2023年北京市东城区高三一模考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年北京市东城区高三一模考试数学试卷（含答案解析），共11页。
2023年北京市东城区高三一模考试数学试卷1.  已知集合，且，则a可以为A.  B.
C.  D. 2.  在复平面内，复数对应的点的坐标是，则A.  B.  C.  D. 3.  抛物线的准线方程为A.  B.  C.  D. 4.  已知，则的最小值为A.  B. 0 C. 1 D. 5.  在中，，，，则A.  B. 4 C.  D. 6.  设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.  过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为A.  B.  C.  D. 8.  已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部不含边界的动点，且满足，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 9.  已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为A.  B.  C.  D. 10.  恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值精确到，可得N的值为M2371113 A. 13 B. 14 C. 15 D. 1611.  函数的定义域是_______.12.  在的展开式中，的系数为60，则实数_______.13.  已知双曲线的一个焦点为，且与直线没有公共点，则双曲线的方程可以为_______.14.  已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则_______，______.15.  已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则______.给出下列四个结论：①；②图2中，；③图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C；④图2中，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积大于其中所有正确结论的序号是______. 16.  已知函数求的最小正周期;若是函数的一个零点，求的最小值. 17.  甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试．每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：次数学生第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593-乙76818085899694从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX；从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与中EX的大小．结论不要求证明 18.  如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点.
求证：平面；再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；点A到平面CEF的距离.条件①：；条件②：与平面所成角为注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．   19.  已知函数当时，求的单调递增区间；设直线l为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值；当时，设，，求证： 20.  已知椭圆的一个顶点为，离心率求椭圆E的方程；过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点，直线分别与x轴交于点设椭圆的左顶点为D，求的值. 21.  已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②则称这样的数表具有性质若数表具有性质P，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；对于具有性质P的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得； 对于具有性质P的数表，当n为偶数时，求的最大值.
答案和解析 1.【答案】B 【解析】略
 2.【答案】A 【解析】略
 3.【答案】D 【解析】略
 4.【答案】B 【解析】略
 5.【答案】C 【解析】略
 6.【答案】B 【解析】略
 7.【答案】A 【解析】略
 8.【答案】D 【解析】略
 9.【答案】B 【解析】略
 10.【答案】C 【解析】略
 11.【答案】 【解析】略
 12.【答案】 【解析】略
 13.【答案】答案不唯一 【解析】略
 14.【答案】   【解析】略
 15.【答案】   ②③ 【解析】略
 16.【答案】解：因为

所以的最小正周期为
由题设，，由是该函数零
点可知，
，即
故，或，，
解得，或，
因为，所以的最小值为 【解析】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题.
 17.【答案】解：从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分.则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为
随机变量X的所有可能取值为1，2，



则随机变量X的分布列为：X123P故随机变量X的数学期望
 【解析】略
 18.【答案】解：
连接，，
因为长方体中，且
，
所以四边形为平行四边形.
所以E为的中点，
在中，因为E，F分别为和AB的
中点，
所以
因为平面，平面，
所以平面
选条件①
连接
因为长方体中，所以
在中，因为E为的中点，，
所以
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，，
则，，，，，，


所以，，
设平面CEF的法向量为，
则
令，则，，可得
设平面BCE的法向量为，
则
令，则，，所以
设平面CEF与平面BCE的夹角为，
则，
所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为
因为，
所以点A到平面CEF的距离为
选条件②与平面所成角为
连接
因为长方体中，平面，平面，
所以
所以为直线与平面所成角，即
所以为等腰直角三角形.
因为长方体中，所以
所以
以下同选条件① 【解析】略
 19.【答案】解：当时，，定义域为
，
令，得，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为
令，
则
当时，令，得
当时，，单调递减;
当时，，单调递增;
所以当时，最小值为
当时，的最小值为1，
所以的最小值为
由知在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，，
，
所以 【解析】略
 20.【答案】解：由题设，得解得
所以椭圆E的方程为
直线BC的方程为
由得
由，得
设，，则，
直线AB的方程为
令，得点M的横坐标为
同理可得点N的横坐标为




因为点D坐标为，则点D为线段MN的中点，
所以 【解析】略
 21.【答案】解：满足条件的数表为，，，所以的值分别为5，5，
若当取最大值时，存在，使得
由数表具有性质P可得j为奇数，
不妨设此时数表为
①若存在为偶数，，使得，交换和2n的位置，所得到的新数表也具有性质P，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得
②若对任意的为偶数，，都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数，使得
当n为偶数时，令，对任意具有性质 P数表，
一方面，，
因此①
另一方面，，
因此②
记，
由①+②得
又，可得
构造数表

可知数表具有性质P，且
综上可知，当n为偶数时，的最大值为 【解析】略