2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形附答案

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2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形附答案
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+8ax(a>0)与x轴交于O，A两点，顶点为M，对称轴与x轴交于H，与过O，A，M三点的⊙Q交于点B，⊙Q的半径为5，点C从点B出发，沿着圆周顺时针向点M运动，射线MC与x轴交于D，与抛物线交于E，过点E作ME的垂线交抛物线的对称轴于点F.

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点C的运动路径长为 时，求证：HD=2HA．
(3)在点C运动过程中．是否存在这样的位置，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△AHQ相似?若存在，求出此位置时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
2．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)若点是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，以，，为顶点的三角形是否能够与相似(排除全等的情况)？若能，请求出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．已知顶点P的坐标为（-3，-4），线段PC之长为3

(1)求二次函数解析式。
(2)M为直线l上一点，且以M,C,O为顶点的三角形与以A,C,O为顶点的三角形相似，请直接写出点M的坐标。
(3)直线l上是否存在点D，使△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)和点C(0，2)，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式.
(2)已知点F(0，)，当点P在x轴正半轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，抛物线y=ax2+bx经过点C、A．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于R、S两点，问：四边形PRSM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点Q,过点Q作x轴的垂线，垂足为H,使得以O、Q、H为顶点的三角形与∆OAB相似，如果存在，直接写出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线，线段以及轴于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；
（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．
7．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A，B两点，与y轴相交于点（0，3），连接BC．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若在直线BC上有点D，使得以点O、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，则求线段BD的长；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得点E到直线BC的距离最长？若存在，请求出最长距离和点E的坐标，若不存在，请说明理由．

8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0）．点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD．
（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；
（2）连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值；
（3）连接BP，以BD、BP为邻边作▱BDEP，直线PE交x轴于点T．当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标．

9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标，顶点A的坐标为．直线交x轴于点B，交y轴于点C，与抛物线的对称轴交于点D，E为y轴上的一个动点．
（1）求这条抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）若以C、D、E为顶点的三角形与△ACD相似，求点E的坐标；
（3）若点E关于直线BC的对称点M恰好落在抛物线上，求点M的坐标．

10．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）．
    
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，，试证明为直角三角形；
（3）若点在抛物线上，轴于点，以、、为顶点的三角形与相似，试求出所有满足条件的点的坐标．
11．如图，已知抛物线(k为常数，且)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
若点D的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若，求点D的坐标；
若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与相似，请直接写出的面积．

12．如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，一次函数的图象经过点，，点是抛物线上第二象限内一点.

（1）求二次函数和一次函数的表达式；
（2）过点作轴的平行线交于点，作的垂线交于点，设点的横坐标为，的周长为.
①求关于的函数表达式；
②求的周长的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，连接，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由.
13．如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设M为该抛物线对称轴左侧上的一点，过点M作直线MN∥x轴，交该抛物线于另一点N．是否存在点M，使四边形DMEN是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接CE(如图2)，设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标．

14．如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴于D，C两点，已知，．

求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴；
在直线AB下方的抛物线上是否存在一点E，使得的面积最大？如果存在，求出E点坐标；如果不存在，请说明理由．
为抛物线上一动点，连接PA，过点P作交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线分别交轴、轴于点、，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．
（1）若．
①求抛物线的解析式；
②当线段的长度最大时，求点的坐标；
（2）当点的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴正半轴上，OB在y轴负半轴上，且OA=，OB=1，以点B为顶点的抛物线经过点A．
（1）求出该抛物线的解析式．
（2）第二象限内的点M，是经过原点且平分Rt△AOB面积的直线上一点．若OM=2，请判断点M是否在（1）中的抛物线上？并说明理由．
（3）点P是经过点B且与坐标轴不平行的直线l上一点．请你探究：当直线l绕点B任意旋转（不与坐标轴平行或重合）时，是否存在这样的直线l，在直线l上能找到点P，使△PAB与Rt△AOB相似（相似比不为1）？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，说明理由．

17．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象与二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交于x轴上一点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x＝n（n＜0），n是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，连接AD．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当S△ACB＝3S△ADB 时，求点C的坐标．
（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB 相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．
（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．
（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．


参考答案：
1．(1)y=x2+4x；(2)证明见解析；(3)存在，E(， )或E(， )
【分析】(1)利用函数解析式，由y=0可求出抛物线与x轴的两交点坐标，利用垂径定理求出AH的长，再在Rt△AHQ中，利用勾股定理求出HQ的长，由半径为5，可求出点M的坐标，然后将点M的坐标的函数解析式，建立关于a的方程，解方程求出a的值.
(2)利用弧长公式求出n的值，根据圆周角定理求出∠BMC的度数，在Rt△HMD中，利用勾股定理求出HD的长，再根据MH=2AH，可证得结论.
(3)分情况讨论：①当∠EMF=∠HQA时,△MEF∽△QHA，利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长，可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式，然后求出两函数的交点坐标；②当∠EMF=∠QAH时,△MEF∽△AHQ，利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长，可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式，然后求出两函数的交点坐标，即可得到符合题意的点E的坐标.
【解析】解：(1)令y=0,得ax2+8ax=0,解得x1=-8,x2=0，
∴A(-8，0)
由垂径定理,得AH=AO=4,
在Rt△AHQ中, HQ=，
∴HM=HQ+QM=3+5=8，
∴M(-4，-8)
把M(-4,-8)代入抛物线得，
解得a=，
∴抛物线的解析式为y=x2+4x
(2)∵点C的路径为,
∴，解得n=120°，
∴∠BMC==60°,
在Rt△HMD中, HD==MH
∵MH=8,AH=4,即MH=2HA
∴HD=2HA
(3)存在，E点坐标为(， )或(， )，理由如下：
已知∠FEM=∠AHQ=90°，
①当∠EMF=∠HQA时,△MEF∽△QHA,
此时△MHD∽△QHA,
∴,即
解得HD=，
∴OD=
∴D(0)，
设直线MD解析式为，将M(-4，-8)，D(0)代入得，
，解得，
∴直线MD的解析式为y=x-5,
将直线MD与抛物线联立得，
，解得或
此时E点坐标为(，)；
②当∠EMF=∠QAH时，△MEF∽△AHQ,
此时△MHD∽△AHQ,
∴，即
解得HD=6，
∴OD=6-4=2
∴D(2,0),
设直线MD解析式为，将M(-4，-8)，D(2，0)代入得，
，解得，
∴直线MD的解析式为
将直线MD与抛物线联立得，
，解得或
此时E点坐标为(，)；
综上所述，E点坐标为(， )或(， ).
【点评】本题考查二次函数与几何的综合问题，属于中考压轴题型，难度较大，需要熟练掌握二次函数的图像与性质，垂径定理，弧长公式，以及相似三角形的判定和性质.
2．（1）抛物线的解析式为；
（2）直线的解析式；
（3）点的坐标为、或．
【分析】(1)把点坐标代入抛物线求得抛物线的解析式即可；
(2)求出抛物线的对称轴，再求得点、坐标，设直线的解析式为，再把两点坐标代入线的解析式为，求得和即可；
(3)设，分两种情况讨论：①，②，根据相似，得出比例式，再分别求得点坐标即可．
【解析】解：(1)点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为；
(2)抛物线的对称轴为直线，
点，，
设直线的解析式为，
把、两点坐标代入线的解析式为，得
，
解得，，
直线的解析式；
(3)设，分三种情况讨论：
①当时，如图1，

，
即，
解得，(不合题意，舍去)，
点坐标；
②当时，如图2，

，
即，
解得，(不合题意舍去)，
点坐标；
③当在第二象限时，如下图

在轴的负半轴上，
，
，
，
即，
得到
解得(舍去)；，
点的坐标为
综上所述，点的坐标为、或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答(3)问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．
3．（1） ；（2） ；(3) 存在，
【分析】（1）利用勾股定理求出C点坐标，然后将抛物线解析式写成顶点式，再化为一般式；（2）求出A,B两点的坐标，根据题意可知△ACO和△MCO均为直角三角形
，然后分情况讨论两个两个三角形相似列出比例式，从而求解（3）待定系数法求直线PC的解析式为y=3x+5，设直线交x轴于E，则E（，0），设直线PQ交x轴于F，当BD=3AF时，△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍，分两种情形分别求解即可解决问题．
【解析】解：（1）过点P作PH⊥y轴

∵顶点P的坐标为（-3，-4）
∴PH=3，OH=4
设OC=x
在Rt△PCH中，
∴
解得：（负值舍去）
∴点C的坐标为（0,5）
设函数解析式
将（0,5）代入，
解得：a=1
∴函数解析式为
（2）在中，当y=0时

解得：
所以A（-1,0）；B(-5,0)
点M在直线l上

由题意可知△ACO和△MCO均为直角三角形
设M（x,5）
∴当时，两个三角形相似
∴
解得：
当时，两个三角形相似
∴
解得：
∴点M的坐标为或或或
（3）设直线PC的解析式为y=kx+b，
则有
解得 
∴直线PC的解析式y=3x+5，
设直线交x轴于E，则E（−，0），
设直线PD交x轴于F，当BF=3AE时，△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍，

∵A(-1,0)，B(-5,0)
∴AE=，
∴BF=2
∴F（-3，0）或F'（-7，0）
当F（-3，0）时，直线PF垂直于x轴，
∴D（-3，5）
当F'（-7，0）时，直线PF'的解析式为y=-x-7，
∴D'（-12，5）．
综上所述，满足条件的点D（-3，5），D'（-12，5）．
【点评】本题综合性较强，考查二次函数的性质，相似三角形的判定与性质及一次函数与几何综合，熟练掌握知识点并将数形结合思想、分类讨论思想的应用是本题的解题关键
4．(1)；(2) m＝3和m＝1+； (3)存在，点Q的坐标为(3，2)或(﹣1，0)
【分析】(1)利用待定系数法确定函数解析式；
(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝x﹣2，则Q(m，﹣m2+m+2)、M(m，m﹣2)，由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM＝DF，分两种情况，①当点P在线段AB上时②当P在AB的延长线上时，分别列出关于m的方程，解之可得；
(3)易知∠ODB＝∠QMB，故分①∠DOB＝∠MBQ＝90°，利用△DOB∽△MBQ得＝，再证△MBQ∽△BPQ得 ，即 ，解之即可得此时m的值；②∠BQM＝90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标.
【解析】(1)将点A(﹣1，0)和点C(0，2)代入y＝﹣x2+bx+c中，得 .
解得 .
则该抛物线解析式为：；
(2) 由题意知点D坐标为(0，﹣2)，
∵点B是抛物线与x轴正半轴的交点，即，
解得x=4或x=-1（舍去），
∴B坐标为（4，0）；
设直线BD解析式为y＝kx+b，
将B(4，0)、D(0，﹣2)代入，得： ，
解得： ，
∴直线BD解析式为y＝x﹣2，
分以下两种情况：
①当点P在线段AB上时，
∵QM⊥x轴，P(m，0)(m＞0)，
∴Q(m，﹣m2+m+2)、M(m，m﹣2)，
则QM＝﹣m2+m+2﹣(m﹣2)＝﹣m2+m+4，
∵F(0，)、D(0，﹣2)，
∴DF＝，
∵QM∥DF，
∴当﹣m2+m+4＝时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m＝﹣1或m＝3，
∵m＞0，
∴m=3；
即当m＝3时，四边形DMQF是平行四边形；
②当P在AB的延长线上时，
∵QM⊥x轴，P(m，0)(m＞0)，
∴Q(m，﹣m2+m+2)、M(m，m﹣2)，
∴QM＝m﹣2﹣(﹣m2+m+2)＝m2﹣m﹣4，
∵F(0，)、D(0，﹣2)，
∴DF＝，
∵QM∥DF，
∴当m2﹣m﹣4＝时，四边形DMQF是平行四边形，
解得m＝，
∵m＞0，
∴m＝1+；
即当m＝1+时，四边形DMQF是平行四边形；
综上所述，当m＝3和m＝1+时，四边形DMQF是平行四边形；
(3)如图所示：

∵QM∥DF，
∴∠ODB＝∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB＝∠MBQ＝90°时，△DOB∽△MBQ，
则 ，
∵∠MBQ＝90°，
∴∠MBP+∠PBQ＝90°，
∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，
∴∠MBP+∠BMP＝90°，
∴∠BMP＝∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴ ，即 ，
解得：m1＝3、m2＝4，
当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m＝3，点Q的坐标为(3，2)；
②当∠BQM＝90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m＝﹣1，点Q的坐标为(﹣1，0)；
综上，点Q的坐标为(3，2)或(﹣1，0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用.
5．（1）；（2）有，最大值为10，过程略；（3）存在，Q1(2,4)；Q2 ().
【分析】（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；
（2）四边形PRSM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，-a2+4a）则由抛物线的对称性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，PR=MS=-a2+4a，则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PRSM的周长的最大值．
（3）分别计算△OHQ∽△BAO和△OHQ∽△OAB时Q点的坐标，分析后即可解答.
【解析】解：（1）∵OA=4，AB=2，△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，∴点C的坐标为（2，4）．
又∵点A的坐标为（4，0），抛物线经过原点，故设y=ax2+bx（a≠0），把（2，4），（4，0）代入，得 ，
解得，所以抛物线的解析式为y=-x2+4x；
（2）有最大值．如图，

理由如下：设点P的坐标为P（a，-a2+4a），PR=MS=-a2+4a，
则由抛物线的对称性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，
则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，
所以当a=1时，矩形PRSM的周长有最大值，Lmax=10．
（3）设H点坐标为（n，0）,则OH=n，QH=-n²+4n，
①假设△OHQ∽△BAO，则 ,
可得，解得=2，=0（舍去），
代入可得Q点坐标为（2，4）；
②假设△OHQ∽△OAB，则,
，解得= ，=0（舍去），
代入可得Q点坐标为（，）；
综上所述Q点坐标为（2，4）或（，）.
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质、相似三角形、旋转的性质，综合性较强，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
6．（1）；（2）点的坐标为；（3）.
【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）只有当∠PEA=∠AOC时，PEA△∽AOC，可得：PE=4AE，设点P坐标（4k-2，k），即可求解；
（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得：，再求出PD的最大值，即可求解．
【解析】（1）由已知，将代入，∴.
将点和代入，得，
解得.∴抛物线的表达式为.
（2）∵，，
∴，.
∵轴，
∴，
∵，
∴只有当时，，
此时，即，
∴.
设点的纵坐标为，则，，
∴，
∴点的坐标为，将代入，得
，
解得（舍去），.
当时，.
∴点的坐标为.
（3）在中，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴.
由，知，又，
∴，
又.
∴.
∴当最大时，最大.
由，可解得所在直线的表达式为.
设，则，
∴.
∴当时，有最大值4.
∴当时，.
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
7．（1）y＝﹣x2+x+3（2） （3）当点E的坐标为（2，3）时，点E到BC距离最长为
【分析】（1）将C点坐标代入抛物线解析式确定a的值；
（2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①△ABC∽△OBD；②△ABC∽△DBO；由比例线段可求出BD长；
（3）过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G，证明△EGF∽△BOC，表示EG长，则可求出最长距离．
【解析】解：（1）把点C（0，3）代入抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a≠0）得﹣8a＝3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为： ，
（2）∵点A，B在函数的图象上，且与x轴相交，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
∴OB＝4，AB＝6，BC＝5，
假设存在以点O、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，且∠OBC＝∠ABD，
∴△ABC∽△OBD或△ABC∽△DBO，
或，
即或，
∴BD＝或BD＝，
（3）存在．理由如下：
如图，过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G，

∵B（4，0），C（0，3）
∵点E在抛物线上，点E在直线BC上，
∴可设，
，
∵EF∥y轴，
∴∠EFG＝∠OCB，又∠EGF＝∠COB＝90°，
∴△EGF∽△BOC，
∴，
∴，
∵＜0，开口向下，EG有最大值，
∴当x＝2时，EG最大为，
∵当x＝2时，
∴当点E的坐标为（2，3）时，点E到BC距离最长为．
【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．
8．（1） ,（﹣8，0）；（2）﹣4或﹣1﹣ ；（3）（1，）.
【分析】（1）直接将A，C两点代入即可求
（2）可设P（m，-m2-m+8），由∠OQP=∠BOD=90°，则分两种情况：△POQ∽△OBD和△POQ∽△OBD分别求出PQ与OQ的关系即可
（3）作平行四边形，实质是将B、P向右平移8个单位，再向上平移4个单位即可得到点E和点D，点E在二次函数上，代入即可求m的值，从而求得点E的坐标．
【解析】（1）把A（0，8），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得
，解得
∴该二次函数的表达为y＝﹣x2﹣x+8
当y＝0时，﹣x2﹣x+8＝0，解得x1＝﹣8，x2＝4
∴点B的坐标为（﹣8，0）
（2）设P（m，﹣m2﹣m+8），由∠OQP＝∠BOD＝90°，分两种情况：
当△POQ∽△OBD时，
∴PQ＝2OQ
即﹣m2﹣m+8＝2×（﹣m），解得m＝﹣4，或m＝8（舍去）
当△POQ∽△OBD时，
∴OQ＝2PQ
即﹣m＝2×（﹣m2﹣m+8），解m＝﹣1﹣ 或m＝﹣1+（舍去）
综上所述，m的值为﹣4或﹣1﹣
（3）∵四边形BDEP为平行四边形，
∴PE∥BD，PE＝BD
∵点B向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D
∴点P向右平移8个单位，再向上平衡4个单位得到点E
∵点P（m，﹣m2﹣m+8），
∴点E（m+8，﹣m2﹣m+12），
∵点E落在二次函数的图象上
∴﹣（m+8）2﹣（m+8）+8＝﹣m2﹣m+12
解得，m＝﹣7
∴点E的坐标为（1，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
9．（1）这条抛物线的解析式为：y＝，点D的坐标为：（2，2）．（2）E点坐标为（0，1）或（0，）．（3）M点坐标为（2，）或（﹣1，）．
【分析】（1）将函数解析式写成顶点式，代入顶点及抛物线与x轴交点坐标可以求得解析式；点D横坐标即为顶点横坐标，代入直线解析式即可求得点D纵坐标，从而可得结论；
（2）设点E坐标为（0，m），用含m的代数式表示出CE，利用相似三角形的性质列比例式可解；
（3）从点E关于直线BC的对称点M向y轴作垂直，由∠MEH与∠OBC相等，利用三角函数求得相关线段的长度，从而用一个未知数表示出点M的坐标，再将其代入抛物线解析式可求得这个未知数，从而得解．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标（2+3，0），顶点A的坐标为（2，），
设其顶点式解析式为y＝a（x﹣2）2+，把（2+3，0）代入可得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+，即y＝，
∵直线与抛物线的对称轴交于点D，当x＝2时，y＝2
∴点D坐标为（2，2）．
∴这条抛物线的解析式为：y＝，点D的坐标为：（2，2）．
（2）设点E坐标为（0，m）
∵直线交x轴于点B，交y轴于点C，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝6，
∴点C坐标为（0，3），点B坐标为（6，0），
∴CD＝，AD＝，CE＝3﹣m，
①当△ADC∽△DCE时，，即，解得m＝1；
②当△ADC∽△ECD时，，即，解得m＝，
∴E点坐标为（0，1）或（0，）．
（3）如图，作MH⊥y轴于点H，设ME与BC交于点G，MH＝m，则∠MEH＝∠OBC
∴tan∠OBC＝tan∠MEH＝，
∴HE＝2m，EM＝m
在Rt△CEG中，EG＝EM＝，
∴CG＝m ，CE＝m ，
∴OE＝OC﹣CE＝3﹣m ，
∴OH＝OE+EH＝3﹣m+2m＝3+m，
∴点M坐标为（m，3+m），
把M（m，3+m）代入y＝﹣（x﹣2）2+得：m1＝2，m2＝﹣1，
∴M点坐标为（2，）或（﹣1，）．

【点评】本题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式，相似三角形的性质，三角函数等知识点，综合性比较强，难度较大，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
10．（1）；（2）详见解析；（3）所有满足条件的点的坐标为或或
【分析】（1）根据二次函数顶点坐标公式得到关于b，c的方程组，然后求解方程组即可；
（2）先求得A点坐标，再利用两点的距离公式求得△ACD的边长，然后根据勾股定理的逆定理即可得证；
（3）设，分两种情况讨论：①若，则；②若，则；分别代入求得符合题意的x的值即可得解.
【解析】解：（1）由题意得，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，解得或，
由题意点，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形；
（3）设，分两种情况讨论：
①若，如图1，
则，即，
整理，得，
解得，（与点重合，舍去），
当时，，
∴此时，点的坐标为；

②若，如图2，
则，即，
整理，得，解得，，
当时，；当时，，
∴此时，点的坐标为或；

综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或.
【点评】本题主要考查二次函数的综合，相似三角形的性质等，解此题关键在于准确求得二次函数的解析式，然后分情况讨论进行解答.
11．(1) ;(2) ;(3)或.
【分析】求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；
利用∽，，即可求解；
分∽、∽两种情况，分别求解即可．
【解析】解：抛物线，
令，则或4，即点A、B的坐标分别为、，
把点B坐标代入直线得：，解得：，
直线BD的表达式为：，
当时，，，
把点D的坐标代入抛物线表达式得：，，
抛物线的表达式为：；
设点D的坐标为，
则：，，，
，，
∽，
，
即：，
解得：或舍去，
点D的坐标为；
由抛物线的表达式，令，则，
点C的坐标为，，
当∽时，则，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点N，则，，

，即：，，
把点代入抛物线表达式并解得：或舍去，
故点P的坐标为，
∽，，即：，
解得：，
；
∽时，
同理可得：，
，
故：的面积为或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，的关键是通过相似确定线段间的比例关系．
12．（1）抛物线为y= -x2-x+4；一次函数的表达式为y=x+4；（2）①关于的函数表达式为，②的周长的最大值为 ，此时点P；（3）点的横坐标为 或.
【分析】（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线或直线表达式，即可求解；
（2）设点P坐标为（t，-t2-t+4），令-t2-t+4=x+4，解得：x= ，PD= ，利用△PDM∽△CBO，即可求解；
（3）分∠PCM=∠CBO、∠PCM=∠BCO，两种情况求解即可．
【解析】解：（1）把点和点代入抛物线，
得，解得，∴抛物线为；
令，，解得或，
∴，
把，代入一次函数，
得，解得，∴一次函数的表达式为；
（2）由题意，，，
∴，周长为12，
∵，，
令，解得，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴关于的函数表达式为，
∵，
∴当时，的周长的最大值为，
此时点；

（3）存在，点的横坐标为或.
①如图1，当时，
即，此时，
令，
解得（舍去）或；

②如图2，当时，
即，作点关于直线的对称点，
直线交抛物线于另一点即为所求的点，作轴于.
易得，，得，，
∴点，
可得直线的表达式为，求得点的横坐标为.

故答案为（1）抛物线为y= -x2-x+4；一次函数的表达式为y=x+4；（2）①关于的函数表达式为，②的周长的最大值为 ，此时点P；（3）点的横坐标为 或.
【点评】本题考查二次函数综合运用，三角形相似、点的对称性，解直角三角形，其中（3）②，用点的对称性求解是本题解题的新颖点．
13．(1)y=x2﹣x﹣2；(2)点M坐标为(1﹣，﹣)；(3)点P的坐标为(5，8)或(2，﹣2)或(，)或(，)．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得二次函数的表达式；
（2）先求出顶点D(1，﹣)，则DE＝，根据四边形DMEN是菱形，点M的纵坐标为﹣，令x2﹣x﹣2＝﹣，解方程，即可求出点M坐标.
（3）分△COE∽△PQE和△COE∽△EQP两种情况进行讨论.
【解析】解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x﹣3)，
将点C(0，﹣2)代入，得：﹣3a＝﹣2，
解得a＝，
则抛物线解析式为
(2)∵y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣1)2﹣，
∴顶点D(1，﹣)，即DE＝，
∵四边形DMEN是菱形，
∴点M的纵坐标为﹣，
则x2﹣x﹣2＝﹣，
解得x＝1±，
∵M为该抛物线对称轴左侧上的一点，
∴x＜1，
则x＝1﹣，
∴点M坐标为(1﹣，﹣)；
(3)∵C(0，﹣2)，E(1，0)，
∴OC＝2，OE＝1，
如图，设P(m， m2﹣m﹣2)(m＞1)，

则PQ＝|m2﹣m﹣2|，EQ＝m﹣1，
①若△COE∽△PQE，则 即
解得m＝0(舍)或m＝5或m＝2或m＝﹣3(舍)，
此时点P坐标为(5，8)或(2，﹣2)；
②若△COE∽△EQP，则即
解得m＝(负值舍去)或m＝，
此时点P的坐标为(，)或(，)；
综上，点P的坐标为(5，8)或(2，﹣2)或(，)或(，)．
【点评】考查待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质等，综合性比较强，难度较大.
14．（1）（2）当时，的面积有最大值4，此时E点坐标为（3）满足条件的P点坐标为或或或
【分析】利用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线的对称轴方程求抛物线的对称轴；
先确定直线AB的解析式为，再解方程组得，作轴交直线AB于F，如图1，设，则，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；
设，则，先利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，利用相似三角形的判定方法，当，∽，则，所以；当，∽，即，所以，然后分别解关于t的绝对值方程即可得到P点坐标．
【解析】把，代入得，解得，
抛物线解析式为；
抛物线的对称轴为直线；
存在．
把代入得，
直线AB的解析式为，
解方程组得或，则，
作轴交直线AB于F，如图1，
设，则，
，
，
当时，的面积有最大值4，此时E点坐标为；
设，则，
，，，
，，，
，
为直角三角形，
，
当，∽，
即，
，
解方程得舍去，，此时P点坐标为；
解方程得舍去，，此时P点坐标为；
当，∽，
即，
，
解方程得舍去，，此时P点坐标为；
解方程得舍去，，此时P点坐标为；
综上所述，满足条件的P点坐标为或或或
【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
15．(1) ①y=－2x2+2x+4；②P的坐标是(1，2)； (2)见解析.
【分析】（1）①把A、B的坐标代入抛物线解析式，由a+b=0，解方程组即可得出结论；
②设直线AB的解析式为，把A的坐标代入即可求出k的值，从而得到直线AB的解析式．设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，－2m2+2m+4），可表示出PD的长，利用二次函数的性质即可得出结论；
（2）如图2，利用勾股定理计算出AB的长，再求出P的坐标，则可计算出PB的长，接着表示出抛物线解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，则可用a表示出点D坐标为（1，2﹣a），所以PD＝﹣a，由于∠DPB＝∠OBA，根据相似三角形的判定方法，当时，△PDB∽△BOA，即；当时，△PDB∽△BAO，即，然后解方程分别求出a的值，从而得到对应的抛物线的解析式．
【解析】（1）①把A（2，0）、B（0，4）代入得：．
∵a+b=0，∴
∴，∴抛物线的解析式为y=－2x2+2x+4；
②设直线AB的解析式为，则，∴，∴直线AB的解析式为．
设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，－2m2+2m+4），∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，∴当时，线段PD的长度最大，此时点P的坐标是（1，2）．
（2）存在．
如图2，OB=4，OA=2，则AB==2．
当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2），∴PB==．
把A（2，0）代入y=ax2+bx+4得4a+2b+4=0，解得：b=－2a－2，∴抛物线的解析式为y=ax2－2（a+1）x+4．
当x=1时，y=ax2－2（a+1）x+4=a－2a－2+4=2－a，则D（1，2－a），∴PD=2－a－2=﹣a．
∵DC∥OB，∴∠DPB=∠OBA．
当时，△PDB∽△BOA，即，解得：a=－2，此时抛物线解析式为y=－2x2+2x+4；
当时，△PDB∽△BAO，即，解得：a=－，此时抛物线解析式为y=－x2+3x+4．
综上所述：满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=－x2+3x+4．

【点评】本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
16．（1）y=x2﹣1（2）点M不在抛物线y=x2﹣1上（3）存在三条直线l：y=﹣x﹣1，y=﹣x﹣1和y=x﹣1，在上述直线l上能找到点P，使Rt△PAB与Rt△AOB相似
【分析】（1）依题意得到A与B的坐标，根据B为抛物线的顶点，设出抛物线的解析式，将A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）点M不在抛物线上，理由为：设抛物线与x轴的另一个交点为C，直线OM交AB于点D，由题意得到D为AB的中点，得到AD=OD=BD，得到∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，作MN垂直于OC，求出MN与ON的长，确定出M坐标，代入抛物线解析式检验即可得到结果；
（3）存在，在Rt△AOB中，AO=，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，分三种情况考虑：①当∠ABP=90°时，若∠AP1B=60°，则△ABP1∽△AOB，由相似得比例，确定出P1的坐标，再由B坐标确定出直线l解析式即可；②当∠ABP=60°时，若∠BAP5=90°，则△ABP5∽△OBA，由相似得比例求出P5坐标，同理确定出直线l解析式；③当∠ABP=30°且直线l在AB上方时，若∠P6AB=90°，则△ABP6∽△OAB，由相似得比例求出P6坐标，同理确定出直线l解析式，综上，得到直线l上能找到点P，使Rt△PAB与Rt△AOB相似时的所有解析式．
【解析】（1）依题意得：A（，0），B（0，﹣1），
∵B为抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为y=ax2﹣1，
将A坐标代入得：3a﹣1=0，即a=，
则抛物线解析式为y=x2﹣1；
（2）点M不在抛物线y=x2﹣1上，理由为：
设抛物线与x轴的另一个交点为C，直线OM交AB于点D，作MN⊥OC于点N，
由题意得：D为AB的中点，即OD=AD=BD，
∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，
在Rt△OMN中，OM=2，
∴MN=1，ON=，即M（﹣，1），
∵y=×（﹣）2﹣1=0≠1，
∴点M不在抛物线y=x2﹣1上；
（3）存在，在Rt△AOB中，AO=，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，
分三种情况考虑：
①当∠ABP=90°时，若∠AP1B=60°，则△ABP1∽△AOB，
∴=，即BP1==，
∴OP1=，即P1（﹣，0），[这里也利用求出P2（﹣，2）或P3（，﹣2）或P4（，﹣4）]，
设直线l解析式为y=kx+b，将B与P1坐标代入得：，
解得：，
此时直线l解析式为y=﹣x﹣1；
②当∠ABP=60°时，若∠BAP5=90°，则△ABP5∽△OBA，
∴=，即BP5==4，
过P5作P5C⊥y轴于点G，在Rt△BGP5中，∠P5BG=60°，
∴P5G=2，BG=2，即P5（2，﹣3），
同理求出直线l解析式为y=﹣x﹣1；
③当∠ABP=30°且直线l在AB上方时，若∠P6AB=90°，则△ABP6∽△OAB，
∴=，即BP6==，
过P6作P6H⊥y轴于点H，在Rt△BP6H中，∠P6BH=30°，
∴P6H=，BH=2，
∴P6（，1），
同理得到直线l解析式为y=x﹣1，
综上，存在三条直线l：y=﹣x﹣1，y=﹣x﹣1和y=x﹣1，在上述直线l上能找到点P，使Rt△PAB与Rt△AOB相似．

【点评】此题考查了二次函数的性质，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求抛物线解析式，相似三角形的判定与性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，是一道综合性较强的试题．
17．（1）y＝2x2+2x﹣4；（2）点 C 的坐标为（4，0）或（﹣8，0）；（3）在 x 轴上有一点 C（﹣4，0）或（﹣6，0），使得以点 A、B、C 组成的三角形与△ADB 相似．
【分析】（1）由一次函数的解析式求得A（-2，0），通过解方程2x2-3x-2=0求得抛物线对称轴方程，将点A的坐标代入二次函数解析式，结合抛物线对称轴公式，联立方程组，求得b、c的值；
（2）由三角形的面积公式求得AC的长度，继而求得点C的坐标；
（3）需要分类讨论：①AC与BD是对应边时，△ADB∽△BCA，由相似三角形对应边成比例求得OC的长度，从而求得点C的坐标；
②当AC与AB是对应边时，△ADB∽△CBA，由相似三角形对应边成比例求得OC的长度，从而求得点C的坐标．
【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，则x=-2
∴A（-2，0）．
由2x2-3x-2=0，得x1=-，x2=2，
∴二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=2x2+2x-4；
（2）∵S△ADB=BD•OA=2，
∴S△ACB=3S△ADB=6．
∵点C在x轴上，
∴S△ACB=AC•OB=×2AC=6，
∴AC=6．
∵点A的坐标为（-2，0），
∴当S△ACB=3S△ADB时，点C的坐标为（4，0）或（-8，0）；
（3）存在．
理由：令x=0，一次函数与y轴的交点为点B（0，-2），
∴AB=，∠OAB=∠OBA=45°．
∵在△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴点C在点A的左边．
①AC与BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴=1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
∴点C的坐标为（-4，0）．
②当AC与AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA
∴=，
∴AC=AB=×2=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴点C的坐标为（-6，0）．
综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．

【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形对应边成比例的性质，难点在于（3）要分情况讨论．
18．（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）分类讨论：①当∠PCB＝90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
②当∠BPC＝90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．
【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴yP，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）；
（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：
①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；
AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB；
②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．
∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．当m时，m2﹣2m﹣3=．
∵△PHC∽△BDP，∴== 3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．
综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．

【点评】本题是二次函数综合题．考查了利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出P点的坐标是解题的关键；利用相似三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题的关键．