2023年九年级中考数学复习函数及其图象性质探究

2023年九年级中考数学复习函数及其图象性质探究

考点一  反比例函数图象的变换与性质

1.【2020河南模拟七21，10】已知函数

（1）写出自变量的取值范围：________；

（2）请通过列表，描点，连线画出这个函数的图象．

①列表：

②描点（在下面给出的直角坐标系中补全表中对应的各点）；

③连线（将上图中描出的各点用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象）

（3）观察函数的图象，回答下列问题：

①图象与轴有______个交点，所以对应的方程的实数根是______；

②函数图象的对称性是________．

A.既是轴对称图形，又是中心对称图形   B.只是轴对称图形，不是中心对称图形

C.不是轴对称图形，而是中心对称图形   D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形

（4）写出函数与的图象之间有什么关系？（从形状和位置方面说明）

2.【2021襄阳21,7】小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：

（1）绘制函数图象

①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　；

②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质

判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）

①函数值y随x的增大而减小：　 　．

②函数图象关于原点对称：　 　．

③函数图象与直线x＝﹣1没有交点：　 　．

3.【2021平顶山一模22，10】有这样一个问题：探究函数连线，画出函数的部分图象如图所示，探究过程如下：（1）函数的自变量的取值范围是______；

（2）对于函数，与的几组对应值如下表：

在同一直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），并补全函数的图象（画出方格内部分函数图象即可）.其中_________；

（3）观察图象，写出函数的一条性质：___________________________；

（4）结合图象填空：当关于的方程有两个不相等的实数根时，实数的取值范围是____________；当关于的方程无实数根时，实数的取值范围是____________。

5.【2020邓州裴营模拟19，9】有这样一个问题：探究函数的图形与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）函数的自变量的取值范围是__________；

（2）如下表是与的几组对应值．写出_______，_______；

（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象．

（4）结合函数的图象，请完成：①时，则_______；

②写出该函数的一条性质_______________________；

③若方程无解，则的值为_____________．

6.【2020•邓州一模21，10】参照学习函数的过程与方法，探究函数（）的图象与性质。因为，即，所以我们对比函数来探究。

列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线画图.

（1）如图，在平面直角坐标系中已画出了函数的的部分图象，请补全此函数图象.

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x<0时，y随x的增大而_____;（填"增大"或"缩小"）

②的图象是由的图象向____平移____个单位而得到；

③图象关于点________中心对称.（填点的坐标）

（3）函数与直线交于点A、B，求△AOB的面积。

有这样一个问题：探究函数的图象与性质．

小彤根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究。 

下面是小彤探究的过程，请补充完整：

（1）函数的自变量的取值范围是___________；

（2）下表是与的几组对应值：

则的值为______；

（3）如图所示，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

（4）观察图象，写出该函数的一条性质_______________________________；

（5）若函数的图象上有三个点 A（）、B（）、C（），且，则之间的大小关系为______________。

考点二 一次函数与反比例函数新题型

1.如图，反比例函数（）的图象过格点（网格线的交点）P．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：

①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于的值．

2.模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　   　象限内交点的坐标．

（2）画出函数图象

函数（）的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．

（3）平移直线，观察函数图象

①当直线平移到与函数（）的图象有唯一交点（2，2）时，周长的值为　   　；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．

（4）得出结论：若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为　   　．

3.【2020•湖南郴州24，10】为了探索函数（）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．

列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；

（2）已知点（），（）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：

若0＜＜≤1，则　   　；若1＜＜，则　   　；

若，则　   　（填“＞”，“＝”或“＜”）．

（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．

①请写出与的函数关系式；

②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内？

4.数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大.

下面是探究过程，请补充完整：

（1）设小正方形的边长为dm，体积为dm3，根据长方体的体积公式得到和的关系式：                     ；

（2）确定自变量的取值范围是             ；

（3）列出与的几组对应值.

（说明：表格中相关数值保留一位小数）

（4）在下面的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（5）结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为          dm时，

盒子的体积最大，最大值约为             dm3.

5.有这样一个问题：探究函数的图象和性质.小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究。下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1）函数的自变量 的取值范围是                   ；

（2）下表是 与 的几组对应值. 则m 的值为   ；

（3）如右图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出此函数的图象；

（4）进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质         ________________（一条即可）

考点三  二次函数图象变换新题探究

1.某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.

（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：

其中，=____________.

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分.

（3）观察函数图像，写出两条函数的性质：

（4）进一步探究函数图像发现：

①函数图像与轴有________个交点，所以对应方程有________个实数根；

②方程有___________个实数根；

③关于的方程有4个实数根，的取值范围是___________________.

答案：（1）0；  （2）（正确补全图像）；  （3）（可从函数的最值，增减性，图像的对称性等方面阐述，答案不惟一，合理即可）；（4）① 3，3；② 2；③.（注：本题不累计给分，除（3）中每条性质为2分外，其他每空1分）

2.有这样一个问题：探究函数的图象与性质。

小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究。

下面是小东的探究过程，请补充完成：

（1）函数的自变量的取值范围是___________；

（2）下表是与的几组对应值。

求的值；

（3）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，格局描出的点，画出该函数的图象；

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________。

考点四：分段函数（绝对值）

1.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，；当时，．

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质；

（3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．

2.【2020•北京海淀24，6】小云在学习过程中遇到一个函数.

下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（1）当时，

对于函数，即，当时，随的增大而，且；

对于函数，当时，随的增大而，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而.

（1）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：

综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大。在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象.

（3）过点（0，）（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是_______。

3.【2021河南中考总复习二22，10】某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。

（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：

其中，________；

（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；

（3）方程的解是_______________；

（4）关于的方程有4个实数解，则的取值范围是_______________。

4.【2019湖南郴州24，10】若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 的图象与性质．

列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点A（－5，y1），B（－，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则 y1       y2 ， x1        x2 ；（填“＞”、“＝”或“＜”）

②当函数值y＝2 时，求自变量 x 的值；

③在直线x＝－1的右侧的函数图象上有两个不同的点 P( x3，y3 )，Q( x4，y4 ) ，且y3＝y4 ，求 x3＋x4的值；

④若直线 y＝a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围．

5.【2022•湖北襄阳21，7】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是与的几组对应值，其中______．

②描点：根据表中的数值描点（，），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

（2）探究函数性质   请写出函数的一条性质：________________；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程的解___________；
②写出不等式的解集___________．

6.【2021荆州21,8】小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质：  ▲  ；

②方程的解为：  ▲  ；

③若方程有四个实数根，则a的取值范围是  ▲  .

（2）延伸思考：

将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量x 的取值范围．