2023年中考数学二轮专项练习：二次函数动态几何问题附答案

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数动态几何问题附答案

一、单选题

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（　　）

A．一直减小 B．一直不变

C．先减小后增大 D．先增大后减小

2．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（　　） 

A．2 B．4 C．2  D．4

3．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为(　　)
 

A．－3 　 B．1 C．5 D．8

4．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC=6，BD=8．动点E从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止．点F是点E关于BD的对称点，EF交BD于点P，若BP=x，△OEF的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

5．二次函数y=（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）

A．向上，直线x=4，（4，5） B．向上，直线x=﹣4，（﹣4，5）

C．向上，直线x=4，（4，﹣5） D．向下，直线x=﹣4，（﹣4，5）

6．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，OA＝4，OC＝3，直线m：y＝﹣ x从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t(秒)，设△OMN的面积为S，则能反映S与t之间函数关系的大致图象是(　　)

A． B．

C． D．

7．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣C和B﹣C﹣D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（　　）

①当t=4秒时，S=4 ②AD=4  

③当4≤t≤8时，S=2 t       ④当t=9秒时，BP平分四边形ABCD的面积．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（　　）

A．﹣3 B．1 C．5 D．8

9．如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（　　）

​

A．​ B．​

C．​ D．​

10．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）

A．（1，﹣2） B．（1，2）

C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）

11．下列函数不是二次函数的是（　　）

A．y=﹣3（x+1）2+5 B．y=6﹣x2

C．y= D．y=（﹣x+2）（x﹣3）

12．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）

A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2﹣2

C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，抛物线 经过 和 两点，直线 与抛物线交于A，B两点，P是直线 上方的抛物线上一动点，当 的面积最大值时，点P的横坐标为　     　．  

14．如图，在 中， ， ， 为 边上的高，动点 在 上，从点 出发，沿 方向运动，设 ， 的面积为 ，矩形 的面积为 ， ，则y与x的关系式是　         　． 

15．如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为　                                 　．

16．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为　     　

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=﹣n始终保持相切，则n=　     　（用含a的代数式表示）．

18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过 　     　秒钟，使△PBQ的面积最大．

三、综合题

19．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）．

（1）直线BC的解析式为　     　．

（2）求抛物线所对应的函数解析式．

（3）①顶点D的坐标为　        　；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为　     　，最小值为　     　．

（4）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值．

20．已知抛物线 y = ax2+ bx+2 经过点 A （-2，0）．

（1）b＝　     　（用含 a 的代数式表示）；

（2）若抛物线 y = ax2+ bx+2 与 x 轴的另一交点为 B，且 AB＝3．求 a 的值；

（3）在（2）的条件下，当 a 为整数时，记抛物线的顶点为 M．现将该抛物线进行平移，使平移后的抛物线的顶点在直线 OM 上运动．当平移后的抛物线恰好经过原点时，求平移后的抛物线的解析式．

21．如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3)．

（1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式；

（2）求△AOC和△BOC的面积比；

（3）在对称轴上是否存在一个P点，使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．

22．如图，一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；

（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

23．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图，抛物线y= +bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D． 

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．  

（2）试判断△BCD的形状，并予证明．  

（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．  

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】C

3．【答案】D

4．【答案】D

5．【答案】A

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】D

9．【答案】B

10．【答案】B

11．【答案】C

12．【答案】C

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】（3，1）或（﹣1，1）或（1，﹣1）

16．【答案】

17．【答案】

18．【答案】3

19．【答案】（1）

（2）解：把点B（3，0）和C（0，3）代入得：

，

解得： ，

∴抛物线所对应的函数解析式为 ；

（3）；4；-5

（4）解：设点 ，则，

∴ ，

∴当 时， 的值最大，最大值为 ．

20．【答案】（1）2a＋1

（2）解：∵ 抛物线 y = ax2+ bx+2 经过点 A （-2，0），与 x 轴的另一交点为 B，且 AB＝3．

∴ 点B的坐标为（﹣5，0）或（1，0）

当点B的坐标为（﹣5，0）时，有

解得

当B点坐标为（1，0）时，有

解得

综上，a＝ 或﹣1

（3）解：在（2）的条件下，当a为整数时，则a＝﹣1，b＝﹣1

∴抛物线的解析式为y＝ ＝

∴顶点M的坐标为（ ， ）

设直线OM的解析式为y＝mx

则 ＝ m

解得m＝

∴直线OM的解析式为y＝ x，

∵平移后的抛物线的顶点在直线OM上，

∴可设新抛物线的顶点 的坐标为（t， t）

∴平移后的抛物线的解析式为y＝

∵平移后的抛物线经过原点（0，0）

∴0＝

解得t＝0或

∴平移后的抛物线的解析式为y＝ 或y＝

21．【答案】（1）解：∵A，B两点关于x=1对称，

∴B点坐标为（3，0），

根据题意得： ，

解得a=1，b=-2，c=-3．

∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．

（2）解：

（3）解：存在一个点P．

C点关于x=1对称点坐标C'为（2，-3），

令直线AC'的解析式为y=kx+b

∴ ，

∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式为y=-x-1．

当x=1时，y=-2，

∴P点坐标为（1，-2）．

22．【答案】（1）解：∵一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，

∴A （﹣1，0），C （0，﹣4），

把A （﹣1，0），C （0，﹣4）代入y= x2+bx+c得

∴ ，解得 ，

∴y= x2﹣ x﹣4；

（2）解：∵y= x2﹣ x﹣4= （ x﹣1）2﹣ ，

∴顶点为D（1，﹣ ），

设直线DC交x轴于点E，

由D（1，﹣ ），C （0，﹣4），

易求直线CD的解析式为y=﹣ x﹣4，

易求E（﹣3，0），B（3，0），

S△EDB= ×6× =16，

S△ECA= ×2×4=4，

S四边形ABDC=S△EDB﹣S△ECA=12；

（3）解：设M、N的纵坐标为a，

由B和C点的坐标可知BC所在直线的解析式为：y= ，

则M（ ，a），N（ ，a），

①  当∠PMN=90°，MN=a+4，PM=﹣a，因为是等腰直角三角形，则﹣a=a+4，则a=﹣2，则P的横坐标为﹣ ，

即P点坐标为（﹣ ，0）；

②  当∠PNM=90°，PN=MN，同上，a=﹣2，则P的横坐标为 = ，

即P点坐标为（ ，0）；

③当∠MPN=90°，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ=﹣a，

又PM=PN，∴PQ⊥MN，则MN=2PQ，即：a+4=﹣2a，

解得：a=﹣ ，

点P的横坐标为： = = ，

即P点的坐标为（ ，0）．

23．【答案】（1）解：∵点A（3，4）在直线y=x+m上，

∴4=3+m．

∴m=1．

设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2．

∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，

∴4=a（3﹣1）2，

∴a=1．

∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．

即y=x2﹣2x+1．

（2）解：设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE．

∴PE=h=yP﹣yE

=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）

=﹣x2+3x．

即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．

（3）解：存在．

解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．

∵点D在直线y=x+1上，

∴点D的坐标为（1，2），

∴﹣x2+3x=2．

即x2﹣3x+2=0．

解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）

∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．

解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．

设直线CE的函数关系式为y=x+b．

∵直线CE经过点C（1，0），

∴0=1+b，

∴b=﹣1．

∴直线CE的函数关系式为y=x﹣1．

∴

得x2﹣3x+2=0．

解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）

∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．

24．【答案】（1）解：点A（1，0）关于x=﹣1的对称点B（﹣3，0）， 

设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y=a（x﹣1）（x+3），

该抛物线又过C（0，3），则有：3=﹣3a，解得a=﹣1，

即y= = ﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；

（2）解：△DCB为直角三角形，理由如下： 

过D点，作DT⊥y轴于T，如图1，

则T（0，4）．

∵DT=TC=1，

∴△DTC为等腰直角三角形，

∴∠DCT=45°，

同理可证∠BCO=45°，

∴∠DCB=90°，

∴△DCB为直角三角形；

（3）解：设P（﹣1，t）， 

∵A（1，0），C（0，3），

∴ = = ， = = ， = =10，

∵△APC为等腰三角形，

∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况，

①当AP=CP时，则有 = ，即 = ，解得t=1，此时P（﹣1，1）；

②当AP=AC时，则有 = ，即 =10，解得t= ，此时P（﹣1， ）或（﹣1， ）；

③当CP=AC时，则有 = ，即 =10，解得t=0或t=6，此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1， ）或（﹣1， ）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．