中考数学二轮复习函数试题压轴题,《函数、方程、不等式问题》

函数、方程、不等式问题

【知识纵横】

    函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。又如例4复合了一次函数、二次函数，并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。

【典型例题】

【例1】（四川雅安）如图，已知二次函数图像的顶点M在反比例函数上，且与轴交于A，B两点。

（1）若二次函数的对称轴为，试求的值；

（2）在（1）的条件下求AB的长；

（3）若二次函数的对称轴与轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。

【思路点拨】（1）先求得二次函数中的，再根据顶点在反比例函数上，求出。（3）可用含有的式子表示点M、N的坐标，即求出的值，再求得解析式。

【例2】（江苏南通）如图，已知直线经过点A(1，0)，与双曲线交于点B(2，1)．过点P(，－1)( ＞1)作轴的平行线分别交双曲线和于点M、N．

(1)求的值和直线的解析式；

(2)若点P在直线＝2上，求证：△PMB∽△PNA；

(3)是否存在实数，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满

足条件的的值；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】 (2)先求的值，再利用对应线段成比例证△PMB∽△PNA。 (3)考虑点P的位置，得1＜＜3时的情况。作延长MP交轴于Q，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出值。

【例3】（湖北宜昌）已知抛物线与直线=m+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，﹣）和（m﹣，m2﹣m+n），其中 ，，，m，n为实数，且，m不为 0．

（1）求的值；

（2）设抛物线与轴的两个交点是（1，0）和（2，0），求1▪2的值；

（3）当﹣1≤≤1时，设抛物线上与轴距离最大的点为P（0，0），求这时|0丨的最小值．

【思路点拨】（2）把点（0，﹣）代入直线得n=﹣，然后把点（m﹣，m2﹣m+n）代入抛物线，整理后可确定的值，把，的值代入抛物线，当=0时由一元二次方程根与系数的关系可以求出1▪2的值。（3）求出抛物线的顶点（，），分<－1，－1≤≤0，0＜≤1和1＜四种情况讨论，确定|0|的最小值。

【学力训练】

1、（广州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.

（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；

（2）求出两函数解析式；

（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。

2、（天津市）已知抛物线，

（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；

（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；

（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

3、（吉林长春）已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线．

（1）求的值；

（2）求函数的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由．

4、（广西南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

函数、方程、不等式问题的参考答案

【典型例题】

【例1】（四川雅安）

解：（1）∵二次函数的对称轴为，

∴，解得。

∴二次函数的顶点为M（）。

∵顶点M在反比例函数上，网∴，解得。

∴二次函数的解析式为。

（2）∵二次函数的解析式为，

∴令=0，得=0，解得。

∴AB=。

（3）∵二次函数的对称轴为，且当时，M点坐标为（，）。

∴NO+MN，即是NO+MN的最小值。

此时，，解得。

∴M点坐标为（，）。

∴此时二次函数的解析式为，即。

【例2】（江苏南通）

解：(1)由点B(2，1)在上，有2＝，即＝2。

设直线的解析式为，由点A(1，0)，点B(2，1)在上，得

             ，解之，得。

          ∴所求 直线的解析式为 。

         (2)点P(p，p－1)在直线＝2上，

∴P在直线上，是直线＝2和的交点，见图（1）。

∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。

∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，

           BP＝

∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。

∴△PMB∽△PNA。

(3)S△AMN＝。下面分情况讨论：

①当1＜＜3时，延长MP交轴于Q，见图（2）。

设直线MP为，则有

  ，解得 。

则直线MP为。

当＝0时，＝，即点Q的坐标为（，0）。       

则，

由2＝4有，解之，＝3（不合，舍去），＝。

②当＝3时，见图（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合题意。

③当>3时，延长PM交轴于Q，见图（3）。

此时，S△AMP大于情况当＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数，使得S△AMN＝4S△AMP。                                      

综上，当＝时，S△AMN＝4S△AMP。

【例3】（湖北宜昌）

解：（1）∵（0，－）在上，∴ ，

∴ ＝－。

（2）∵（0，－）在=m+n上，∴ n＝－。

∴抛物线与直线另一交点的坐标为（m﹣，m2﹣m－）

∵ 点（m﹣，m2﹣m+n）在上，

∴ m2－m＝（m－）2＋（m－），

∴（－1）（m－）2＝0。

若（m－）＝0，则（m－， m2－m＋n）与（0，－）重合，与题意不合。

∴ ＝1。

∴抛物线，就是。

∵ △＝2－4＝2－4×（－）＞0，

∴抛物线与轴的两个交点的横坐标就是关于的方程的两个实数根，∴由根与系数的关系，得1▪2＝－。

（3）抛物线的对称轴为，最小值为。

设抛物线在轴上方与轴距离最大的点的纵坐标为H，在轴下方与轴距离最大的点的纵坐标为h。

①当<－1，即＞2时，

在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），∴｜H｜＝o＝＋＞。

在轴下方与轴距离最大的点是（－1，o），

∴｜h｜＝｜yo｜＝｜－｜＝－＞。

∴｜H｜＞｜h｜．∴这时｜o｜的最小值大于。

② 当－1≤≤0，即0≤≤2时，

在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），

∴｜H｜＝yo＝＋≥，当＝0时等号成立。

在轴下方与轴距离最大点的是 （，），

∴｜h｜＝｜｜＝≥，当＝0时等号成立。

∴这时｜o｜的最小值等于。

③ 当0＜≤1，即－2≤＜0时,

在轴上方与轴距离最大的点是（－1，yo），

∴｜H｜＝yo＝｜1＋（－1）－｜＝｜－｜＝－＞。

在轴下方与轴距离最大的点是 （，），

∴｜h｜＝｜yo｜＝｜｜＝＞。

∴ 这 时 ｜o｜的 最 小 值 大 于 。

④ 当1＜，即＜－2时，

在轴上方与轴距离最大的点是（－1，o），∴｜H｜＝－＞。

在轴下方与轴距离最大的点是(1，o)，

∴｜h｜＝｜＋｜＝－（＋）＞，

∴｜H｜＞｜h｜。

∴这时｜o｜的最小值大于。

综上所述，当＝0，0＝0时，这时｜o｜取最小值，为｜o｜＝。

【学力训练】

1、（广州）（1）y＝0.5x＋１，y＝（2）－６<x<0或x>4

2、（天津市）

（Ⅰ）当，时，抛物线为，

方程的两个根为，．

∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 

（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．

对于方程，判别式≥0，有≤．

①当时，由方程，解得．

此时抛物线为与轴只有一个公共点．

②当时，

时，，

时，．

由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，

应有  即

解得．

综上，或．   

（Ⅲ）对于二次函数，

由已知时，；时，，

又，∴．

于是．而，∴，即．

∴． 

∵关于的一元二次方程的判别式

，  

∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．

又该抛物线的对称轴，

由，，，

得，

∴．

又由已知时，；时，，观察图象，

可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点．

3、（吉林长春）

（1）由

得．

又因为当时，，即，

解得，或（舍去），故的值为．

（2）由，得，

所以函数的图象的对称轴为，

于是，有，解得，

所以．

（3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；

由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为；

故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点．

4、（广西南宁）

（1）设=,由图①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，

故利润关于投资量的函数关系式是=；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过（2，2），

所以，

故利润关于投资量的函数关系式是；

（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），

则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得

=+==

当时，的最小值是14；

因为，所以

所以

所以

所以，即，此时

当时，的最大值是32.