2023年 九年级数学中考复习圆综合压轴题专题提升训练附答案

这是一份2023年 九年级数学中考复习圆综合压轴题专题提升训练附答案，共47页。试卷主要包含了概念生成，综合与实践等内容，欢迎下载使用。

2023年春九年级数学中考复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F．
（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：CA与⊙O相切；
（3）当BD＝2，∠ABD＝30°时，求劣弧BD的长．

2．如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC，PD＝3．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求⊙O的直径；
（3）当点B在CD下方运动时，直接写出△ABC内心的运动路线长是 　 　．

3．如图1所示，在矩形OABC中，OA＝，OC＝1，点D是射线OA上一动点，以OD为半径作⊙O．
（1）连接CD交⊙O于点E，连接OB，当DE的中点在OB上时，求OD的长；
（2）如图2所示，当⊙O与AB边相切时，设⊙O与BC交于点F，求劣弧的长；
（3）连接AC，若⊙O与△ABC两条边同时相交，请直接写出tan∠BCD的取值范围．


4．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，CD＝AD+BC．
（1）尺规作出以AB为直径的圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式．

5．概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，△ABC，⊙O经过点A，并与点A的对边BC相切于点D，则该⊙O就叫做△ABC的切接圆．根据上述定义解决下列问题：
理解应用
（1）已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10．
①如图2，若点D在边BC上，CD＝，以D为圆心，BD长为半径作圆，则⊙D是△ABC的“切接圆”吗？请说明理由．
②在图3中，若点D在△ABC的边上，以D为圆心，CD长为半径作圆，当⊙D是Rt△ABC的“切接圆”时，求⊙D的半径（直接写出答案）．
思维拓展
（2）如图4，△ABC中，AB＝12．AC＝BC＝10，把△ABC放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边AB落在x轴上．试说明：以抛物线y＝+4图象上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的“切接圆”．



6．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为3，点D在劣弧，上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．

7．综合与实践
提出问题：在一次数学活动课的学习中，小明同学发现：“等边三角形外接圆上任意一点到三个顶点的距离的平方和等于边长平方的两倍”．
（1）初步探究：如图①，△ABC为等边三角形，P是△ABC外接圆上任意一点，证明PC＝PA+PB的思路如下，图②中，在PC上截取PM＝PA，连接AM，先证明△PAM为等边三角形，再证明△APB≌△AMC，由此得出PC＝PA+PB．请写出PC＝PA+PB的证明过程．
（2）继续探究：如图②，设PA＝x，PB＝y，PC＝z，AB＝m．求证：x2+y2+z2＝2m2．
（3）拓展探究：如图③，点P为正六边形ABCDEF的外接圆上一点，设PA＝a，PB＝b，PC＝c，PD＝d，PE＝e，PF＝f，AB＝n．试探究a，b，c，d，e，f与n之间的数量关系．


8．【问题原型】如图①，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，点O是AB的中点，以AB为直径作⊙O．求证：点 C、D在⊙O上．
【发现结论】有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点都在以斜边为直径的圆上．
【结论应用】如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连结AC、BD，若∠ABD＝62°，则∠DAC＝　 　°．
【拓展延伸】如图③，边长为8的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，把边AB、DC分别绕点B、C顺时针方向旋转相同的角度，正方形ABCD变成四边形A′BCD′，对角线BD′，A′C交于点O′．若旋转角为55°，则点O运动到点O′所经过的路径长为 　 　．

9．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中A（1，0）、B（4，0）、C（4，2）、D（1，2），定义如下：若点P关于直线l的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“关联点”，
（1）已知点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是 　 　；
（2）⊙O的圆心O（﹣，1）半径为，若⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，求t的取值范围；
（3）⊙O的圆心O（m，1）（m＜0）半径为r，若存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围（用含m的式子表示）．

10．如图1，在⊙O中，OA＝2，弦，弓形AB是由和弦AB所围成的图形，弓形AB的高是的中点到AB的距离，将弓形AB绕点B顺时针旋转α（0°≤α≤360°），点A的对应点为点A'，如图2所示．

（1）分别求弓形AB的高和弓形AB的面积；
（2）当直线A'B与⊙O相切时，求α的度数并求此时点A'运动路径的长度；
（3）当点O落在弓形AB（阴影部分，包括边界）内时，请直接写出α的取值范围．
11．【学习心得】小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D、必在⊙A上，∠BCA是的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　．
【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，求∠BAC的度数．
【问题拓展】
如图3，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于H，若正方形的边长为4，求线段DH长度的最小值



12．如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D．
（1）求∠APB的大小；
（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？此时若AB＝4，求⊙O的半径；
（3）若圆的半径为4，在点P运动过程中，求PA+PB的最大值．



13．如图⊙O半径为r，锐角△ABC内接于⊙O，连AO并延长交BC于D，过点D作DE⊥AC于E．
（1）如图1，求证：∠DAB＝∠CDE；
（2）如图1，若CD＝OA，AB＝6，求DE的长；
（3）如图2，当∠DAC＝2∠DAB时，BD＝5，DC＝6，求r的值；
（4）如图3，若AE＝AB＝BD＝1，直接写出AD+DE的值（用含r的代数式表示）．


14．如图，线段BC＝16cm，过点B在线段BC的上方作射线BA，且tan∠ABC＝，动点O从点B出发，沿射线BA以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点O，Q都停止运动．以点O为圆心，OB长为半径的半圆与线段BC交于点D，与射线BA交于点P．连接PQ，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求BD的长（用含t的式子表示）；
（2）当t为何值时，线段PQ与半圆O相切？
（3）若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围．


15．小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在Rt△ABC中，∠C＝90°，当AB长度不变时，则点C在以AB为直径的圆上运动（不与A、B重合）．
[探索发现]
小明继续探究，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB长度不变．作∠A与∠B的角平分线交于点F，小明计算后发现∠AFB的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算∠AFB的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征．
[拓展应用]
在[探索发现]的条件下，若AB＝2，求出△AFB面积的最大值．
[灵活运用]
在等边△ABC中，AB＝2，点D、点E分别在BC和AC边上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，试求出△ABF周长的最大值．






16．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）以AB的中点为对称中心，请在图1中作出△ABC的中心对称图形，记点C的对称点为点D，请尺规作图并保留作图痕迹；
（2）证明：点A、B、C、D共圆；
（3）记（2）中圆的圆心为O，如图2，过点O作BD的垂线交BD于点E，点M为射线OE上一点，连接MB、MD．证明：若MB与⊙O相切，则MD也与⊙O相切．

17．如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中AB＝AD，对角线AC、BD相交于点E，在AC上取一点F，使得AF＝AB，过点F作GH⊥AC交⊙O于点G、H．
（1）证明：△AED∽△ADC．
（2）如图2，若AE＝2，且GH恰好经过圆心O，求BC•CD的值．
（3）若AE＝2，EF＝4，设BE的长为x．
①如图3，用含有x的代数式表示△BCD的周长．
②如图4，BC恰好经过圆心O，求△BCD内切圆半径与外接圆半径的比值．



18．△ABC中，BC＝AC＝10，AB＝16，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．
（1）当t＝0时，点C的坐标为 　 　；
（2）当t＝8时，cos∠BAO＝　 　；
（3）求从t＝0到t＝8这一时段点D运动路线的长；
（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与x轴相切时，直接写出t的值．

19．数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片．

（1）如图1，一张圆形纸片，圆心为O，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心O上，折痕交⊙O于B、C两点，求∠BAC的度数．
（2）把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点M是弧PQ上一动点．
①如图2，当点M是弧PQ中点时，在线段OP、OQ上各找一点E、F，使得△EFM是等边三角形．试用尺规作出△EFM，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹．
②在①的条件下，取△EFM的内心N，则ON＝　 　．
③如图3，当M在弧PQ上三等分点S、T之间（包括S、T两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个△EFM是等边三角形，取△EFM的内心N，请问ON的长度是否变化．如变化，请说明理由；如不变，请求出ON的长度．

20．阅读理解：
（1）【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，（请你在图1上画圆）则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°．
②类型二，“定角+定弦”：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值．
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝　 　，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，请完成后面的过程．
（2）【问题解决】
如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 　 　．
（3）【问题拓展】
如图4，在正方形ABCD中，AD＝4，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P．
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．

参考答案
1．（1）解：如图：

（2）证明：连接OD，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBO，
∴∠BDO＝∠ABD，
∴AB∥OD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥AC，
∵D点在圆O上，
∴CA与⊙O相切；
（3）解：∵∠ABD＝30°，
由（2）可知∠BDO＝∠DBO＝30°，
∴∠BOD＝120°，
∵BD＝2，
∴BD＝4，
设BD的中点为G，则OG⊥BD，
在Rt△BOG中，BG＝2，∠GBO＝30°，
∴BO＝4，
∴劣弧BD的长＝＝．

2．（1）证明：连接AO，AD，
∵CD是圆O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠PAD＝30°，
∴∠PAO＝30°+60°＝90°，
∴AO⊥PA，
∵A点在圆上，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知，∠P＝∠PAD＝30°，
∴PD＝AD，
∵PD＝3，
∴AD＝3，
∵∠ACD＝30°，∠CAD＝90°，
∴CD＝2AD＝6，
∴圆O的直径是6；
（3）解：设△ABC的内切圆圆心为M，连接AM，CM，BM，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵AM是∠BAC的平分线，CM是∠BCA的平分线，
∴∠MAC+∠MCA＝60°，
∴∠AMC＝120°，
由（2）可知，AC＝＝3，
∴M点在以AC为弦，AC弦所对的圆周角为120°的圆上，
作△AMC的外接圆N，连接AN、CN，
∵∠AMC＝120°，
∴∠ANC＝120°，
∴∠ABC+∠ANC＝180°，
∴N点在圆O上，
连接ON，
∵AN＝CN，
∴∠CON＝∠ABC＝60°，
∴△OCN是等边三角形，
∴CN＝OC＝3，
当B点与D点重合时，∠CNB＝90°，
∴△ABC内心的运动路线长＝×2π×3＝π，
故答案为：π．

3．解：（1）如图1，OB与CD的交点记作点H，

在矩形OABC中，OA＝，OC＝1，
∴∠AOC＝∠OCB＝90°，BC＝OA＝，
根据勾股定理得，OB＝＝，
∵DE的中点在OB上，
∴CD⊥OB，
∴∠ODC+∠DOB＝90°，
∵∠DOB+∠COB＝90°，
∴∠ODC＝∠COB，
∴∠COD＝∠BCO，
∴△COD∽△BCO，
∴，
∴OD＝＝＝；
（2）如图2，过点F作FG⊥OA于G，

∴∠OGF＝90°，
在矩形OABC中，OA＝，OC＝1，∠AOC＝∠OCB＝90°，
∴∠BCO＝∠AOC＝∠FGO＝90°，
∴四边形OGFC是矩形，
∴FG＝OC＝1，
∵⊙O与AB边相切，
∴OD＝OA＝，
∴OF＝，
在Rt△OGF中，sin∠FOG＝＝＝，
∴∠AOF＝45°，
∴劣弧的长为＝π；
（3）如图3，在矩形OABC中，∠AOC＝90°，AO∥BC，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴tan∠ODC＝tan∠BCD，

当⊙O过点C时，OD＝OC＝1，
在Rt△COD中，tan∠ODC＝＝1，
∴tan∠BCD＝1，
当⊙O过点B时，OD'＝OB＝，
在Rt△OD'C中，tan∠OD'C＝＝＝，
∴tan∠BCD'＝，
∴当⊙O与△ABC两条边同时相交，＜tan∠BCD＜1．
4．解：（1）所作图形如图1所示；


（2）CD与⊙O相切，理由：如图2，

作∠ADC的角平分线，交AB于M，
∴∠ADM＝∠CDM，
过点M作MF⊥CD于F，
∴∠DFM＝90°＝∠A，
∵DM＝DM，
∴△ADM≌△FDM（AAS），
∴MF＝MA，DF＝AD，
∴CD＝DF+CF＝AD+CF，
∵CD＝AD+BC，
∴CF＝BC，
在Rt△CFM和Rt△CBM中，
，
∴Rt△CFM≌Rt△CBM（HL），
∴BM＝MF，
∴MF＝AB，
∵⊙O的直径为AB，
∴CD与⊙O相切（圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线）；

（3）如图3，过点D作DE⊥BC于E，

∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝12，BE＝AD＝x，
在Rt△DEC中，CE＝BC﹣BE＝y﹣x，CD＝AD+BC＝x+y，
根据勾股定理得，DE2+CE2＝CD2，
∴122+（y﹣x）2＝（x+y）2，
∴y＝．
5．（1）解：①是，理由如下：
∵BC＝10，CD＝，
∴BD＝，即圆D的半径为，
如图2，过点D作DE⊥AC于点E，
∴∠DEC＝∠A＝90°，
∴△CDE∽△CBA，
∴CD：BC＝DE：AB，即：10＝DE：6，
∴DE＝，
∴BD＝DE，即圆D是△ABC的“切接圆”；
②在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝8；
如图3，过点D作DF⊥AB于点F，
∴∠BDF＝∠C，
∴△BDF∽△BCA，
∴BD：BC＝DF：AC，
根据“切接圆”的性质可设，DF＝DC＝r，
∴BD＝10﹣r，
∴（10﹣r）：10＝r：8，
解得r＝；
∴圆D的半径为；
（2）证明：根据题意作出图形，如图4所示，
∵AC＝BC＝10，AB＝12，∠AOB＝90°，
∴AO＝OB＝6，
∴OC＝8，即C（0，8）；
设点D的横坐标为m，
∴D（m，m2+4），
∴CD2＝m2+（m2+4﹣8）2＝（m2+4）2，即CD＝m2+4，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴DE＝m2+4，
∴CD＝DE，
根据“切接圆”的定义可知，以抛物线y＝+4图象上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的“切接圆”．



6．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，
理由如下：
如图1，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，

∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，
∴S＝x2（2＜x≤4）；
（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，

∵点D，点E关于直线AC对称，
∴EM＝DM，
同理DN＝NF，
∵△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，
∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，
则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，
∴△DMN的周长最小值为EF＝t，
∵点D，点E关于直线AC对称，
∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD，
∵点D，点F关于直线BC对称，
∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，
∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，
∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°，
∴EP＝PF，∠CEP＝30°，
∴PC＝EC，PE＝PC＝EC，
∴EF＝2PE＝EC＝CD＝t，
∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，
∵CD为⊙O的弦，
∴CD为直径时，CD有最大值6，
∴t的最大值为6．
7．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵＝，
∴∠APM＝60°，
∵PM＝PA，
∴△PAM是等边三角形，
∴AP＝AM，
∴＝，
∴∠ABP＝∠ACP，
∵AC＝AB，
∴△APB≌△AMC（SAS），
∴MC＝PB，
∴PC＝PM+MC＝PA+PB；
（2）证明：由（1）可知PC＝PA+PB，
∵PA＝x，PB＝y，PC＝z，
∴z＝x+y，
设AB与PC的交点为D，
∵＝，
∴∠BPD＝∠BAC＝60°，
∵∠AMP＝60°，
∴△PBD∽△MAD，
∴＝，即＝，
∴PD＝，
∵∠CAD＝∠CPA＝60°，
∴△ADC∽△PAC，
∴＝，
∴（x+y）（x+y﹣）＝m2，
整理可得：x2+y2+z2＝2m2；
（3）解：连接BF、BD、DF，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴△DBF是等边三角形，
∵P点在正六边形ABCDEF的外接圆上，
又∵PB＝b，PD＝d，PF＝f，
由（2）可得b2+d2+f2＝2BF2，
过点A作AQ⊥BF交于点Q，
∵∠BAF＝120°，
∴∠BAQ＝60°，
∵AB＝n，
∴BQ＝AB•cos30°＝n，
∴BF＝n，
∴b2+d2+f2＝6n2，
同理△AEC也是等边三角形，
∴a2+c2+e2＝6n2，
∴a2+c2+e2+b2+d2+f2＝12n2．

8．【问题原理】证明：∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝AB，
如图①，连接OC，OD，
在Rt△ABC中，点O是AB的中点，
∴OC＝AB，
在Rt△ABD中，点O是AB的中点，
∴OD＝AB，
∴OC＝OD＝OA＝AB，
∴点 C、D在⊙O上；
【发现结论】Ⅰ、两直角在斜边的同侧，如图①，证明见【问题原理】；
Ⅱ、两直角在斜边的异侧，如图②，∠ABC＝∠ADC＝90°，以AC为直径作⊙O，
求证：点 B、D在⊙O上；
证明：∵AC是⊙O的直径，
∴OA＝AC，
如图②，连接OB，OD，
在Rt△ABC中，点O是AC的中点，
∴OB＝AC，
在Rt△ACD中，点O是AC的中点，
∴OD＝AC，
∴OB＝OD＝OA＝AC，
∴点 B、D在⊙O上；，
即有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点都在以斜边为直径的圆上；
【结论应用】解：∵∠ABC＝90°，∠ABD＝62°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝28°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴点A，B，C，D在以AC为直径的圆上，
∴∠DAC＝∠CBD＝28°，故答案为：28；
【拓展延伸】解：如图③，
延长BC至M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC，∠ABC＝∠DCN＝90°，
由旋转知，A'B＝AB，CD'＝CD，∠ABA'＝∠DCD'，
∴∠A'BC＝∠D'CN，A'B＝D'C＝BC，
∴四边形A'BCD'是平行四边形，
∵A'B＝BC，
∴▱A'BCD'是菱形，
∴∠BO'C＝90°，
取BC的中点M，连接OM，O'M，
∴O'M＝BC，
∵点O是正方形ABCD的对角线的交点，
∴∠BOC＝90°，
∴OM＝BC，
∴O'M＝OM，
∴点O运动到点O'的轨迹为以BC为直径的圆的一部分，
∵M是BC的中点，
∴OM⊥BC，
∴OM＝BC＝4，∠OMC＝90°，
由旋转知，∠D'CN＝55°，
∵点M是BC的中点，点O'是BD'的中点，
∴MO'是△BCD'的中位线，
∴O'M∥CD'，
∴∠O'MN＝55°，
∴∠OMO'＝∠OMC﹣∠O'MN＝35°，
∴点O运动到点O′所经过的路径长为＝π，
故答案为：π．


9．解：（1）点P1（﹣1，2）、点P2（﹣2，1）、点P3（﹣4，1），点P2（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点分别为点（1，2）、（2，1）、（4，1），（3，﹣1），
∴P1（﹣1，2）的对称点与D点重合，P3（﹣4，1）的对称点在BC边上，
∴关联点是P1，P3，
故答案为：P1，P3；
（2）当圆上的点（﹣5，1）关于直线x＝t的对称点（2t+5，1）在AD上时，
∴2t+5＝1，解得t＝﹣2，
当圆上的点（﹣2，1）关于直线x＝t的对称点（2t+2，1）在BC上时，
∴2t+2＝4，解得t＝1，
∴﹣2≤t≤1时，⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
（3）∵AD＝2，
∴r最小值为1，
∴r≥1，
当圆O关于直线x＝t的对称圆O'与BC相切，同时圆O'经过A、D两点时，
过点O'作MN⊥AD，交于M，交BC于点N，连接O'D，
在Rt△MDO'中，MO'＝3﹣r，DO'＝r，DM＝1，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得r＝，
∴r≥1且r≠，
当r＝1时，当圆心O'在AD边上时，O'（1，1），此时t＝m+，圆O'与矩形有两个交点，
当圆心O'（2，1），此时t＝m+1，圆O'与矩形有三个交点，
∴m+＜t＜m+1时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
当圆心O'（3，1），此时t＝m+，圆O'与矩形有三个交点，
当圆心O'（4，1），此时t＝m+2，圆O'与矩形有两个交点，
∴m+＜t＜m+2时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点；
综上所述：m+＜t＜m+1或m+＜t＜m+2时，存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x＝t的关联点．


10．解：（1）如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，

∵OA＝2，，
∴，OC＝1，
∴CD＝OD﹣OC＝1，即弓形AB的高为1，
∵，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，
∴弓形AB的面积为；
（2）当A'B与⊙O相切，
∴∠OBA'＝90°，
此时∠ABA'＝90°+30°＝120°或∠ABA'＝90°﹣30°＝60°，
∴α的度数为120°或300°，
当α＝120°时，点A'运动路径的长度为；
当α＝300°时，点A'运动路径的长度为；
（3）α的取值范围为30°≤α≤60°，
当A'B与OB重叠时，α＝∠OBA＝30°，
当A'B绕点B顺时针旋转至点A'恰好落在⊙O上，此时O在弧A'B上，根据圆的有关性质，可以得到∠A'BO＝∠OBA＝30°，
∴α＝∠ABA'＝60°，
综上所述，α的取值范围为30°≤α≤60°．
11．解：（1）如图1，

∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45°；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝30°，
∴∠BAC＝30°；
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝2，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝2，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．


12．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠APB＝120°；
（2）当点P运动到的中点时，PD⊥AB，
如图1，连接PC，OA，OB，

∴AD＝BD＝AB＝2，
设⊙O的半径为r，则CP＝2r，
∵⊙O为等边△ABC的外接圆，
∴∠OAB＝30°，
在Rt△OAD中，
∵OD＝OA＝，
∴AD2+OD2＝AO2，
即（2）2+（r）2＝r2，
解得：r＝4或r＝﹣4（舍去）；
（3）解：∵⊙O为等边△ABC的外接圆，
∴∠OAB＝30°，
在Rt△OAD中，
∵OD＝OA＝＝2，
∴CD＝+r＝＝6，
∴PC＝CD＝8，
如图，在AP的延长线上取点Q，使PQ＝PB，连接BQ，

∵∠APB＝120°，
∴∠BPQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PB＝BQ，
∵∠CBP＝∠CBA+∠ABP＝60°+∠ABP，∠ABQ＝∠QBP+∠ABP＝60°+∠ABP，
∴∠ABQ＝∠CBP，
在△ABQ和△CBP中，PB＝QB，∠CBP＝∠ABQ，CB＝AB，
∴△ABQ≌△CBP（SAS），
∴CP＝AQ＝AP+PQ＝AP+PB＝8，
即当PC为直径时，PA+PB的值最大，最大为8．
13．（1）证明：延长AD交⊙O于F，连接BF，

∴∠C＝∠F，
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ABF＝∠DEC＝90°
∴∠DAB＝∠CDE．
（2）解：作OM⊥AB于M，

∴∠AMO＝∠DEC＝90°，
∵AB＝6，
∴AM＝AB＝3，
∵AO＝CD，∠DAB＝∠CDE，
∴△AMO≌△DEC（AAS），
∴DE＝AM＝3．
（3）解：作AG⊥BC于点G，DH⊥AB于点H，延长AD⊙O于F，

∴∠AGC＝∠DEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴∠GAC＝∠CDE＝∠DAB，
∵∠DAC＝2∠DAB，
∴∠DAB＝∠DAG＝∠GAC，
∴△ADH≌△ADG（AAS），△ADG≌△ACG（ASA），
∴AH＝AG，
∵DC＝6，
∴DH＝DG＝GC＝3，
在Rt△BDH中，，
令AH＝AG＝x，
在Rt△ABG中，AB2＝AG2+BG2，
∴82+x2＝（x+4）2，
∴x＝6，
∴AB＝AH+BH＝10，
∵∠F＝∠C＝∠ADC＝∠BDF，
∴BF＝BD＝5，
在Rt△ABF中，，
∴．
（4）解：延长AD⊙O交于F，作CG⊥AF于G，连接EG交DC于H，连接BF，

∵AB＝DB，
∴∠BAD＝∠ADB，
∵∠CDG＝∠ADB，∠EDC＝∠BAD，
∴∠EDC＝∠GDC，
∴∠ECD＝∠GCD，
∴DE＝DG，
∴AD+DE＝AD+DG＝AG，EF⊥DC，∠DGH＝∠DEH，
∵∠DEH+∠HEC＝∠ECH+∠HEC＝90°，
∴∠ECH＝∠DEH＝∠DGH，
∵∠BFD＝∠ECH，
∴∠BFD＝∠AGE，
∵∠FBD＝∠GAE，BD＝AE，
∴△BDF≌△AGE（AAS），
∴AG＝BF，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF＝90°，
∵AF＝2r，
∴BF＝＝＝，
∴AD+DE＝．
14．解：（1）过点O作OE⊥BD于E，
由运动知，OB＝tcm，
在Rt△OEB中，tan∠ABC＝＝，
∴cos∠ABC＝＝，
解得BE＝tcm，
∵BD＝2BE，
∴BD＝tcm；
（2）∵线段PQ与半圆O相切，
∴QP⊥BP，
∵tan∠ABC＝，BP＝2tcm，
∴QP＝tcm，
∵CQ＝2tcm，BC＝16cm，
∴BQ＝（16﹣2t）cm，
在Rt△BPQ中，（16﹣2t）2＝（t）2+（2t）2，
解得t＝3或t＝﹣12（舍），
∴t的值为3时，线段PQ与半圆O相切；
（3）当PQ与圆O相切时，半圆O与线段PQ只有一个公共点，
由（2）可知t＝3 s，
∴当0＜t≤3时，半圆O与线段PQ只有一个公共点；
当点Q与点D重合时，BD＝BQ，
∴t＝16﹣2t，
解得t＝5，
∴5＜t＜8时，半圆O与线段PQ只有一个公共点；
综上所述：0＜t≤3或5＜t＜8时，半圆O与线段PQ只有一个公共点．

15．解：[探索发现]∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AF是∠CAB的平分线，BF是∠CBA的平分线，
∴∠FAB+∠FBA＝45°，
∴∠AFB＝135°，
∴F点在以AB为定弦，∠AFB为定角的圆上；
[拓展应用]设F点在圆O上，连接OA、OB，
∵∠AOB＝90°，
∵∠ACB+∠AOB＝180°，
∴O与C点共圆，
过点F作FH⊥AB交于点H，设AB的中点为D，
当H点与D点重合时，FH的长度最大，此时△FBA的面积最大，
∵FH⊥AB，D是AB的中点，
∴FA＝FB，
∵∠AFB＝135°，
∴∠FAB＝∠FBA＝22.5°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
连接CF，则C、F、D三点共线，
过点F作FP⊥AC交于点P，
∴FP＝FD，AP＝AD，
∵AB＝2，
∴AC＝，AD＝AP＝，
∴CP＝﹣，
∵∠FCP＝45°，
∴CF＝CP＝2﹣，
∴FD＝﹣（2﹣）＝﹣，
∴△AFB的面积＝×2×（﹣）＝3﹣3，
∴△AFB面积的最大值为3﹣3；
[灵活运用]∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠BAD，
∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠CBE＝∠ABC＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∵AB＝2，
∴F点在以AB为定弦，∠ABF为定角的圆上，
设△ABF的外接圆为O，当△ABF的高经过圆心O时，△ABF的周长有最大值，
连接AO、BO，
∵∠AFB＝120°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝BO，
∴∠OAB＝30°，
∵AB＝2，
∴AH＝，
在Rt△AOH中，OH＝AH•tan30°＝1，OA＝2OH＝2，
∴HF＝OF﹣OH＝1，
∴AF＝BF＝2，
∴△ABF周长的最大值为4+2．


16．（1）解：如图1，△ABD即为△ABC的中心对称图形；

（2）证明：如图，设AB，CD交于点O，
由作图可知：OA＝OB，OD＝OC，
∴四边形ADBC是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ADBC是矩形，
∴点A、B、C、D共圆；
（3）证明：如图2，连接OD，

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵MB与⊙O相切，
∴∠OBM＝90°，
∵OB＝OD，OM⊥BD，
∴BE＝DE，
∴OM是BD的垂直平分线，
∴MB＝MD，
∵OM＝OM，
∴△OBM≌△ODM（SSS），
∴∠OBM＝∠ODM＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴MD也与⊙O相切．
17．（1）证明：∵AB＝AD，
∴，
∴∠ADB＝∠ACD，
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△AED∽△ADC；
（2）解：∵AED∽△ADC，
∴＝，
∵GH为⊙O的直径，GH⊥AC，
∴，
∵AB＝AD，AF＝AB，
∴AB＝AD＝AF，
∴AC＝2AD，
∴，
∵AE＝1，
∴AD＝2，
∴AB＝2，AC＝4，
∴EC＝AC﹣AE＝3，
∵AB＝AD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴△DEC∽△ABC，
∴，
∴BC•CD＝AC•EC＝4×3＝12；
（3）解：①∵AE＝1，EF＝2，
∴AB＝AD＝AF＝AE+EF＝3．
∵△AED∽△ADC，
∴＝，
∴AC＝3AD＝9，
∴CE＝AC﹣AE＝8，
∵∠CAD＝∠CBD，∠CEB＝∠DEA，
∴△AED∽△BEC，
∴，
∴，
∴DE＝，BC＝3x，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AEB＝∠DEC，
∴△AEB∽△DEC，
∴，
∴，
∴DC＝，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BE+DE＝3x++x+＝4x+；
②∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∴△BCD外接圆半径为，
在Rt△ABE中，
BE＝＝＝，
由①的结论可得：DE＝＝，CD＝，△BCD的周长＝4+＝，
∴BD＝BE+DE＝．
设△BCD内切圆半径为r，
∴△BCD的周长×r＝×BD•CD，
∴r＝×，
∴r＝，
∴△BCD内切圆半径与外接圆半径的比值＝＝．
18．解：（1）如图1，∵BC＝AC，CD⊥AB，
∴D为AB的中点，
∴AD＝AB＝8．
在Rt△CAD中，CD＝6，
∴点C的坐标为（6，8），
故答案为：（6，8）；

（2）如图2，当t＝8时，AO＝8，
在Rt△ABO中，D为AB的中点，OD＝AB＝8，
∴OA＝OD＝AD＝8，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴cos∠BAO＝，
故答案为：；
（3）如图3，从t＝0到t＝8这一时段点D运动路线是弧D′D，其中，OD＝OD′＝8，
∵∠D′OD＝90°﹣60°＝30°，
∴D′D的弧长＝＝；

（4）设AO＝t1时，⊙C与x轴相切，A为切点，如图4，

∴CA⊥OA，
∴CA∥y轴，
∴∠CAD＝∠ABO．
∵∠CDA＝∠AOB＝90°，
∴Rt△CAD∽Rt△ABO，
∴，
即＝，
解得t1＝；
∴当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为．
19．解：（1）∵由折叠可得AC＝OC，
∵OC＝OA，
∴AC＝OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
同理：∠BAO＝60°，
∴∠CAB＝∠CAO+∠BAO＝120°；
（2）①作等边△OMG，作OG垂直平分线交OQ于点F，以O为圆心OF为半径作圆交OP于点E，连接EF、ME、MF得△EFM，

根据作图可知，OE＝OF，
根据折叠可知，∠POQ＝90°，
∵点M为的中点，
∴，
∵OM＝OM，
∴△OME≌△OMF（SAS），
∴∠EMO＝∠FMO，EM＝FM，
∵△OMG为等边三角形，
∴∠OMG＝60°，
∵MF垂直平分OG，
∴∠OMF＝∠GMF＝30°，
∴∠EMO＝∠FMO＝30°，
∴∠EMF＝60°，
∴△EFM为等边三角形；
②根据解析①可知，△EFM为等边三角形，∠EMO＝∠FMO＝30°，
∴内心△EFM的内心N在OM上，MH⊥EF，EH＝HF，
设NH＝x，则MN＝2x，MH＝3x，OH＝6﹣3x，
∵∠EMH＝30°，
∴，
∵∠POQ＝90°，OE＝OF，EH＝HF，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：．

③不变，理由如下：
如图，取EF中点H，连接OH，HM，OM，作OL⊥MH交于点L，

设HN＝x，LH＝y，则MN＝2x，，MH＝3x，
在Rt△OEF中，∠EOF＝90°，
∵H为FE的中点，
∴，
在Rt△OML中，OL2＝OM2﹣LM2＝62﹣（3x+y）2，
在Rt△OHL中，OL2＝OH2﹣LH2＝3x2﹣y2，
即有62﹣（3x+y）2＝3x2﹣y2化简得2x2+xy＝6，
在Rt△ONL中，ON2＝OL2+LN2＝3x2﹣y2+（x+y）2＝4x2+2xy＝2（2x2+xy）＝12．
即，ON的值不变．
20．解：（1）①∵AB＝AC＝AD，
∴点B，点C，点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，
如图1，

∴∠BDC＝∠BAC＝22°，
故答案为：22°；
②∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，
如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，

∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB＝2，
在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2，
故答案为：90°；
（2）如图3，连接AC，AM，

∵点B，点M关于直线AP对称，
∴AB＝AM，
∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∴当点M在线段AC上时，MC有最小值，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
∴CM的最小值为5﹣3＝2，
故答案为：2；
（3）①结论：AE＝DF，AE⊥DF，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADP+∠DCF＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥DF；
②如图4，连接AC，BD交于点O，

∵点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的，
∴点P的运动路径长为．