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2023年中考数学常见几何模型全归纳 专题03 手拉手模型（从全等到相似）
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这是一份2023年中考数学常见几何模型全归纳 专题03 手拉手模型（从全等到相似），文件包含专题03手拉手模型从全等到相似解析版docx、专题03手拉手模型从全等到相似原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
中考经典几何模型与最值问题
每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。
今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有16讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。
专题03 手拉手模型（从全等到相似）
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型（全等模型）
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【常见模型及证法】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图1 图2
【答案】(1)见解析 (2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【解析】(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，∴．
在和中，，
∴，∴．
(2)解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，∴．
∵，∴，
∴．∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
2．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．
(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论：
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，
∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
(2)解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，∴（SAS），∴，
∵AC=AB，CP=BF， ∴（SAS），
∴，，∴，
∴，∴是等边三角形，
∴，∴；
(3)解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，∴，
∴（SAS），∴，
∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），
∴，，∴，
∴，∴是等边三角形，
∴，∴，即．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，此时，成立．
（1）将绕点逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度；（2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的长度．
【答案】（1）补充图形见解析；；（2），仍然成立，证明见解析；（3）或．
【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE的长即可；
（2）根据SAS证明得AD=BE，∠1=∠2，再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，
根据题意得，点D在BC上，∴是直角三角形，且BC=，CE=
由勾股定理得，；
（2），仍然成立. 证明：延长交于点，
∵，，，
∴，
又∵，，∴，∴，，
在中，，∴，∴，∴.
（3）①当点D在AC上方时，如图1所示，
同（2）可得
∴AD=BE
同理可证
在Rt△CDE中，
∴DE=
在Rt△ACB中，
∴
设AD=BE=x，
在Rt△ABE中，
∴
解得,
∴
②当点D在AC下方时，如图2所示，
同（2）可得
∴AD=BE
同理可证
在Rt△CDE中，
∴DE=
在Rt△ACB中，
∴
设AD=BE=x，
在Rt△ABE中，
∴
解得,
∴ .
所以,AD的值为或
【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键．
模型2.手拉手模型（旋转相似模型）
【模型解读与图示】
旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.
1．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由见解析(4)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；
（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；
（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出；
（4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．
(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，
故答案为：
(2)
在与中，
又 重合，故答案为：
(3)同（2）可得，
过点，作，交于点，
则，，
在与中，，，
，是等腰直角三角形，，，
，，
在与中，，，
，，即，
(4)过点作，交于点，
，，，，
，，，
，
，，，
，，
中，，
，即．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)①；②
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；
(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；
(3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD， ；
②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
3．（2022·山东·东营市一模）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析．
【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论．
（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．
4．（2022·山西长治·九年级期末）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且．数学思考：
(1)在图1中，的值为 ；(2)图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系．
【答案】(1)(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析(3)∠APE=∠ABC，理由见解析
(4)结论不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）根据旋转的性质得到∠BAD=∠CAE，由（1）可证明△BAD∽△CAE，从而可证∠APE+∠ABC得到；（3）由（2）可证∠ABD=∠ACE，证明△AFB∽△PFC和△AFP∽△BFC即可得到结论；
（4）证明∠ABD=∠ACE，推出A、B、C、P四点共圆即可得到结论；
（1）解：∵，∴，∴；
（2）解：中结论仍然成立，理由如下：
∵旋转的性质，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，∴，
在图2中，由旋转的性质可知，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴；
（3）解：∠APE=∠ABC，理由如下：
由（2）得△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
又∵∠AFB=∠PFC，∴△AFB∽△PFC，
∴，∴，
又∵∠AFP=∠BFC，∴△AFP∽△BFC，∴∠CBF=∠PAF，
∵∠APE=∠ACE+∠PAF，∠ABC=∠ABF+∠CBF，∴∠APE=∠ABC；
（4）解：（3）结论不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由如下：
由（2）知，△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
∴A、B、C、P四点共圆，∴∠APE+∠ABC=180°．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟练掌握相关三角形的性质与判定是解题的关键．
课后专项训练：
1．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，是等边三角形， ，
∵，，，，
与的面积之和为．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．
2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】证明，即可判断①，根据①可得，由可得四点共圆，进而可得，即可判断②，过点作于,交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质可得，即可判断③，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，根据当共线时，取得最小值，可得四边形是正方形，勾股定理求得， 根据即可判断④．
【详解】解：和都是等腰直角三角形，，
故①正确；
四点共圆，
故②正确；
如图，过点作于,交的延长线于点，
,
，,
设，则，，
则
AH∥CE，
则；故③正确
如图，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，
，
当共线时，取得最小值，
此时
，
此时，
，，，
，
，
，
平分，
，
四点共圆，
，
又,，
，
则四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，
则，，
，，
，，
则，，
，，故④不正确，故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2022·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA
(1)如图①，连接AM，BN，求证：AOM≌BON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，
①如图②，当点N恰好在AB边上时，求证：；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN的长．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②或．
【分析】（1）利用SAS定理证明即可；
（2）①连接，证明，即可证；
②当点N在线段上时，连接，在中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段上时，同理即可求得．
（1）证明：，，即．
和是等腰直角三角形，，(SAS) ．
（2）解：①证明：如图，连接．
，，即．
和是等腰直角三角形，，
，，．
是等腰直角三角形，，．
②或．∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON =3，∴．
当点N在线段上时，如图，连接，设，
由(1)可知．∴，．
∴，
∴，∴是直角三角形，．
又∵，∴，
解得：（舍去）∴；
当点M在线段上时，如图，连接，设，由(2)①可知．
∴，．
∴，
∴，∴是直角三角形，．
又∵，∴，
解得： （舍去）∴
综上所述：的长为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．
4．（2022·山西朔州·九年级期末）综合与实践
问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在中，，求的长．
(1)探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把绕点A顺时针旋转得到，连接，，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求的长；
(2)探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把绕点A顺时针旋转后得到，连接，交于点F，交于点G，请你判断四边形的形状并证明；
(3)奇异小组的同学把图3中的绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接，发现的长度在不断变化，直接写出的最大值和最小值．
【答案】(1)的长是，见解析；(2)四边形是菱形，见解析；
(3)的最大值是，的最小值是，见解析．
【分析】（1）过点B作交的延长线于点H．由旋转性质进一步得是等边三角形， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，在中由勾股定理，，在中，．在中，求得，进而得解；
（2）利用旋转的性质得到相关结论，进一步证明四边形是平行四边形．又有，得证四边形是菱形；（3）作AH⊥BD于点H，则，利用解直角三角形求得BF的长，分两种情况进行分析，即可得解．
（1）解：如图4，延长CB、DE交于点H.
∵绕点A顺时针旋转得到∴，，∠H=90°，
∴=6，=6，，∵，
∴△ABC是等腰三角形，∴，
∵ ∴是等边三角形∴，
∴∴是等腰直角三角形∴．
∵，．∴是等腰直角三角形，．
在中，由勾股定理，得．
∴=36．∴HE2=HB2=18∴．
在中，，．
在中，．∴．
在中，，∴，
∴．∴．
∵，∴的长是．
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
∵绕点A顺时针旋转得到，，，
∴，．
∴，，．∴．
∴△ACE是等腰三角形∴．
同理可得：．∵．
∴，．
∴在中，．
∴，．∴，．
∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．
（3）如图5，作AH⊥BD于点H，则
∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，
∴=6∴△ABD是等腰三角形∴BH=DH=BD
∴ ．
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=30°， AB=6
∵∴BH=3∴BD=2 BH=6
由（2）知四边形是菱形∴DF=AD=6 ∴BF=BD-DF=6－6
当绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，当旋转到A、B、F第一次三点共线时，如图6，
∴此时AF有最小值，此时AF==AB-=AB-BF=6-（6－6）=12－6
当旋转到A、B、F第二次三点共线时，如图7，，∴
此时AF有最大值，此时AF=AB+=AB+BF=6+6－6=6
故的最大值是，的最小值是
【点睛】本题以图形的变换——旋转为载体考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定，线段长度的最值问题等知识点，综合性较强，准确作出辅助线是解题的关键．
5．（2022·湖北武汉·八年级期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．
(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；
(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；
（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM (AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．
（1）解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，
∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；
（2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，
∵N为CD中点，∴DN=CN，
∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，
∴CF=AD，∠NCF=∠AND，
∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD +∠ADN=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，
∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，
∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA (SAS)，∴BC=AF，
∵△BCE是等边三角形，∴CE=BC=AF=2AN；
（3）解： ∵△ABD是等边三角形，
∴，∠BAD=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，
如图，过点E作EH // AD交AM的延长线于H，
∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，
∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，
∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，
∴△ABC≌△HEB (ASA)，∴，，∴AD=EH，
∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM (AAS)，∴AM=HM，
∴
∵，，∴．故答案为：．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
6．（2022·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE＝．
(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 ；
(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；
(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．
【答案】(1)EC＝AD，EC⊥AD(2)等腰三角形，(3)
【分析】（1）延长CE交AD于F，交AB于O，证明△ABD≌△CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到结论；
（2）设DE与AB的交点为H，可得AB是DE的垂直平分线，利用勾股定理可求出AE的长，由（1）知CE＝AD，从而得出答案；（3）分当点E在BC上方时和当点E在BC下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可．
(1)EC与AD垂直且相等，理由如下：
延长CE交AD于F，交AB于O，
∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，
∵∠AOF＝∠BOC，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，
∴AD⊥CE，∴故答案为：EC＝AD，EC⊥AD；
(2)设DE与AB的交点为H，
∵DE∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝90°，
∵BD＝BE，∴AB是DE的垂直平分线，
∴AD＝AE，由（1）知AD＝CE，
∴AE＝CE，∴△ACE是等腰三角形，
∵BE＝，∴BH＝HE＝1，
∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，
∴CE＝AE＝；
(3)如图4，当点E在BC上方时，过点B作BG⊥DE于G，
∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，∴A、E、D三点共线，
∴AG＝，∴AD＝AG+DG＝，
∴CE＝AD＝+1；如图，当点E在BC下方时，
同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．综上：CE＝+1或﹣1．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定
理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
7．（2022·广东·惠州一中八年级期中）为等边三角形，，于点．为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边．连结，为的中点．
（1）如图1，与交于点，①连结，求线段的长；②连结，求的大小．
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为．为线段的中点．连结、．当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论．
【答案】（1）①；②；（2），证明见解析
【分析】（1）①根据等边三角形的性质，，可得，是斜边上的中线，勾股定理在中可求得的长，进而求得的长；②根据①的结论可得，根据，即可求得的度数；
（2）连接，证明，进而可得，则，进而根据为的中点，为的中点，为的中点，根据三角形中位线定理可得，进而可得
【详解】（1）①是等边三角形，
，
是等边三角形，
为的中点
②如图，连接，
；
（2），理由如下，如图，
连接，为等边三角形，,
则
为的中点，为的中点，为的中点
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，勾股定理，中位线定理，三角形全等的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
8．（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．
【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是 ，直线CD与BE的夹角为 ；
【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．
【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，计算即可；
（2）过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，根据直角三角形的性质得到AB＝AC，AE＝AD，证明△CAD∽△BAE，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）分点E在线段BD上、点D在线段BE上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，
∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，
∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，
∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；
（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，
理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，
∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，
∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，
∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∴＝，
∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，
∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；
（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，
由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，
∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，
∴CD＝BE＝，
综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．（2022•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，可得∠BAC＝∠DAE，又有∠ABC＝∠ADE，即可得出相似；
（2）有（1）中可得对应线段成比例，又有以对应角相等，即可判定其相似．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE．
（2）△ABD∽△ACE．
证明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴，
∴AB×AE＝AC×AD，∴，
∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
10．（2022•长垣市一模）在△ABC中，AB＝AC，点D为AB边上一动点，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，连接BE，EC．（1）问题发现：如图①，若α＝60°，则∠EBA＝ ，AD与EB的数量关系是 ；
（2）类比探究：如图②，当α＝90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝，请直接写出线段EF的长度．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，则∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°；（2）证△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，得，再证△BCE∽△ACD，得∠EBC＝∠DAC＝90°，＝，则∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝135°，进而得出结论；
（3）连接BD，①当AE＝AB时，证△AOD∽△BED，得，求出AB＝3＝AD，则AE＝1，在Rt△AED中，由勾股定理求出ED＝即可；②当BE＝AB时，同①得：，求出AB＝6＝AD，则AE＝4，在Rt△AED中，由勾股定理得ED＝2即可．
【解答】解：（1）∵α＝60°，∴∠ABC＝α＝60°，∠CDE＝α＝60°，
∵AB＝AC，CD＝ED，∴△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，∴∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°，故答案为：120°，AD＝EB；
（2）∠EBA＝135°，EB＝AD，理由如下：∵α＝90°，∴∠CDE＝∠BAC＝90°，
∵CD＝ED，AB＝AC，∴∠DEC＝∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∴△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，
∴，∴，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC＝∠DAC＝90°，，
∴∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝90°+45°＝135°，∵，∴，∴EB＝AD；
（3）连接BD，分两种情况：①当AE＝AB时，如图③所示：
∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝ED，对角线FD与EG互相垂直平分，
∴△DEO是等腰直角三角形，∴＝sin45°＝，
在Rt△ABD中，＝sin45°＝，∴，
∵∠ODA+∠ADE＝45°＝∠BDE+∠ADE，∴∠ODA＝∠BDE，∴△AOD∽△BED，
∴，∴，∵OA＝，∴AB＝3＝AD，∴AE＝AB＝1，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝，∴EF＝ED＝；
②当BE＝AB时，如图④所示：同①得：，∴，
∵OA＝，∴AB＝6＝AD，∴AE＝AB＝4，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝2，∴EF＝ED＝2；
综上所述，线段EF的长度为或2．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
11．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）问题情境：如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，在图1中将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图3，请解答下列问题：
(1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图2中，BD与CE的数量关系是_________．
②在图3中，猜想∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
(2)拓展应用：其他条件不变，若AB=AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN与∠BAC的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想．
【答案】(1)①BD=CE；②∠MAN=∠BAC，见解析(2)∠MAN=∠BAC，AM=AN
【分析】（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．
（2）直接类比（1）中结果可知AM= AN，∠MAN=∠BAC．
(1)①∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE
∵由旋转可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，
②∠MAN=∠BAC
理由：如图1，∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE
∵由旋转可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD
∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ACE=∠ABD
∵DM=BD，EN=CE∴BM=CN △ABM≌△ACN
∴∠BAM=∠CAN∴∠BAM-∠CAM=∠CAN-∠CAM即∠MAN=∠BAC；
(2)结论：∠MAN=∠BAC，AM=AN
∵△ABC∽△ADE，∴∴
∵∠CAE=∠DAE+∠CAD，∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD，∴△ADB∽△AEC，∴
∵DM=BD，EN=CE
∵∠ADM=∠ABD+∠BAD，∠AEN=∠ACE+∠CAE，
∴∠ADM=∠AEN，∴△ADM∽△AEN，
∴AM：AN=AD：AE=，∴∠DAM=∠EAN，
∴∠NAE+∠MAE=∠NAE+∠MAE，∴∠MAN=∠DAE，
∵∠DAE=∠BAC，∴∠MAN=∠BAC．
AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．（2022·辽宁·东港市第七中学一模）如图，在、中，，，设．连接，以、为邻边作，连接．
(1)若，当、分别与、重合时（图1），易得．当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系________；(2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论；(3)若为任意角度，，，，绕点顺时针旋转一周（图4），当、、三点共线时，请直接写出的长度．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)或
【分析】（1）根据旋转全等模型可证，（SAS），结合已知平行四边形性质可证：，，根据，可得是等边三角形即可解题；
（2）同理第一问，根据，可得是等腰直角三角形即可解题；（3）根据第一问可证：，当、、三点共线时，当、、三点共线时，、、三点共线，继而解三角形，求出BD长，由相似三角形性质求出EF，由分两种情况，分别画图求解即可．
（1）解：如图2，连接EC，
∵，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，
又∵，，∴（SAS），
∴，， ∴，
∵四边形BDFC是平行四边形，∴BC∥DF，BD=CF
∴ ，，
∴，
又∵，∴，
当时，，∴是等边三角形，∴EF=CF；
（2）解：同理（1）可得：，，
当时，，∴是等腰直角三角形，；
（3）解：分两种情况进行讨论：如图3-1：AF=AE+EF，
同理1可得：，，
又∵，，．
∴，∴，
∴，，
∵，，，∴，，
由（1）得：（SAS），
∴，∴
∴当、、三点共线时，，
∴当、、三点共线时，、、三点共线，
如图4-1，过A点作AH⊥DE，
∵AD=AE，∴，∴，
∴，∴
∵，∴，
∴，
如图4-2，AF=EF-AE，
同理可得：，，∴
∵，∴，
∴，
综上所述：AF长为或．
【点睛】本题属于几何压轴题，综合性比较强，体会其中蕴含的从特殊到一般的思想是解题的关键．解题关键是关键旋转全等模型证明是等腰三角形，，从而可得，再结合解三角形求线段长．
中考经典几何模型与最值问题
每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。
今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有16讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。
专题03 手拉手模型（从全等到相似）
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型（全等模型）
【模型解读】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【常见模型及证法】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图1 图2
【答案】(1)见解析 (2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【解析】(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，∴．
在和中，，
∴，∴．
(2)解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，∴．
∵，∴，
∴．∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
2．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．
(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论：
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，
∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，
∴或；
(2)解：图②结论：
证明：在BP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，∴（SAS），∴，
∵AC=AB，CP=BF， ∴（SAS），
∴，，∴，
∴，∴是等边三角形，
∴，∴；
(3)解：图③结论：，
理由：在CP上截取，连接AF，
∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，∴，
∴（SAS），∴，
∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），
∴，，∴，
∴，∴是等边三角形，
∴，∴，即．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，此时，成立．
（1）将绕点逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度；（2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的长度．
【答案】（1）补充图形见解析；；（2），仍然成立，证明见解析；（3）或．
【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE的长即可；
（2）根据SAS证明得AD=BE，∠1=∠2，再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，
根据题意得，点D在BC上，∴是直角三角形，且BC=，CE=
由勾股定理得，；
（2），仍然成立. 证明：延长交于点，
∵，，，
∴，
又∵，，∴，∴，，
在中，，∴，∴，∴.
（3）①当点D在AC上方时，如图1所示，
同（2）可得
∴AD=BE
同理可证
在Rt△CDE中，
∴DE=
在Rt△ACB中，
∴
设AD=BE=x，
在Rt△ABE中，
∴
解得,
∴
②当点D在AC下方时，如图2所示，
同（2）可得
∴AD=BE
同理可证
在Rt△CDE中，
∴DE=
在Rt△ACB中，
∴
设AD=BE=x，
在Rt△ABE中，
∴
解得,
∴ .
所以,AD的值为或
【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键．
模型2.手拉手模型（旋转相似模型）
【模型解读与图示】
旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.
1．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)仍然成立，理由见解析(4)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；
（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；
（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出；
（4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．
(1)等腰直角三角形和等腰直角三角形，，
故答案为：
(2)
在与中，
又 重合，故答案为：
(3)同（2）可得，
过点，作，交于点，
则，，
在与中，，，
，是等腰直角三角形，，，
，，
在与中，，，
，，即，
(4)过点作，交于点，
，，，，
，，，
，
，，，
，，
中，，
，即．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．①求的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)①；②
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；
(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；
(3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD， ；
②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
3．（2022·山东·东营市一模）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析．
【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论．
（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．
4．（2022·山西长治·九年级期末）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且．数学思考：
(1)在图1中，的值为 ；(2)图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系．
【答案】(1)(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析(3)∠APE=∠ABC，理由见解析
(4)结论不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）根据旋转的性质得到∠BAD=∠CAE，由（1）可证明△BAD∽△CAE，从而可证∠APE+∠ABC得到；（3）由（2）可证∠ABD=∠ACE，证明△AFB∽△PFC和△AFP∽△BFC即可得到结论；
（4）证明∠ABD=∠ACE，推出A、B、C、P四点共圆即可得到结论；
（1）解：∵，∴，∴；
（2）解：中结论仍然成立，理由如下：
∵旋转的性质，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，∴，
在图2中，由旋转的性质可知，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴；
（3）解：∠APE=∠ABC，理由如下：
由（2）得△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
又∵∠AFB=∠PFC，∴△AFB∽△PFC，
∴，∴，
又∵∠AFP=∠BFC，∴△AFP∽△BFC，∴∠CBF=∠PAF，
∵∠APE=∠ACE+∠PAF，∠ABC=∠ABF+∠CBF，∴∠APE=∠ABC；
（4）解：（3）结论不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由如下：
由（2）知，△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE，
∴A、B、C、P四点共圆，∴∠APE+∠ABC=180°．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟练掌握相关三角形的性质与判定是解题的关键．
课后专项训练：
1．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，是等边三角形， ，
∵，，，，
与的面积之和为．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．
2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】证明，即可判断①，根据①可得，由可得四点共圆，进而可得，即可判断②，过点作于,交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质可得，即可判断③，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，根据当共线时，取得最小值，可得四边形是正方形，勾股定理求得， 根据即可判断④．
【详解】解：和都是等腰直角三角形，，
故①正确；
四点共圆，
故②正确；
如图，过点作于,交的延长线于点，
,
，,
设，则，，
则
AH∥CE，
则；故③正确
如图，将绕点逆时针旋转60度，得到，则是等边三角形，
，
当共线时，取得最小值，
此时
，
此时，
，，，
，
，
，
平分，
，
四点共圆，
，
又,，
，
则四边形是菱形，
又，
四边形是正方形，
，
则，，
，，
，，
则，，
，，故④不正确，故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2022·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA
(1)如图①，连接AM，BN，求证：AOM≌BON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，
①如图②，当点N恰好在AB边上时，求证：；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN的长．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②或．
【分析】（1）利用SAS定理证明即可；
（2）①连接，证明，即可证；
②当点N在线段上时，连接，在中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段上时，同理即可求得．
（1）证明：，，即．
和是等腰直角三角形，，(SAS) ．
（2）解：①证明：如图，连接．
，，即．
和是等腰直角三角形，，
，，．
是等腰直角三角形，，．
②或．∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON =3，∴．
当点N在线段上时，如图，连接，设，
由(1)可知．∴，．
∴，
∴，∴是直角三角形，．
又∵，∴，
解得：（舍去）∴；
当点M在线段上时，如图，连接，设，由(2)①可知．
∴，．
∴，
∴，∴是直角三角形，．
又∵，∴，
解得： （舍去）∴
综上所述：的长为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．
4．（2022·山西朔州·九年级期末）综合与实践
问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在中，，求的长．
(1)探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把绕点A顺时针旋转得到，连接，，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求的长；
(2)探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把绕点A顺时针旋转后得到，连接，交于点F，交于点G，请你判断四边形的形状并证明；
(3)奇异小组的同学把图3中的绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接，发现的长度在不断变化，直接写出的最大值和最小值．
【答案】(1)的长是，见解析；(2)四边形是菱形，见解析；
(3)的最大值是，的最小值是，见解析．
【分析】（1）过点B作交的延长线于点H．由旋转性质进一步得是等边三角形， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，在中由勾股定理，，在中，．在中，求得，进而得解；
（2）利用旋转的性质得到相关结论，进一步证明四边形是平行四边形．又有，得证四边形是菱形；（3）作AH⊥BD于点H，则，利用解直角三角形求得BF的长，分两种情况进行分析，即可得解．
（1）解：如图4，延长CB、DE交于点H.
∵绕点A顺时针旋转得到∴，，∠H=90°，
∴=6，=6，，∵，
∴△ABC是等腰三角形，∴，
∵ ∴是等边三角形∴，
∴∴是等腰直角三角形∴．
∵，．∴是等腰直角三角形，．
在中，由勾股定理，得．
∴=36．∴HE2=HB2=18∴．
在中，，．
在中，．∴．
在中，，∴，
∴．∴．
∵，∴的长是．
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
∵绕点A顺时针旋转得到，，，
∴，．
∴，，．∴．
∴△ACE是等腰三角形∴．
同理可得：．∵．
∴，．
∴在中，．
∴，．∴，．
∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形．
（3）如图5，作AH⊥BD于点H，则
∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，
∴=6∴△ABD是等腰三角形∴BH=DH=BD
∴ ．
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=30°， AB=6
∵∴BH=3∴BD=2 BH=6
由（2）知四边形是菱形∴DF=AD=6 ∴BF=BD-DF=6－6
当绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，当旋转到A、B、F第一次三点共线时，如图6，
∴此时AF有最小值，此时AF==AB-=AB-BF=6-（6－6）=12－6
当旋转到A、B、F第二次三点共线时，如图7，，∴
此时AF有最大值，此时AF=AB+=AB+BF=6+6－6=6
故的最大值是，的最小值是
【点睛】本题以图形的变换——旋转为载体考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定，线段长度的最值问题等知识点，综合性较强，准确作出辅助线是解题的关键．
5．（2022·湖北武汉·八年级期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．
(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；
(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；
（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM (AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．
（1）解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，
∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；
（2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，
∵N为CD中点，∴DN=CN，
∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，
∴CF=AD，∠NCF=∠AND，
∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD +∠ADN=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，
∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，
∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA (SAS)，∴BC=AF，
∵△BCE是等边三角形，∴CE=BC=AF=2AN；
（3）解： ∵△ABD是等边三角形，
∴，∠BAD=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，
如图，过点E作EH // AD交AM的延长线于H，
∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，
∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，
∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，
∴△ABC≌△HEB (ASA)，∴，，∴AD=EH，
∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM (AAS)，∴AM=HM，
∴
∵，，∴．故答案为：．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
6．（2022·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD＝BE＝．
(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 ；
(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；
(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．
【答案】(1)EC＝AD，EC⊥AD(2)等腰三角形，(3)
【分析】（1）延长CE交AD于F，交AB于O，证明△ABD≌△CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到结论；
（2）设DE与AB的交点为H，可得AB是DE的垂直平分线，利用勾股定理可求出AE的长，由（1）知CE＝AD，从而得出答案；（3）分当点E在BC上方时和当点E在BC下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可．
(1)EC与AD垂直且相等，理由如下：
延长CE交AD于F，交AB于O，
∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，
∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，
∵∠AOF＝∠BOC，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，
∴AD⊥CE，∴故答案为：EC＝AD，EC⊥AD；
(2)设DE与AB的交点为H，
∵DE∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝90°，
∵BD＝BE，∴AB是DE的垂直平分线，
∴AD＝AE，由（1）知AD＝CE，
∴AE＝CE，∴△ACE是等腰三角形，
∵BE＝，∴BH＝HE＝1，
∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，
∴CE＝AE＝；
(3)如图4，当点E在BC上方时，过点B作BG⊥DE于G，
∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，∴A、E、D三点共线，
∴AG＝，∴AD＝AG+DG＝，
∴CE＝AD＝+1；如图，当点E在BC下方时，
同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．综上：CE＝+1或﹣1．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定
理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
7．（2022·广东·惠州一中八年级期中）为等边三角形，，于点．为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边．连结，为的中点．
（1）如图1，与交于点，①连结，求线段的长；②连结，求的大小．
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为．为线段的中点．连结、．当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论．
【答案】（1）①；②；（2），证明见解析
【分析】（1）①根据等边三角形的性质，，可得，是斜边上的中线，勾股定理在中可求得的长，进而求得的长；②根据①的结论可得，根据，即可求得的度数；
（2）连接，证明，进而可得，则，进而根据为的中点，为的中点，为的中点，根据三角形中位线定理可得，进而可得
【详解】（1）①是等边三角形，
，
是等边三角形，
为的中点
②如图，连接，
；
（2），理由如下，如图，
连接，为等边三角形，,
则
为的中点，为的中点，为的中点
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，勾股定理，中位线定理，三角形全等的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
8．（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．
【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是 ，直线CD与BE的夹角为 ；
【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．
【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，计算即可；
（2）过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，根据直角三角形的性质得到AB＝AC，AE＝AD，证明△CAD∽△BAE，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）分点E在线段BD上、点D在线段BE上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，
∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，
∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，
∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；
（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，
理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，
∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，
∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，
∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∴＝，
∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，
∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；
（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，
由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，
∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，
∴CD＝BE＝，
综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．（2022•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，可得∠BAC＝∠DAE，又有∠ABC＝∠ADE，即可得出相似；
（2）有（1）中可得对应线段成比例，又有以对应角相等，即可判定其相似．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE．
（2）△ABD∽△ACE．
证明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴，
∴AB×AE＝AC×AD，∴，
∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
10．（2022•长垣市一模）在△ABC中，AB＝AC，点D为AB边上一动点，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，连接BE，EC．（1）问题发现：如图①，若α＝60°，则∠EBA＝ ，AD与EB的数量关系是 ；
（2）类比探究：如图②，当α＝90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝，请直接写出线段EF的长度．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，则∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°；（2）证△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，得，再证△BCE∽△ACD，得∠EBC＝∠DAC＝90°，＝，则∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝135°，进而得出结论；
（3）连接BD，①当AE＝AB时，证△AOD∽△BED，得，求出AB＝3＝AD，则AE＝1，在Rt△AED中，由勾股定理求出ED＝即可；②当BE＝AB时，同①得：，求出AB＝6＝AD，则AE＝4，在Rt△AED中，由勾股定理得ED＝2即可．
【解答】解：（1）∵α＝60°，∴∠ABC＝α＝60°，∠CDE＝α＝60°，
∵AB＝AC，CD＝ED，∴△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，∴∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°，故答案为：120°，AD＝EB；
（2）∠EBA＝135°，EB＝AD，理由如下：∵α＝90°，∴∠CDE＝∠BAC＝90°，
∵CD＝ED，AB＝AC，∴∠DEC＝∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∴△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，
∴，∴，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC＝∠DAC＝90°，，
∴∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝90°+45°＝135°，∵，∴，∴EB＝AD；
（3）连接BD，分两种情况：①当AE＝AB时，如图③所示：
∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝ED，对角线FD与EG互相垂直平分，
∴△DEO是等腰直角三角形，∴＝sin45°＝，
在Rt△ABD中，＝sin45°＝，∴，
∵∠ODA+∠ADE＝45°＝∠BDE+∠ADE，∴∠ODA＝∠BDE，∴△AOD∽△BED，
∴，∴，∵OA＝，∴AB＝3＝AD，∴AE＝AB＝1，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝，∴EF＝ED＝；
②当BE＝AB时，如图④所示：同①得：，∴，
∵OA＝，∴AB＝6＝AD，∴AE＝AB＝4，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝2，∴EF＝ED＝2；
综上所述，线段EF的长度为或2．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
11．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）问题情境：如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，在图1中将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图3，请解答下列问题：
(1)猜想证明：若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图2中，BD与CE的数量关系是_________．
②在图3中，猜想∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
(2)拓展应用：其他条件不变，若AB=AC，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN与∠BAC的数量关系？AM与AN的数量关系？直接写出你的猜想．
【答案】(1)①BD=CE；②∠MAN=∠BAC，见解析(2)∠MAN=∠BAC，AM=AN
【分析】（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．
（2）直接类比（1）中结果可知AM= AN，∠MAN=∠BAC．
(1)①∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE
∵由旋转可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，
②∠MAN=∠BAC
理由：如图1，∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE
∵由旋转可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD
∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ACE=∠ABD
∵DM=BD，EN=CE∴BM=CN △ABM≌△ACN
∴∠BAM=∠CAN∴∠BAM-∠CAM=∠CAN-∠CAM即∠MAN=∠BAC；
(2)结论：∠MAN=∠BAC，AM=AN
∵△ABC∽△ADE，∴∴
∵∠CAE=∠DAE+∠CAD，∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD，∴△ADB∽△AEC，∴
∵DM=BD，EN=CE
∵∠ADM=∠ABD+∠BAD，∠AEN=∠ACE+∠CAE，
∴∠ADM=∠AEN，∴△ADM∽△AEN，
∴AM：AN=AD：AE=，∴∠DAM=∠EAN，
∴∠NAE+∠MAE=∠NAE+∠MAE，∴∠MAN=∠DAE，
∵∠DAE=∠BAC，∴∠MAN=∠BAC．
AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．（2022·辽宁·东港市第七中学一模）如图，在、中，，，设．连接，以、为邻边作，连接．
(1)若，当、分别与、重合时（图1），易得．当绕点顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段、的数量关系________；(2)若，当绕点顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段、的数量关系，并证明你的结论；(3)若为任意角度，，，，绕点顺时针旋转一周（图4），当、、三点共线时，请直接写出的长度．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)或
【分析】（1）根据旋转全等模型可证，（SAS），结合已知平行四边形性质可证：，，根据，可得是等边三角形即可解题；
（2）同理第一问，根据，可得是等腰直角三角形即可解题；（3）根据第一问可证：，当、、三点共线时，当、、三点共线时，、、三点共线，继而解三角形，求出BD长，由相似三角形性质求出EF，由分两种情况，分别画图求解即可．
（1）解：如图2，连接EC，
∵，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，
又∵，，∴（SAS），
∴，， ∴，
∵四边形BDFC是平行四边形，∴BC∥DF，BD=CF
∴ ，，
∴，
又∵，∴，
当时，，∴是等边三角形，∴EF=CF；
（2）解：同理（1）可得：，，
当时，，∴是等腰直角三角形，；
（3）解：分两种情况进行讨论：如图3-1：AF=AE+EF，
同理1可得：，，
又∵，，．
∴，∴，
∴，，
∵，，，∴，，
由（1）得：（SAS），
∴，∴
∴当、、三点共线时，，
∴当、、三点共线时，、、三点共线，
如图4-1，过A点作AH⊥DE，
∵AD=AE，∴，∴，
∴，∴
∵，∴，
∴，
如图4-2，AF=EF-AE，
同理可得：，，∴
∵，∴，
∴，
综上所述：AF长为或．
【点睛】本题属于几何压轴题，综合性比较强，体会其中蕴含的从特殊到一般的思想是解题的关键．解题关键是关键旋转全等模型证明是等腰三角形，，从而可得，再结合解三角形求线段长．
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