问题我们借助“隐圆”进行说明:我们称这种问题为:“定角夹定高”模型也成“探照灯”模型.主要解决：(1)线段最短问题；(2)面积最小问题.【模型】如右图所示,在△ABC中,∠BAC=α为定值,AD为BC边上的高,且AD=h为定值,则底边BC存在最小值,△ABC的面积存在最小值.
【解题突破点】1.找出“隐圆”---三角形外接圆； 2.定高过外心(半径+弦心距)≥定高.
证明：作△ABC的外接圆,圆心为O,连接AO,BO,CO,作OE⊥E.易得∠BOE=α,则OE=r·csα.∵OA+OE≥AD,∴r+r·csα≥h.
解:作△ABC的外接圆,连接OA,OB,OC,
则∠BOC=2∠A=2×60=120º
(i)如图1,2,Rt△ABC和Rt△ABD共斜边,取AB中点O,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得：OC=OD=OA=OB,∴A,B,C,D四点共圆；
(ⅱ)圆内接四边形对角互补,若满足其中一组对角角度之和等于180º,可考虑作它的外接圆解题.如图3,4,四边形ABCD中,满足∠ABC+∠ADC=180º,∴四边形ABCD的外接圆为⊙O,圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点．
四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等,完成角度等量关系的转化,是证明角度相等重要的途径之一.
【例4-1】如图,在四边形ABCD中,∠B=60º,∠D=120º,BC=CD=a,则AB-AD=____.
【例4-2】如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,AC＞AB∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE交于点P,连接AP.(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；(2)求证：∠APD=∠ABD.(3)PA平分∠DPE.
(3)①利用全等三角形对应边上的高相等得OE=OF； ②在利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
(1)(2)利用四点共圆求解
口诀：定点定长圆周走,定线定角双弧跑； 三点必有外接圆,对角互补也共圆.
1.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44º,则∠CAD=____.2.如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40º,则∠ADC的度数是______.
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,O是AB的中点,将OB绕点O顺时针旋转α(0º＜α＜180º)得到OP,连接AP.若∠BAC=20º,当△ACP为等腰三角形时，α的值为________________.
40º或70º或100º
4.如图,在正△ABC中,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足∠APC=150º,则线段PB长度的最小值为_______.5.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且AP⊥BP,则线段CP长的最小值为____.
6.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90º,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58º,则∠EBD的度数为_____度．7.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( 　) A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行,相交或垂直
1.点P在在等腰三角形ABC的外部,且AP=AB=AC,∠A=72º,那么∠BPC的度数为__________. 2.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,则BD=_____.
3.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_____.
4.点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上,点F在边CD上,∠EAF=45º,则△AEF面积的最小值为_________.
5.如图,半径为2cm,圆心角为90º的扇形OAB的弧AB上有一动点P,从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H,设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为___________.
6.如图,已知以AB为直径的⊙O,C为弧AB的中点,P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D,连接BD,若AB=6,则BD的最小值为_______.
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF. 求证：∠AEF=∠C.
利用AEDF四点共圆证明∠1=∠2∵∠2+∠3=90º，∠B+∠3=90º.∴∠1=∠B又∵∠BAC=∠BAC∴∠AEF=∠C
8.如图,E是正方形ABCD的边BC反向延长线上的一点,∠AEF=90º,且EF交正方形外角的平分线CM的反向延长线于点F.求证：AE=EF.
方法一：延长AB至G,使BG=BE,连接EG, 证△AEG≌△EFG得AE=EF.
方法二：连接AC,AF,得∠ACF=∠AEF=90º, ∴A、E、F、C四点共圆.
∴∠EAF=∠ECF=45º∴∠EAF=∠EFA=45º∴AE=EF
9.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60º,点E、F分别为边BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小值；若不存在,请说明理由.
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证△AEF´≌△AEF,作△AEF´的外接圆⊙O,作OH⊥BC于点H,AG⊥BC于点G,则∠F´OH=60º,设⊙O的半径为r,则OH=0.5OF=0.5r.∵OA+OH≥AG,