中考数学二轮复习函数试题压轴题《几何问题》

几何问题

【知识纵横】

    应用几何的判定与性质，解直角三角形的应用和方程思想解决几何问题。

【典型例题】

【例1】（重庆綦江）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

【思路点拨】（1）证△ACD≌△BCE。（2）过点C作CH⊥BQ于H，求得∠DAC=30°，再求PQ的长。

【例2】（山东济南）如图，点C为线段AB上任

意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．

(1)求证：△ACE≌△DCB；

(2)请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由；

(3)求证：∠APC＝∠BPC．

【思路点拨】（3）由(1)可得∠CAE＝∠CDB，从而点A、C、P、D四点共圆，可得∠APC＝∠ADC，再证明∠BPC＝∠BEC，即可。

【例3】（广东广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直

角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

【思路点拨】（1）证明∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，再证△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论。（3）证明的方法和（2）相同。

【例4】（上海）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝，BN＝，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

【思路点拨】（2）根据EM＝EN，，得出△AEP∽△ABC，再求出 。

（3）分点E在AC上和点E在BC上两种情况讨论。

【学力训练】

1、（山东泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是

AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

2、（四川绵阳）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90，D是腰AC上的一个动点，

过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．

（1）若BD是AC的中线，求的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；

（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．

3、（福建泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线

l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交

于不同的M、N两点．

（1）当点A的坐标为（，p）时，

①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．

②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶

点的四边形是等腰梯形；

（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、

D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说

明理由。

4、（福建莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD

对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

    ①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于

点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；

若不是．请说明理由。

几何问题的参考答案

【典型例题】

【例1】（重庆綦江）

解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°。

∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°。

∴∠ACD=∠BCE。∴△ACD≌△BCE（SAS）。

（2）过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，∴∠DAC=30°

∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC=∠DAC=30°。

∴CH=BC=×8=4，

∵PC=CQ=5，CH=4，∴PH=QH=3。∴PQ=6。

【例2】（山东济南）

解：(1) 证：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACE＝∠DCB。

又∵CA＝CD，CE ＝CB，∴△ACE≌△DCB（ASA）。

           （2）△ACM∽△DPM。理由如下：

              ∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠PDM。

              又∵∠CMA＝∠PMD，∴△ACM∽△DPM。

           （3）证：∵∠CAE＝∠CDB，∴点A、C、P、D四点共圆。

                    ∴∠APC＝∠ADC。

                   同理，∠BPC＝∠BEC。

                   又∵等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，

                   ∴∠ADC＝∠BEC。

                   ∴∠APC＝∠BPC。

【例3】（广东广州）

解：（1）证明：∵AB是直径， ∴∠BCA＝90°。

            而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，

∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，

∴B、C、E三点共线。

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，

                ∵CB＝CA，CD＝CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE（SAS）。

                ∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE。

                ∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°。

                 即BD⊥AE。

                又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点， 

               ∴ON＝BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM。

               ∴ON=OM，ON⊥OM。即△ONM为等腰直角三角形。  ∴MN＝OM。

（3）成立．理由如下：

和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，

同理可证BD1⊥AE1， △ON1M1为等腰直角三角形， 从而有M1N1＝OM1。

【例4】

解：（1）∵∠ACB=90°，∴AC= 。

∵CP⊥AB，∴ △ABC∽△CPB。∴ ，即。∴CP=24。

∴CM=。

（2）∵ ，∴设EP=12，则EM=13，PM=5。

∵EM=EN，∴EN=13，PN=5。

∵△AEP∽△ABC，∴ ，即 。∴=16，，

∴BP=50－16，

∴y=50－21，=50－21· ，=50－。

由（1），当点E与点C重合时，AP=，

∴函数的定义域是：0＜＜32。

（3）①当点E在AC上时，如图2，由（2）知，

AP=16，BN= y=50－，

EN=EM=13，AM=AP－MP=16－5=11。

∵△AME∽△ENB，∴ ，即。

∴。 ∴AP=16×=22。

②当点E在BC上时，如图，设EP=12，则EM=13，MP=NP=5，

∵△EBP∽△ABC，∴，即。∴BP=9。

∴BN=9－5=4，AM=50－9－5=50－14。

∵△AME∽△ENB，，即。

∴。∴AP=50－9×=42。

综上所述，AP的长为：22或42。

【学力训练】

1、（山东泰安）

解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°。∴∠CAD=∠CBD=45°。∴∠CAE=∠BCG。

又BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF=90。

又∠ACE＋∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG。∴△AEC≌△CGB（ASA）。∴AE=CG。

（2）BE=CM，证明如下：

∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA＋∠MCH=90°，∠BEC＋∠MCH=90°。∴∠CMA=∠BEC。

又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，∴△BCE≌△CAM（AAS）。∴BE=CM。

2、（四川绵阳）

解：设AB = AC = 1，CD = x，则0＜x≤1，BC =，AD = 1－x．

在Rt△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +（1－x）2 = x2－2x + 2．

由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD，

∴， 即 ，∴。

∴ ，0＜x≤1。

（1）若BD是AC的中线，则CD = AD = x =，得。

（2）若BD是∠ABC的角平分线，则Rt△ABD∽Rt△EBC

，得，

即，解得，。

∴。

（3）值的取值范围为≥1。

若，则有 3x2－10x + 6 = 0，解得 。

∴

∴当时，的值小于。

3、（福建泉州）

解：（1） 1，，60°。

（2）如图，连接TM，ME，EN，QN，

QM ，

∵OE和OP是⊙Q的切线，

∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°。

而l∥x轴，∴QE⊥MN。∴MF=NF。

又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1。

∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME。

∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN为等边三角形。∴∠NQE=60°，∠QNF=30°。

在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，

∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。

∴T、Q、N三点共线，即TN为直径。∴∠TMN=90°。

∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE。

∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。

（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。

理由如下：如图，连DM，ME，

∵DM为直径，∴∠DME=90°。

而DM垂直平分MN，

∴Rt△MFD∽Rt△EFM。

∴MF2=EF•FD。

设D（h，k），（h＞0，k=2r），

则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：

y=a（x-h）2+k。

又∵M、N的纵坐标都为1，

当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。

∴MN=2。∴MF=MN=。

∴。∴ 。∴a=－1。

∴对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化，a=－1。

4、（福建莆田）

解：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC。

∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，

∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°。

又∵E、F分别为DC、CB中点，∴OE= CD，OF= BC，AO=AD。

∴0E=OF=OA。∴点O即为△AEF的外心。

（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。证明如下：

如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，

∴∠PIE=∠PJD=90°。

∵∠ADC=60°，∴∠IPJ=360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI=120°，

∵点P是等边△AEF的外心，

∴∠EPA=120°，PE=PA。∴∠IPJ=∠EPA。

∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA（AAS）。

∴PI=PJ。

∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。

② 为定值2。

当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．

连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心。

如图3．设MN交BC于点G，

设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y－1。

∵BC∥DA，∴△GBP≌△MDP。

∴BG=DM=x．

∴CG=1－x。

∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM。

∴ ，即。

∴x＋y=2xy。∴ ，即 =2。