2023年北京市朝阳区高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年北京市朝阳区高考数学一模试卷

1.  已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设…，若，则(    )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

4.  已知点，若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知函数，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为若为坐标原点，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C. 2 D. 或2

7.  在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是(    )

A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点

9.  如图，M为的外接圆的圆心，，，N为边BC的中点，则(    )

A. 5
B. 10
C. 13
D. 26

10.  已知项数为的等差数列满足，…，若…，则k的最大值是(    )

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

11.  复数，则______.

12.  函数的值域为______ .

13.  经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则为坐标原点的面积为______ .

14.  在中，，，
①若，则______ ；
②当______ 写出一个可能的值时，满足条件的有两个.

15.  某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力战斗单位数随时间的变化遵循兰彻斯特模型：

其中正实数、分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力；正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为给出下列四个结论：
①若且，则；
②若且，则；
③若，则红方获得战斗演习胜利；
④若，则红方获得战斗演习胜利.
其中所有正确结论的序号是______ .

16.  如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，
求证：平面BDE；
求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
求点D到平面ABE的距离.

17.  设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在.
求函数的解析式；
求在区间上的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：的最大值为；
条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.

18.  某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：假设所有学生的获奖情况相互独立.

分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小结论不要求证明

19.  已知函数
求的单调区间；
若对恒成立，求a的取值范围；
证明：若在区间上存在唯一零点，则

20.  已知椭圆E：经过点
求椭圆E的方程及离心率；
设椭圆E的左顶点为A，直线l：与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由.

21.  已知有穷数列A：，，…，满足a，…，给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的…，，都有，则称数列A是连续等项数列.
判断数列A：，1，0，1，0，1，是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；
若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；
若数列A：，，…，不是连续等项数列，而数列：，…，，，数列：，…，，0与数列：，，…，，1都是连续等项数列，且，求的值.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：由题意，，
所以
故选：
化简，再由集合并集的运算即可得解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：，，，即，故A正确；
取，，则不成立，故B错误；
取，，则不成立，故C错误；
取，则，故D错误．
故选：
根据不等式的性质判断A，取特殊值判断
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：由题意，，，
，
故选：
根据二项式的展开式结合已知列方程，求出n值．
本题考查二项式的展开式的应用，考查组合数的性质，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：设，因为直线上存在点P，使得，
可得P在以AB为直径的圆上，
由直线与圆有交点，
可得，解得或，
故选：
求得点P所在的圆的方程，结合直线和圆的位置关系可得所求取值范围．
本题考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：因为定义域为R，，
所以为奇函数，且为R上的增函数，
当时，，所以，
即“”是“”的充分条件，
当时，，由的单调性知，，即，
所以“”是“”成立的必要条件．
综上，“”是“”的充要条件．
故选：
由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：
根据题意可得，从而，再由求解．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：如图，连接AC，BD，交于N，连接，，

在长方体中，平面与平面的交线为，
而平面，且平面，
所以，
又，
所以，故C正确．
对于A，因为长方体中AC与BD不一定垂直，故推不出，故A错误；
对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；
对于D，由B知，不能推出与BD垂直，而是中线，所以推不出，故D错误．
故选：
根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD可根据长方体说明不一定成立．
本题考查了空间中平面位置的关系，考查了长方体的几何特征，属于基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：选项A，因为，所以不是的一个周期，即A错误；
选项B，令，则，，
令，则，，即，，
若的最大值为，则有解，
整理得，，
因为，，所以，故上式无解，即B错误；
选项C，，，
所以，所以的图象不关于直线对称，即C错误；
选项D，，
令，则或，
因为，
所以当时，，或；当，即时，，
综上，在区间上有3个零点，即D正确．
故选：
选项A，计算，考察是否成立，即可；
选项B，考虑和是否能同时成立，即可；
选项C，计算可得，从而作出判断；
选项D，令，有或，结合正弦、余弦函数的图象，解之即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数的对称性，周期性，零点问题等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】C 

【解析】

【分析】由N是BC边的中点，可得，利用M是的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论．
本题考查了向量的平行四边形法则、三角形外接圆的性质、数量积运算定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【解答】
解：是BC边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，

故选：

10.【答案】B 

【解析】解：设等差数列的公差为d，
，…，，
，
，，
…，
，
解得，
，
化为，
令，
时，函数单调递增，
而，，
则k的最大值是
故选：
设等差数列的公差为d，根据，…，，利用通项公式可得，根据…，利用求和公式可得，把d代入即可得出k的范围．
本题考查了等差数列的通项公式、不等式的解法、数列的单调性、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
【解答】
解：复数

故答案为：  

12.【答案】 

【解析】解：因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为
故答案为：
利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可．
本题主要考查函数的值域，属于基础题．
 

13.【答案】2 

【解析】解：由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：，
联立方程，消去x可得，，
韦达定理得，
因为，所以，即，
所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，
所以
故答案为：
求出焦点坐标，设直线AB方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O点到直线AB距离，进一步求出三角形面积．
本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
 

14.【答案】  6 

【解析】解：①，，
，
由余弦定理，，即，
解得
因为，
所以当时，方程有两解，
即，
取即可，满足条件答案不唯一
故答案为：
①求出A，再由余弦定理求解即可；
②根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出m的范围即可得解．
本题考查了余弦定理的应用、考查了三角形解的个数问题，属于基础题．
 

15.【答案】①②④ 

【解析】解：对于①，若且，则，即，
所以，
由可得，即①正确；
对于②，当时根据中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，
即，
化简可得，
即，
两边同时取对数可得，
即，
所以战斗持续时长为，所以②正确；
对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，
即，可得，
同理可得，
即，解得，
又因为，，a，b都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利，所以可得③错误，④正确．
故答案为：①②④．
对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，所以②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确．
本题主要考查了利用给定的函数模型解决实际问题，属于较难题目．
 

16.【答案】解：证明：，D，E分别为AC，的中点，
，且，又平面ABC，
平面ABC，又平面ABC，
，又，且，
平面BDE；
根据题意可知直线DA，DB，DE两两相互垂直，
以DA，DB，DE所在直线分别为x，y，z轴，
建系如图，则根据题意可得：
，，，，
，，，
设平面ABE的法向量为，
则，取，
直线DE与平面ABE所成角的正弦值为：
，；
根据可得点D到平面ABE的距离为：
 

【解析】根据线面垂直的判定定理与性质，即可证明；
建系，根据向量法，向量夹角公式，向量数量积，即可求解；
建系，根据向量法，向量数量积，即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解线面角问题，向量法求解点面距问题，向量数量积的运算，属中档题．
 

17.【答案】解：若选择条件①，
因为，所以，
由可得对恒成立，与，矛盾，
所以选择条件②③，
由题意可得，
设，
由题意可得，
其中，，
因为的最大值为，所以，解得，
所以，，
由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，
所以，解得，
所以
由正弦函数的图象可得当时，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为 

【解析】由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；
利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解．
本题主要考查三角恒等变换，三角函数解析式的确定，三角函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，
则
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，
事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”，
由题设知，事件B，C相互独立，
且，，
所以，
，
，
所以X的分布列为：

故X的数学期望
，理由：根据频率估计概率得
，由知，，
故，
则 

【解析】根据古典概型公式计算即可；
的所有可能取值为0，1，2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；
计算出，，比较大小即可．
本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
 

19.【答案】解：由题设，
当时，，则在R上递增；
当时，
令，得，在上递减；
令，得，在上递增；
综上，时，的递增区间为R，无递减区间；时，的递减区间为，递增区间为
由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，，即实数a的取值范围为；
证明：由知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且x趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故，得证． 

【解析】讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；
根据结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意，，即，
椭圆方程为，则，，，
椭圆的离心率；
直线NQ经过x轴上的定点，理由如下：
联立，得
，
设，，则，，
AM：，令，可得，
，且，
：，
令，可得


直线NQ经过x轴上的定点 

【解析】由题意得，求得n值，可得椭圆方程，求出椭圆的长半轴长与半焦距长，进一步可得离心率；
联立，得，设，，则，，求出AM方程，可得Q坐标，再写出NQ的方程，取，可得NQ在x轴上的截距，整理得答案．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．
 

21.【答案】解：数列A是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下：
，，1，2，是连续等项数列，
，，，为，1，0，1，
，，，为1，0，1，0，
，，，为0，1，0，1，
，，，为1，0，1，，
所以不存在正整数s，，使得，，1，2，3，
所以数列A不是连续等项数列；
设集合，
则S中的元素个数为个，
在数列A中，，，2，，
，，，
若，则，
所以在，，，这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，
即存在正整数s，，使得，，
所以当项数时，数列A一定是连续等项数列，
若，数列0，0，1不是连续等项数列，
若，数列0，0，1，1不是连续等项数列，
若，数列0，0，1，1，0不是连续等项数列，
若，数列0，0，1，1，0，不是连续等项数列，
若，数列0，0，1，1，0，，1不是连续等项数列，
若，数列0，0，1，1，0，，1，不是连续等项数列，
若，数列0，0，1，1，0，，1，，不是连续等项数列，
若，数列0，0，1，1，0，，1，，，0不是连续等项数列，
所以，N的最小值为11；
因为，，都是连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数i，j，，
使得，，，，，，，，，，，，
下面用反证法证明，
假设，
，，，，
所以，，，中至少有两个数相等，
不妨设，则，，，，
所以数列A是连续等项数列，与题设矛盾，
，
所以 

【解析】由连续等项数列的定义，代入求解即可；
求出S中的元素个数，则，，，利用列举法求出N的最小值；
用反证法证明，可得的值．
本题考查数列新定义，考查数列的周期性，考查反证法的应用，考查列举法，属于难题．